Analisi matematica I: funzioni, limiti, derivate e integrali

Materiale originale di studio. Revisione docente e prova in classe aperte; non è un syllabus ufficiale né un esame completo e va confrontato con il programma del proprio corso.

Materiale originale di studio, non dispensa ufficiale dell’Università di Bologna. Il collegamento al piano è orientativo: non attesta copertura integrale di Analisi T-A o T-B. Le appendici su serie ed equazioni differenziali vanno confrontate separatamente con il programma del docente.

Analisi matematica I — Parte 1

Appunti per lo studio di funzioni reali, successioni, limiti e continuità. Il perimetro si ferma prima di derivate e integrali. Esempi ed esercizi sono redatti appositamente; non costituiscono attestazione o certificazione docente.

1. Numeri reali, intervalli e valore assoluto

I numeri reali $\mathbb R$ sono il sistema ordinato e completo nel quale vivono i limiti reali studiati qui. Gli interi sono contenuti nei razionali $\mathbb Q$, e i reali includono anche numeri non razionali come $\sqrt2$ e $\pi$. La proprietà di completezza, in forma utile, dice che ogni insieme non vuoto di reali limitato superiormente possiede un estremo superiore: il più piccolo dei suoi maggioranti. Non va confuso con il massimo, che deve appartenere all’insieme. Per esempio $(0,1)$ ha estremo superiore $1$ ma non ha massimo.

Un intervallo descrive tutti i reali compresi tra estremi. $(a,b)$ esclude entrambi gli estremi; $[a,b]$ li include entrambi; $[a,b)$ include solo $a$. Gli intervalli illimitati si scrivono, per esempio, $(-\infty,3]$; infinito non è un numero reale e quindi la parentesi da quel lato è sempre tonda. L’unione raccoglie elementi che soddisfano almeno una condizione, l’intersezione quelli che le soddisfano entrambe. Risolvere $|x-2|<3$ significa cercare i reali a distanza minore di 3 da 2: equivale a $-3<x-2<3$, dunque $-1<x<5$.

Il valore assoluto $|x|$ è la distanza di $x$ da zero: vale $x$ se $x\ge0$ e $-x$ se $x<0$. Ne seguono $|xy|=|x||y|$, $|x/y|=|x|/|y|$ se $y\ne0$, e la disuguaglianza triangolare $|x+y|\le |x|+|y|$. La distanza tra $x$ e $a$ è $|x-a|$. Per $r>0$, $|x-a|<r$ equivale ad $a-r<x<a+r$; $|x-a|\ge r$ equivale a $x\le a-r$ oppure $x\ge a+r$. Queste equivalenze sono la traduzione algebrica di un intorno e della sua parte esterna.

Per le disequazioni con valore assoluto si distinguono i casi oppure si usa la distanza. Se $|u(x)|=c$ con $c\ge0$, allora $u(x)=c$ oppure $u(x)=-c$. Se $|u(x)|<c$, serve $-c<u(x)<c$; se $|u(x)|>c$, si separano i due rami esterni. È essenziale non togliere le barre senza trattare il segno. La proprietà $|x+y|$ non è generalmente uguale a $|x|+|y|$: l’uguaglianza si ha solo quando i termini hanno lo stesso segno o uno è zero.

Esempio 1. Risolvere $|2x-1|\le3$. Si traduce in $-3\le2x-1\le3$; sommando 1 e dividendo per 2: $-1\le x\le2$. Soluzione $[-1,2]$.

Esempio 2. Intersecare $(-2,4]$ e $[1,6)$. I valori comuni partono da 1, incluso, e arrivano a 4, incluso. L’intersezione è $[1,4]$. L’unione invece è $(-2,6)$, poiché gli intervalli si sovrappongono.

Esercizio 1. Risolvi $|x+3|>2$. Soluzione. Distanza da $-3$ maggiore di 2: $x<-5$ oppure $x>-1$, cioè $(-\infty,-5)\cup(-1,\infty)$.

Esercizio 2. Trova massimo ed estremo superiore di $A=\{x\in\mathbb R: -1<x\le4\}$. Soluzione. $4\in A$ e nessun elemento supera 4, quindi 4 è massimo e supremo. L’infimo è $-1$, ma non è minimo perché $-1\notin A$.

Errori tipici. Scrivere $(-\infty,2]$ con parentesi quadra a $-\infty$; confondere estremo superiore e massimo; sostituire $|x-a|<r$ con un’unica disequazione non doppia; distribuire il valore assoluto su una somma come se fosse un segno algebrico.

Riferimenti del capitolo. Nucleo teorico: definizione di valore assoluto come distanza, intervalli, completezza e supremo. Esempi ed esercizi sono elaborazioni originali; il testo OpenStax è consultato per l’impostazione di analisi reale preliminare, ma non sviluppa nel passaggio citato l’intero tema di completezza. OpenStax Calculus Volume 1.

2. Funzioni: dominio, composizione e inversa

Una funzione $f:A\to B$ assegna a ogni $x\in A$ esattamente un valore $f(x)\in B$. Il dominio è l’insieme degli ingressi ammessi; l’immagine è $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ e non va confusa con il codominio dichiarato $B$. Per un’espressione reale, il dominio naturale si ottiene imponendo simultaneamente le condizioni di esistenza: denominatori diversi da zero, radicandi di radici pari non negativi, argomenti di logaritmi strettamente positivi.

Per esempio $f(x)=\sqrt{5-2x}/(x-1)$ richiede $5-2x\ge0$ e $x\ne1$, quindi $x\le5/2$ ma $x\ne1$: dominio $(-\infty,1)\cup(1,5/2]$. Un vincolo non cancella l’altro. Le funzioni pari soddisfano $f(-x)=f(x)$ su un dominio simmetrico; le dispari soddisfano $f(-x)=-f(x)$. La funzione composta $f\circ g$ manda $x$ in $f(g(x))$ ed è definita per gli $x$ del dominio di $g$ tali che $g(x)$ appartenga al dominio di $f$.

Per $f(x)=\sqrt{x-1}$ e $g(x)=x^2$, $f\circ g(x)=\sqrt{x^2-1}$ ha dominio $x^2-1\ge0$, cioè $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$. Invece $g\circ f(x)=(\sqrt{x-1})^2=x-1$ ha dominio $[1,\infty)$. Le espressioni semplificate possono avere un dominio più ampio dell’espressione composta originaria: il dominio va determinato prima di cancellare o semplificare.

Una funzione è iniettiva se ingressi distinti hanno immagini distinte; è suriettiva su $B$ se ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un ingresso. È biiettiva se possiede entrambe le proprietà. Solo una biiezione ammette inversa $f^{-1}:B\to A$, che scambia input e output: $f^{-1}(f(x))=x$. Per calcolarla si scrive $y=f(x)$, si risolve per $x$ in funzione di $y$ e poi si scambiano i nomi delle variabili. Il grafico dell’inversa è la riflessione del grafico originario rispetto a $y=x$.

La funzione $x^2$ su $\mathbb R$ non è iniettiva ($f(2)=f(-2)$), quindi non possiede un’inversa su tutta $\mathbb R$. Restritta a $[0,\infty)$ diventa biiettiva su $[0,\infty)$ e l’inversa è $\sqrt{x}$. La restrizione del dominio è dunque una parte matematica della definizione, non un dettaglio grafico.

Esempio 1. $h(x)=\ln(3-x)/(x+2)$. Occorrono $3-x>0$ e $x+2\ne0$. Il dominio è $(-\infty,-2)\cup(-2,3)$.

Esempio 2. Trova l’inversa di $f(x)=3x-5$. Da $y=3x-5$ segue $x=(y+5)/3$, quindi $f^{-1}(x)=(x+5)/3$. Verifica: $f^{-1}(f(x))=((3x-5)+5)/3=x$.

Esercizio 1. Determina il dominio di $q(x)=\ln(x^2-4)/(x-3)$. Soluzione. $x^2-4>0$ dà $x<-2$ oppure $x>2$; inoltre $x\ne3$. Quindi $(-\infty,-2)\cup(2,3)\cup(3,\infty)$.

Esercizio 2. Con $u(x)=2x+1$ e $v(x)=x^2$, determina $u\circ v$ e $v\circ u$. Soluzione. $(u\circ v)(x)=2x^2+1$; $(v\circ u)(x)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$. Entrambe hanno dominio $\mathbb R$. In generale la composizione non è commutativa.

Errori tipici. Confondere immagine e codominio; ignorare un denominatore nullo; dichiarare invertibile $x^2$ senza restringere il dominio; invertire la formula senza scambiare correttamente input e output; dimenticare i domini originari dopo una semplificazione.

Riferimenti del capitolo. OpenStax Calculus Volume 1, capitolo preliminare sulle funzioni: titolo dell’opera consultato ma non un estratto puntuale in questa ricerca; perciò la fonte è indicata solo come cornice didattica, non come supporto a una citazione testuale specifica. OpenStax Calculus Volume 1.

3. Funzioni elementari: esponenziali, logaritmi e trigonometria

Per $a>0$, $a\ne1$, la funzione esponenziale $a^x$ è positiva per ogni reale, continua e strettamente crescente se $a>1$; decrescente se $0<a<1$. Vale $a^{x+y}=a^xa^y$, $a^0=1$, e l’immagine è $(0,\infty)$. La base $e$ definisce $e^x$, che è la scelta naturale nello studio dei limiti. Il logaritmo $\log_a x$ è l’inversa di $a^x$: è definito solo per $x>0$, e $\log_a x=y$ equivale a $a^y=x$. In particolare $\ln x=\log_e x$. Le regole $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ e $\ln(x^r)=r\ln x$ valgono solo quando gli argomenti logaritmici sono ammissibili (per la prima, $x,y>0$).

L’esponenziale domina le potenze in crescita all’infinito: per ogni intero positivo $n$, $x^n/e^x\to0$ quando $x\to+\infty$. Il logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza positiva: $\ln x/x^\alpha\to0$ per $\alpha>0$. Sono confronti asintotici, non uguaglianze e non autorizzano a eliminare termini senza specificare il limite. Per $x\to0$, $e^x\to1$ e $\ln(1+x)\to0$; più avanti useremo anche rapporti notevoli.

Le funzioni seno e coseno sono definite su $\mathbb R$, periodiche di periodo $2\pi$ e limitate tra $-1$ e 1; il seno è dispari, il coseno pari. La tangente $\tan x=\sin x/\cos x$ è definita quando $\cos x\ne0$, quindi esclusi $x=\pi/2+k\pi$. Gli angoli nei limiti notevoli sono sempre misurati in radianti: un giro completo misura $2\pi$. Convertire in gradi senza cambiare la formula altera i limiti.

Le identità $\sin^2x+\cos^2x=1$ e $1+\tan^2x=1/\cos^2x$ sono utili per semplificare. La composizione con polinomi o funzioni continue conserva la continuità nei punti in cui è definita. Non si deve però concludere che una funzione composta abbia automaticamente lo stesso dominio della funzione esterna: l’argomento interno deve appartenere al dominio appropriato.

Esempio 1. Risolvere $\ln(x-1)=0$. L’argomento impone $x>1$. Poiché $\ln z=0$ se e solo se $z=1$, si ottiene $x-1=1$, cioè $x=2$, ammissibile.

Esempio 2. Valutare $\cos(\pi/3)+\sin(\pi/6)$. I valori esatti sono $1/2$ e $1/2$, somma $1$. Gli angoli sono in radianti anche se scritti con $\pi$.

Esercizio 1. Determina dominio e soluzione di $e^{2x}=e^4$. Soluzione. L’esponenziale è definita su tutti i reali e iniettiva. Uguagliamo gli esponenti: $2x=4$, quindi $x=2$.

Esercizio 2. Risolvi $\ln(2x+1)>0$. Soluzione. Prima $2x+1>0$, cioè $x>-1/2$. Poiché $\ln y>0$ esattamente quando $y>1$, occorre anche $2x+1>1$, ossia $x>0$. La soluzione finale è $(0,\infty)$.

Errori tipici. Applicare il logaritmo a un numero non positivo; trattare $\ln(x+y)$ come $\ln x+\ln y$; usare $\sin x/x\to1$ in gradi; dimenticare i punti esclusi dalla tangente; confondere periodo e ampiezza.

Riferimenti del capitolo. OpenStax Calculus Volume 1, capitolo 1 (funzioni trascendenti) è opera consultata a livello di struttura dell’opera, non il dettaglio delle sezioni; i risultati qui esposti sono standard e gli esercizi originali. OpenStax Calculus Volume 1.

4. Successioni reali: convergenza, monotonia e limitatezza

Una successione reale è una funzione $a:\mathbb N\to\mathbb R$, scritta $(a_n)$. Si dice che converge a $L\in\mathbb R$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un indice $N$ tale che, per ogni $n\ge N$, $|a_n-L|<\varepsilon$. La definizione dice che tutti i termini, da un certo punto in poi, restano entro una distanza arbitrariamente piccola da $L$. Il valore iniziale finito di termini non cambia la convergenza.

Il limite, se esiste, è unico. Infatti, se $a_n\to L$ e $a_n\to M$ con $L\ne M$, scegliamo $\varepsilon=|L-M|/3$. Per indici abbastanza grandi, $|a_n-L|<\varepsilon$ e $|a_n-M|<\varepsilon$. La disuguaglianza triangolare darebbe $|L-M|<2|L-M|/3$, assurdo. Ogni successione convergente è limitata: la coda è vicina a $L$, dunque limitata; i termini iniziali sono un insieme finito e hanno massimo valore assoluto. Il viceversa è falso: $(-1)^n$ è limitata ma non converge.

Se $a_n\le b_n\le c_n$ per tutti gli indici sufficientemente grandi e $a_n,c_n\to L$, allora $b_n\to L$ (teorema del confronto). Le successioni convergenti rispettano le usuali regole: somma e prodotto convergono rispettivamente alla somma e al prodotto dei limiti; il quoziente converge al quoziente se il limite del denominatore è non nullo. Per il prodotto si usa che le successioni convergenti sono limitate e si stima $|a_nb_n-AB|\le |a_n||b_n-B|+|B||a_n-A|$.

Una successione è crescente se $a_n\le a_{n+1}$, decrescente se $a_n\ge a_{n+1}$; monotona significa una delle due. Il teorema di convergenza monotona afferma: una successione crescente e limitata superiormente converge al suo supremo; una decrescente e limitata inferiormente converge al suo infimo. La limitatezza pertinente è indispensabile. Per la prova crescente, posto $L=\sup\{a_n\}$, per ogni $\varepsilon>0$ il numero $L-\varepsilon$ non è un maggiorante, quindi esiste $N$ con $a_N>L-\varepsilon$; per $n\ge N$, $L-\varepsilon<a_N\le a_n\le L$, dunque $a_n\to L$.

Una successione può divergere a $+\infty$ se per ogni $K$ esiste un indice oltre il quale $a_n>K$; questo non è un limite reale finito. Per esempio $n\to+\infty$, mentre $1/n\to0$. Le sottosuccessioni di una successione convergente convergono allo stesso limite; quindi due sottosuccessioni con limiti diversi provano divergenza. La sequenza alternata $(-1)^n$ ha sottosuccessioni pari e dispari con limiti rispettivi 1 e -1.

Esempio 1. $a_n=(3n+1)/(n+2)$. Dividendo sopra e sotto per $n$, si ha $(3+1/n)/(1+2/n)\to3$. Per una stima: $|a_n-3|=|3n+1-3n-6|/(n+2)=5/(n+2)$, minore di $\varepsilon$ quando $n>5/\varepsilon-2$.

Esempio 2. $a_n=1-1/n$ è crescente perché $a_{n+1}-a_n=1/n-1/(n+1)>0$, ed è limitata superiormente da 1. Per il teorema monotono converge; poiché $|a_n-1|=1/n\to0$, il limite è 1.

Esercizio 1. Studia $b_n=2+(-1)^n/n$. Soluzione. $|b_n-2|=1/n\to0$, quindi converge a 2. Non è monotona: per esempio i termini oscillano sopra e sotto 2.

Esercizio 2. Mostra che $c_n=n/(n+1)$ è crescente e limitata, poi calcola il limite. Soluzione. $c_{n+1}-c_n=(n+1)/(n+2)-n/(n+1)=1/((n+1)(n+2))>0$. Inoltre $0<c_n<1$. Il teorema monotono dà convergenza; $c_n=1-1/(n+1)$ mostra limite 1.

Errori tipici. Una successione limitata non è necessariamente convergente; “crescente” non significa “strettamente crescente”; il teorema monotono richiede la limitatezza dalla parte giusta; un limite infinito non è un numero reale; nelle dimostrazioni epsilon non basta osservare un grafico o una tabella.

Riferimenti del capitolo. MIT OpenCourseWare, 18.100B Real Analysis, Spring 2025, Lecture 4 “Sequences; Convergence”: descrizione consultata, che conferma introduzione a definizione di convergenza, proprietà basilari e sottosuccessioni; la pagina web non espone il testo integrale della lezione, quindi non le si attribuiscono formule o prove specifiche. OpenStax Calculus Volume 1.

5. Limiti di funzioni: definizione e limiti unilaterali

Sia $f$ definita in un intorno puntato di $a$ (può essere non definita proprio in $a$). Si scrive $\lim_{x\to a}f(x)=L$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che, per ogni $x$ del dominio, $0<|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-L|<\varepsilon$. La condizione $0<|x-a|$ esclude il punto stesso: il valore $f(a)$ non determina il limite. La definizione quantifica un controllo sull’uscita ottenuto imponendo un controllo sull’ingresso.

Un limite bilatero esiste ed è $L$ se e solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e valgono $L$. Il simbolo $x\to a^-$ indica avvicinamento da valori minori; $x\to a^+$ da valori maggiori. Per $f(x)=|x|/x$, il limite sinistro in 0 vale $-1$, il destro vale 1, dunque il bilatero non esiste. Un limite unilaterale può esistere anche se l’altro no. Nei limiti infiniti non si assegna alla funzione un nuovo valore reale. Precisamente, $f(x)\to+\infty$ per $x\to a^+$ significa: per ogni $K\in\mathbb R$ esiste $\delta>0$ tale che, per ogni $x$ del dominio con $0<x-a<\delta$, vale $f(x)>K$. Per il limite sinistro si richiede $0<a-x<\delta$; per quello bilatero $0<|x-a|<\delta$. La disuguaglianza deve valere per tutti i punti ammissibili abbastanza vicini, non soltanto per una sequenza di esempi favorevoli.

Esempio di prova epsilon-delta: per $f(x)=2x+1$ al punto $a=3$, il candidato è $L=7$. Si ha $|f(x)-7|=2|x-3|$. Dato $\varepsilon>0$, basta scegliere $\delta=\varepsilon/2$: se $0<|x-3|<\delta$, allora $|f(x)-7|<\varepsilon$. La scelta di $\delta$ può dipendere da $\varepsilon$ ma non da $x$.

Per $x^2$ in un punto $a$, $|x^2-a^2|=|x-a||x+a|$. Se imponiamo anche $|x-a|<1$, allora $|x+a|\le2|a|+1$. Si sceglie $\delta=\min(1,\varepsilon/(2|a|+1))$ e si ottiene la definizione. Questa tecnica, restringere prima l’intorno per controllare un fattore, è molto comune.

Il criterio sequenziale, utile per smentire un limite, dice che $f(x)\to L$ se e solo se per ogni successione $x_n\to a$ con $x_n\ne a$ e nel dominio, si ha $f(x_n)\to L$. Per dimostrare che non esiste un limite basta trovare due successioni che tendono ad $a$ ma le cui immagini hanno limiti distinti. Il criterio non sostituisce automaticamente la prova epsilon-delta quando occorre stabilire un limite generale.

Esempio 1. $\lim_{x\to2}(x^2+1)=5$. Si fattorizza $|x^2-4|=|x-2||x+2|$. Se $|x-2|<1$, allora $1<x<3$, quindi $|x+2|<5$. Per avere errore minore di $\varepsilon$ basta imporre $|x-2|<\varepsilon/5$; scegliere $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$.

Esempio 2. Per $g(x)=1/(x-1)$ in $x=1$, da destra $g(x)\to+\infty$, da sinistra $g(x)\to-\infty$. Non esiste limite bilatero finito né un limite bilatero infinito con segno unico.

Esercizio 1. Prova che $\lim_{x\to-1}(4x-3)=-7$. Soluzione. $|(4x-3)-(-7)|=4|x+1|$. Dato $\varepsilon>0$, scegli $\delta=\varepsilon/4$. L’implicazione definitoria segue immediatamente.

Esercizio 2. Studia i limiti unilaterali di $h(x)=1/|x|$ per $x\to0$. Soluzione. In entrambi i lati $|x|>0$ e diventa arbitrariamente piccolo; il reciproco supera ogni $K>0$ quando $0<|x|<1/K$. Entrambi i limiti unilaterali sono $+\infty$, e quindi $h(x)\to+\infty$ bilateralmente.

Errori tipici. Usare $f(a)$ nella definizione come se dovesse coincidere col limite; dimenticare $x\ne a$; identificare limiti sinistro e destro; considerare $+\infty$ un numero reale; scegliere $\delta$ senza dimostrare che produce l’errore richiesto.

Riferimenti del capitolo. OpenStax, sezione 2.2 “The Limit of a Function”: consultati obiettivi e passaggi su limiti intuitivi, unilaterali e relazione tra i due lati; la pagina estratta non mostrava la resa completa delle formule. MIT OCW 18.100B Lecture 4 è distinta e consultata per il quadro sequenziale, ma la descrizione non sostituisce una lettura integrale della lezione. OpenStax Calculus Volume 1.

6. Algebra dei limiti, forme indeterminate e limiti notevoli

Se $f(x)\to A$ e $g(x)\to B$ per $x\to a$, allora $f+g\to A+B$, $fg\to AB$, e $f/g\to A/B$ se $B\ne0$ (e il quoziente è definito in un intorno puntato). Analoghe regole valgono per multipli costanti e potenze intere; per radici e funzioni composte si richiedono le condizioni di dominio e continuità appropriate. Le leggi autorizzano sostituzione diretta solo quando le quantità hanno limiti finiti e le operazioni sono ammissibili.

Una forma $0/0$ è indeterminata: non dice quale sarà il limite, ma segnala che occorre trasformare l’espressione. Anche $\infty/\infty$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ e forme di potenza come $1^\infty$ non determinano da sole un risultato. Per razionali si confrontano i gradi dopo aver raccolto la massima potenza; se il numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il limite all’infinito è rapporto dei coefficienti principali. Se i gradi differiscono, domina quello maggiore, con attenzione al segno e al verso.

Per $x\to0$ in radianti valgono $\sin x/x\to1$, $\tan x/x\to1$ e $(1-\cos x)/x^2\to1/2$. Il primo si giustifica geometricamente per $0<x<\pi/2$ con $\sin x<x<\tan x$; dividendo per $\sin x$ e riordinando si ottiene $\cos x<\sin x/x<1$, e il confronto porta al limite 1. Per il secondo, $\tan x/x=(\sin x/x)/\cos x$. Il terzo segue da $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ e dal primo limite. La simmetria copre anche valori negativi.

Sono utili inoltre $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x=1$, $\lim_{x\to0}\ln(1+x)/x=1$ e $\lim_{x\to0}((1+x)^\alpha-1)/x=\alpha$ per $\alpha$ reale, ove l’espressione sia definita vicino a zero. Queste forme sono conseguenze di risultati fondamentali su esponenziale, logaritmo e potenze; in questo testo si usano come limiti notevoli, senza trattare strumenti di derivazione. Per $x\to a$, traslazioni si riconducono al caso zero ponendo $u=x-a$.

Esempio 1. $\lim_{x\to0}\sin(5x)/(2x)$. Riscrivi $\frac52\frac{\sin(5x)}{5x}$; il rapporto tende a 1, risultato $5/2$.

Esempio 2. $\lim_{x\to\infty}(4x^2-x+3)/(2x^2+5)$. Dividendo per $x^2$, il rapporto diventa $(4-1/x+3/x^2)/(2+5/x^2)\to2$.

Esercizio 1. Calcola $\lim_{x\to0}(1-\cos(3x))/x^2$. Soluzione. Poni $u=3x$: $1-\cos(3x)$ diviso $(3x)^2$ tende a $1/2$, mentre $(3x)^2/x^2=9$. Risultato $9/2$.

Esercizio 2. Calcola $\lim_{x\to2}(x^2-4)/(x-2)$. Soluzione. La sostituzione produce $0/0$, forma indeterminata. Fattorizzando $x^2-4=(x-2)(x+2)$ e semplificando per $x\ne2$, l’espressione vale $x+2$ nell’intorno puntato; il limite è 4. La cancellazione non afferma che l’espressione originaria sia definita nel punto.

Errori tipici. Interpretare $0/0$ come zero; applicare la regola del quoziente quando il denominatore tende a zero; usare limiti trigonometrici in gradi; perdere fattori come $k$ o $k^2$ dopo una sostituzione; cancellare un fattore e poi pretendere che il valore nel punto sia cambiato.

Riferimenti del capitolo. OpenStax 2.2 (limiti e introduzione a tecniche) e OpenStax 3.5 (limiti trigonometrici richiamati nella voce esistente del sito) sono riscontri per la cornice; la scheda interna esistente “Limiti notevoli: due strumenti essenziali” è già pubblicata. Per una seconda opera indipendente sulle prove sequenziali è stata consultata la descrizione MIT 18.100B Lecture 4, non il testo integrale. OpenStax Calculus Volume 1.

Prima dei teoremi sulla continuità, puoi riprendere i limiti notevoli in una scheda più breve. La sintesi aiuta nel calcolo, ma le ipotesi e le dimostrazioni vanno lette nel capitolo appena concluso.

7. Continuità e teoremi fondamentali

Una funzione $f$ è continua in $a$ se è definita in $a$, esiste il limite finito $\lim_{x\to a}f(x)$ e tale limite coincide con $f(a)$. Sono tre condizioni distinte. Un buco può essere rimovibile se il limite esiste ma il valore manca o è diverso; un salto si ha quando i limiti unilaterali finiti esistono ma non coincidono; una discontinuità infinita compare quando almeno un lato diverge. La continuità su un intervallo richiede continuità in ciascun punto; agli estremi di un intervallo chiuso si considera la continuità unilaterale interna.

Polinomi sono continui su $\mathbb R$; funzioni razionali sono continue nei punti del loro dominio; somme, prodotti, quozienti con denominatore non nullo e composizioni di funzioni continue restano continue dove definite. Esponenziali, logaritmi (sul dominio) e funzioni trigonometriche (nei rispettivi domini) sono continue. Questi fatti rendono la sostituzione diretta uno strumento per calcolare limiti di funzioni continue.

Il teorema di Weierstrass, o teorema degli estremi, afferma che una funzione continua su $[a,b]$ raggiunge massimo e minimo assoluti. Le ipotesi sono essenziali: intervallo chiuso e limitato e continuità sull’intero intervallo. Per esempio $f(x)=1/x$ è continua su $(0,1]$ ma non è limitata, quindi non raggiunge un massimo finito. Da non confondere con il teorema di Bolzano–Weierstrass per successioni: ogni successione limitata di reali ammette una sottosuccessione convergente.

Il teorema dei valori intermedi (spesso detto teorema di Bolzano nella versione degli zeri) dice che se $f$ è continua su $[a,b]$, ogni valore $y$ compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ è assunto in almeno un punto $c\in[a,b]$. In particolare, se $f(a)f(b)<0$, esiste $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=0$. La continuità sull’intero intervallo è necessaria; segni opposti ai soli estremi non bastano in presenza di un salto o di un buco.

La conclusione è esistenza, non unicità. Per provare che uno zero è unico serve un’ulteriore informazione, ad esempio stretta monotonia. E il teorema non fornisce in generale una formula esatta per il punto: bisezione può approssimarlo. La dimostrazione dell’esistenza degli zeri si riduce al valore intermedio $y=0$; se agli estremi c’è già uno zero, la conclusione è immediata, altrimenti 0 è strettamente tra i valori di segno opposto.

Esempio 1. $f(x)=x^3+x-1$ ha almeno uno zero in $[0,1]$: è continua (polinomio), $f(0)=-1<0$, $f(1)=1>0$. Per il teorema esiste $c\in(0,1)$ con $c^3+c-1=0$. Lo zero è unico: se $x<y$, allora $f(y)-f(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2+1)>0$. Infatti $y-x>0$ e $x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3y^2/4\ge0$, dunque il secondo fattore è strettamente positivo. Abbiamo provato la stretta monotonia direttamente, senza usare le derivate.

Esempio 2. $g(x)=x^2-2$ su $[1,2]$ è continua, $g(1)=-1$, $g(2)=2$, quindi ammette uno zero in $(1,2)$ (in effetti $\sqrt2$). Gli estremi dell’intervallo sono chiusi e finiti, condizione conforme al teorema.

Esercizio 1. Dimostra che $x^3+2x+2=0$ ha una radice in $[-2,0]$. Soluzione. È un polinomio, quindi continuo; ai capi vale $-10$ e $2$. Il prodotto dei valori è negativo, perciò il teorema degli zeri garantisce almeno una radice interna.

Esercizio 2. Si può applicare il teorema dei valori intermedi a $h(x)=1/x$ su $[-1,1]$ per concludere che esiste un $c$ con $h(c)=0$? Soluzione. No: $h$ non è definita in 0, quindi non è continua su tutto l’intervallo. Inoltre la conclusione è falsa perché $1/x$ non vale mai zero. I soli valori agli estremi, $-1$ e 1, non bastano.

Errori tipici. Verificare solo $f(a)f(b)<0$ e omettere continuità su tutto $[a,b]$; concludere unicità dall’esistenza; applicare un teorema su intervallo aperto; confondere il Weierstrass dei massimi con Bolzano–Weierstrass delle sottosuccessioni; affermare che una funzione continua deve essere monotona.

Riferimenti del capitolo. OpenStax, sezione 2.4 “Continuity”: testo consultato su definizione in tre condizioni, continuità su intervalli e teorema dei valori intermedi con applicazioni agli zeri. La pagina del corso MIT 18.01SC recuperata era un involucro video e non un testo leggibile: non è trattata come seconda fonte testuale indipendente. OpenStax Calculus Volume 1.

Collegamenti interni verificati

• Scheda esistente: limiti notevoli.
• Scheda esistente: continuità e teorema degli zeri.

Note sulle fonti e sui limiti documentali

OpenStax Calculus Volume 1 è una sola opera, anche quando sono stati aperti più capitoli. La sezione 2.2 è stata letta per nozioni di limite e limiti unilaterali; la sezione 2.4 per definizione di continuità e valori intermedi. La pagina MIT OpenCourseWare 18.100B, Lecture 4, è una seconda opera/corso indipendente (Real Analysis, Spring 2025) e la descrizione è stata effettivamente letta; descrive sequenze, convergenza, proprietà iniziali e sottosuccessioni, ma non espone il contenuto della dimostrazione. Il sito MIT 18.01SC recuperato rimandava solo a un involucro video non leggibile e non è usato come supporto testuale. Le pagine OpenStax talvolta hanno perso formule nell’estrazione testuale: nessuna citazione letterale è riportata e si evita di attribuire loro il dettaglio di passaggi non visibili.

La richiesta di doppia fonte viene soddisfatta con due opere distinte, ma la copertura non è perfettamente simmetrica: OpenStax è la fonte testuale principale per limiti/continuità; MIT 18.100B dà supporto descrittivo verificato alle successioni. Per i richiami a funzioni elementari e completezza, la ricerca non ha recuperato pagine testuali specifiche integralmente leggibili; i contenuti sono nozioni standard rielaborate, non presentate come citazioni puntuali. Per copertura più robusta di quei sottotemi sarebbe opportuno aggiungere la lettura integrale di sezioni OpenStax 1.1–1.6 e appunti MIT 18.100B pertinenti.

Le dimostrazioni sono schematiche ma esplicitano gli snodi logici richiesti. Non sono stati trattati derivate o integrali. Per WebAssembly/router del sito si sono verificati solo gli ID e i valori di materia/sezione del dataset; l’implementazione finale delle rotte va controllata dal coordinatore.

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Analisi matematica I — Parte 2: derivazione e studio delle funzioni

Materiale di studio originale, orientato alla preparazione d’esame. Non è una certificazione didattica né un programma universale: verificare notazione, teoremi richiesti e convenzioni con il corso frequentato. Si presuppongono le nozioni di funzione, limite e continuità; non si ripetono i limiti fondamentali e non si tratta l’integrazione.

1. Derivata: definizione, significato locale e tangente

Sia f definita in un intorno di a. Per h diverso da zero, il rapporto incrementale è

Esso è la pendenza della secante che unisce (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). Se esiste finito il limite per h tendente a zero, si definisce

Equivalentemente si può porre x=a+h e scrivere lim_{x→a}(f(x)−f(a))/(x−a). Il valore è la derivata in a; la funzione x↦f′(x), dove definita, è la funzione derivata. L’interpretazione geometrica è la pendenza della tangente, quella cinematica è il tasso istantaneo: se s(t) è una posizione in metri, s′(t) è velocità in m/s. La derivata dipende dalla scala delle unità e dalla variabile indipendente.

La tangente in a, se f è derivabile, è y=f(a)+f′(a)(x−a). La derivata è un’informazione locale: descrive il miglior andamento lineare al primo ordine, ma non l’intero comportamento globale. In termini precisi,

dove o(h)/h→0. Questa relazione è detta approssimazione lineare. Se f′(a)>0 la funzione cresce localmente al primo ordine attorno ad a, ma ciò non autorizza a concludere che cresca su tutto il dominio. Se f′(a)=0 la tangente è orizzontale; può trattarsi di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.

Calcolo dalla definizione. Per f(x)=x², in a, [f(a+h)−f(a)]/h=((a+h)²−a²)/h=2a+h, dunque f′(a)=2a. Per f(x)=|x| in zero, i rapporti da destra valgono 1 e da sinistra −1; i limiti laterali non coincidono e la derivata non esiste. La continuità in zero non basta a produrre derivabilità.

Esempio 1. Sia f(x)=x²−3x. In a=2 il rapporto è ((2+h)²−3(2+h)−(4−6))/h=(h+h²)/h=1+h; dunque f′(2)=1. Il punto è (2,−2) e la tangente è y+2=x−2, cioè y=x−4.

Esempio 2. Una particella ha s(t)=t³−2t (metri). La velocità istantanea è v(t)=3t²−2; a t=1 vale 1 m/s. La velocità media da 1 a 1+h è [s(1+h)−s(1)]/h=1+3h+h², che tende a 1. Accelerazione sarebbe la derivata della velocità, non la pendenza di s.

Esercizio svolto 1. Per f(x)=1/x, x≠0, calcolare dalla definizione f′(a). Si ha

per a≠0 e h sufficientemente piccolo con a+h≠0. Il dominio esclude zero; non si può applicare il calcolo in a=0.

Esercizio svolto 2. Studiare derivabilità di g(x)=x|x| in zero. g(0)=0 e il rapporto incrementale è h|h|/h=|h| per ogni h≠0; tende a zero. Quindi g′(0)=0, benché la formula di g cambi ai due lati. Per x>0 g=x² e g′=2x; per x<0 g=−x² e g′=−2x: entrambe tendono a zero, coerentemente.

Errori da evitare. Non confondere f(a) con f′(a); il rapporto incrementale non è definito per h=0, ma si considera il limite. Una pendenza secante per h non nullo non è ancora la tangente. Derivata positiva in un singolo punto non dimostra monotonia su un intervallo. Una derivata può non esistere pur essendo la funzione continua, come per |x|.

Letture: OpenStax, 3.1 Defining the Derivative; richiamo interno scheda sulle derivate.

Se il rapporto incrementale è ancora poco familiare, riprendi prima la scheda Derivata: tasso di variazione istantaneo, poi torna qui per le regole e le ipotesi dei teoremi.

2. Regole di derivazione e derivate note

Le regole consentono di derivare espressioni composte da funzioni semplici senza rifare ogni volta il limite. Le formule valgono nei punti in cui le funzioni coinvolte sono definite e le derivate richieste esistono.

Linearità: (αf+βg)′=αf′+βg′ per costanti α,β. In particolare, la derivata di una costante è zero. Prodotto: (fg)′=f′g+fg′. La regola non è f′g′: si sommano i due contributi al variare di ciascun fattore. Quoziente: (f/g)′=(f′g−fg′)/g², nei punti dove g≠0. Il denominatore va elevato al quadrato e il numeratore ha ordine preciso. Catena: (f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x). Prima si valuta la derivata della funzione esterna nel valore interno, poi si moltiplica per la derivata interna.

Dalla definizione e dal binomio si ottiene (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ per interi n; la formula si estende agli esponenti reali sugli intervalli in cui xⁿ è reale e definito (per esempio x>0 per esponente reale arbitrario). Si ricordano: (eˣ)′=eˣ; (aˣ)′=aˣ ln a per a>0; (ln x)′=1/x per x>0; (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x; (tan x)′=1/cos²x dove cos x≠0. Le formule trigonometriche assumono angoli in radianti. Per la funzione inversa, se f è definita su un intervallo, è invertibile e derivabile in un intorno di x₀, e f′(x₀)≠0, allora l’inversa è derivabile in y₀=f(x₀) e (f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀). L’ipotesi non è decorativa: la funzione inversa può avere tangente verticale o non essere derivabile quando la derivata originaria si annulla.

La regola del prodotto si giustifica scrivendo [f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)]/h come f(x+h)[g(x+h)−g(x)]/h + g(x)[f(x+h)−f(x)]/h. Passando al limite, la continuità di f (conseguenza della derivabilità) dà f(x)g′(x)+g(x)f′(x). La catena segue dal rapporto incrementale, trattando la variazione g(x+h)−g(x) e il rapporto con la variazione dell’argomento; il caso in cui tale variazione sia zero si gestisce direttamente.

Esempio 1. y=(x²+1)eˣ. Per prodotto y′=2xeˣ+(x²+1)eˣ=eˣ(x²+2x+1)=eˣ(x+1)².

Esempio 2. y=ln(1+3x²), con 1+3x²>0 per ogni reale. Catena: y′=6x/(1+3x²). Per y=sin(2x³), si ottiene y′=6x² cos(2x³), non semplicemente cos(2x³).

Esercizio svolto 1. Derivare (x²−1)/(x+2). Per x≠−2:

Il punto −2 resta escluso dal dominio, anche se si semplificasse algebricamente qualcosa.

Esercizio svolto 2. Trovare la derivata di (3x−1)⁵. Catena con esterna u⁵ e interna u=3x−1: 5(3x−1)⁴·3=15(3x−1)⁴. Rispetto alla funzione inversa, per f(x)=x³ su x>0, f⁻¹(y)=y^(1/3), e la formula dà (f⁻¹)′(y)=1/(3x²)=1/(3y^(2/3)), y>0.

Errori da evitare. Non distribuire la derivata su un prodotto come se fosse una somma. Nella catena manca spesso il fattore interno. Il quoziente richiede denominatore non nullo. Le derivate di sin e cos qui sono in radianti. La formula dell’inversa non va applicata dove f′=0, né senza invertibilità locale.

Letture: OpenStax, 3.3 Differentiation Rules; OpenStax, 3.8 Implicit Differentiation (contesto di calcolo differenziale; le formule sopra sono sviluppate autonomamente).

3. Differenziabilità e continuità: implicazione e controesempi

Se f è derivabile in a, allora è continua in a. Infatti

Il rapporto tende a f′(a), quindi è limitato per h abbastanza piccolo; il prodotto per h tende a zero. Ne segue f(a+h)→f(a). Il viceversa è falso: f(x)=|x| è continua in zero, ma le pendenze laterali sono rispettivamente −1 e +1. Anche x↦x^(1/3) è continua in zero e la pendenza secante h^(1/3)/h diverge in valore assoluto: non esiste derivata finita.

La differenziabilità è più forte della continuità: impone un’approssimazione lineare con errore o(h). Un grafico con spigolo, cuspide, tangente verticale o oscillazione patologica può non ammetterla. Una funzione può essere derivabile senza avere derivata continua: ad esempio f(x)=x² sin(1/x²) per x≠0 e f(0)=0 è derivabile in zero con f′(0)=0, perché f(h)/h=h sin(1/h²)→0, ma per x≠0 la derivata contiene il termine −2cos(1/x²)/x, che non è limitato vicino a zero. Dunque “derivabile” non significa “derivata continua”.

Per funzioni definite a tratti, si controllano separatamente continuità, quoziente incrementale e derivate laterali al raccordo. Continuità è necessaria; coincidenza dei valori ai lati non assicura coincidenza delle pendenze. Se le derivate laterali esistono finite e coincidono, la funzione è derivabile nel punto (insieme alla continuità coerente del raccordo).

Esempio 1. f(x)=|x−2| è continua in 2. Il rapporto incrementale è |h|/h: −1 per h<0 e +1 per h>0; nessuna derivata. I due rami hanno pendenze distinte.

Esempio 2. Definire f(x)=x² per x≥0 e f(x)=−x² per x<0. In zero la funzione è continua e il rapporto è |h|, quindi derivata zero. Nonostante la formula cambi, le pendenze si raccordano.

Esercizio svolto 1. Per f(x)=|x|^α, α>0, discutere in zero. La continuità segue da |x|^α→0. Il rapporto per h≠0 è |h|^α/h. Se α>1 tende a zero da entrambi i lati; se α=1 dà −1 a sinistra e +1 a destra; se 0<α<1 il modulo è |h|^(α−1)→∞. Quindi derivabile esattamente per α>1, con derivata zero.

Esercizio svolto 2. Trovare k affinché f(x)=x² per x≤1 e f(x)=kx+1−k per x>1 sia derivabile in 1. Entrambi i valori in 1 valgono 1, dunque è continua per ogni k. Derivata sinistra 2; derivata destra k. Occorre k=2. In tal caso le due derivate coincidono e f′(1)=2.

Errori da evitare. Non concludere derivabilità dalla sola continuità. Non usare la derivata ordinaria se il punto è un estremo del dominio senza definire derivata unilaterale. L’esistenza di derivata finita è diversa da tangente verticale. Il fatto che la derivata esista non obbliga f′ ad essere continua.

Letture: OpenStax 3.1 per definizione e tangente.

4. Fermat, Rolle e Lagrange: estremi e monotonia

Teorema di Fermat. Se f ha un massimo o minimo locale in un punto interno a un intervallo ed è derivabile in quel punto, allora f′(c)=0. Dimostrazione: al massimo, per h positivo piccolo il rapporto [f(c+h)−f(c)]/h è ≤0, mentre per h negativo è ≥0. Se il limite bilaterale esiste, deve essere insieme ≤0 e ≥0, dunque zero. L’ipotesi di punto interno è essenziale; l’ipotesi di derivabilità non si può sopprimere. Il teorema fornisce una condizione necessaria, non sufficiente: x³ ha derivata nulla in zero ma non estremo.

Rolle. Se f è continua su [a,b], derivabile su (a,b) e f(a)=f(b), allora esiste c∈(a,b) con f′(c)=0. Se f è costante è immediato; altrimenti il massimo o il minimo assoluto raggiunto sul compatto, con estremi uguali, deve essere assunto anche in un punto interno non costante, dove si applica Fermat.

Teorema di Lagrange (valore medio). Se f è continua su [a,b] e derivabile su (a,b), esiste c∈(a,b) tale che

Si applica Rolle alla funzione φ(x)=f(x)−[(f(b)−f(a))/(b−a)](x−a), che ha valori uguali agli estremi. Il teorema afferma che una pendenza istantanea uguaglia la pendenza media almeno in un punto; non individua necessariamente c in modo unico.

Conseguenze fondamentali. Per una funzione continua su un intervallo e derivabile nei suoi punti interni, se f′(x)>0 per ogni x interno, f è strettamente crescente; con f′≥0 è non decrescente. Queste ipotesi permettono di applicare Lagrange a ogni sottointervallo chiuso contenuto nell’intervallo. Per x<y si applica Lagrange su [x,y], ottenendo f(y)−f(x)=f′(c)(y−x). Analogamente per segno negativo. Se f′=0 ovunque su un intervallo, f è costante. Se due funzioni hanno la stessa derivata su un intervallo, la loro differenza è costante. Per un intervallo chiuso, massimi e minimi assoluti vanno cercati anche agli estremi, oltre che ai punti critici interni.

Esempio 1. f(x)=x² su [1,3]. La pendenza media è (9−1)/2=4. La derivata 2x vale 4 in c=2, interno all’intervallo.

Esempio 2. Per f(x)=x³−3x su [−2,2], gli estremi hanno valori −2 e 2, non uguali, quindi Rolle non si applica. Lagrange sì: pendenza media (2−(−2))/4=1. f′=3x²−3=1 dà x²=4/3, cioè c=±2/√3, entrambi interni.

Esercizio svolto 1. Verificare Rolle per f(x)=x²−4x+3 su [1,3]. È polinomio, quindi continua e derivabile; f(1)=0=f(3). f′=2x−4 si annulla in c=2, che appartiene a (1,3).

Esercizio svolto 2. Dimostrare che x³+x è strettamente crescente. La derivata è 3x²+1>0 per ogni x. Se x0. Il risultato è globale perché la condizione vale su tutto R.

Errori da evitare. Non applicare Lagrange se manca continuità agli estremi o derivabilità in qualche punto interno. Non confondere “esiste c” con “per ogni c”. Fermat non dice che ogni derivata nulla individua un estremo. Per intervalli chiusi includere gli estremi nel confronto dei valori.

Letture: OpenStax 4.4, Mean Value Theorem.

5. Regola di de l’Hôpital: forma indeterminata, ipotesi e cautela

La regola di de l’Hôpital riguarda limiti di quozienti in forma 0/0 oppure ∞/∞. In una versione utile: f,g derivabili in un intorno bucato del punto a, g′ non nulla lì, e il quoziente f′/g′ ha limite L (finito o infinito); se f,g tendono entrambi a zero oppure entrambi a infinito nel modo previsto, allora f/g tende a L, sotto le usuali ipotesi del teorema di de l’Hôpital. Esistono versioni per limiti unilateri e per a=±∞, con ipotesi formulate sul corrispondente intervallo. Il teorema è un risultato, non una manipolazione formale: il quoziente delle derivate è utilizzabile solo dopo aver verificato forma e ipotesi.

La dimostrazione si collega al teorema di Cauchy del valor medio: tra a e x esiste ξ tale che [f(x)−f(a)]/[g(x)−g(a)]=f′(ξ)/g′(ξ). Nel caso 0/0, f(a)=g(a)=0; facendo tendere x ad a si trasferisce il limite dal rapporto originario al rapporto delle derivate. Per divergenze e limiti impropri serve la versione appropriata, non questa dimostrazione abbreviata.

Non tutte le forme indeterminate sono direttamente ammissibili: 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0 e ∞^0 richiedono prima trasformazioni corrette in quozienti 0/0 o ∞/∞ (spesso logaritmi per potenze). Se la forma non è indeterminata, la regola può dare un risultato errato. La regola può essere ripetuta solo se il nuovo rapporto resta nel caso consentito e le ipotesi continuano a valere. Se f′/g′ non ha limite, la regola non conclude; ciò non dimostra che f/g non abbia limite.

Esempio 1. lim_{x→0} sin x/x è 0/0. Derivate: cos x/1→1. Pertanto il limite vale 1.

Esempio 2. lim_{x→∞} ln x/x. È ∞/∞; rapporto derivate è (1/x)/1→0, quindi il limite è zero. L’esito rispecchia la crescita logaritmica più lenta di quella lineare.

Esercizio svolto 1. Calcolare lim_{x→0}(eˣ−1)/x. Forma 0/0; numeratore e denominatore derivabili, denominatore con derivata 1 non nulla. Il rapporto delle derivate è eˣ, che tende a 1. Quindi il limite è 1.

Esercizio svolto 2. Calcolare lim_{x→0}(1−cos x)/x². Prima applicazione dà sin x/(2x), ancora 0/0. Seconda applicazione dà cos x/2, che tende a 1/2. In entrambi i passaggi la forma e il denominatore derivato sono validi; il limite finale è 1/2.

Errore-trappola. lim_{x→0}(x+1)/x non è forma 0/0 né ∞/∞: il numeratore tende a 1 e il denominatore a zero. Applicare l’Hôpital produrrebbe 1/1 e la risposta falsa 1; il quoziente diverge con segni diversi dai due lati. Prima si classifica sempre la forma.

Letture: OpenStax 4.8, L’Hôpital’s Rule.

6. Taylor di ordine finito: polinomio e resti diversi

Sia f sufficientemente derivabile vicino ad a. Il polinomio di Taylor di grado n centrato in a è

Esso coincide con f e con le sue derivate fino all’ordine n nel centro; se f è n volte derivabile in a, la differenza f(x)−T_n(x)=o((x−a)^n) in appropriate ipotesi locali. Con maggiore regolarità si può precisare l’errore.

Resto di Peano: f(x)=T_n(x)+o((x−a)^n), per x→a. Una condizione sufficiente semplice, non la più debole possibile, è che f abbia n derivate continue in un intorno di a. È un’affermazione asintotica locale: l’errore, diviso per (x−a)^n, tende a zero; non dà da sola una costante numerica d’errore a distanza finita. Versioni più generali richiedono meno continuità: prima di usarle occorre precisare esattamente quale formulazione si sta applicando.

Resto di Lagrange: fissati a e x distinti, una condizione sufficiente standard è che f abbia n derivate continue sul segmento chiuso con estremi a e x e che la derivata di ordine n+1 esista nell’interno; allora esiste ξ strettamente tra a e x tale che

Se |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M sul tratto, segue la stima |R_n(x)|≤M|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!. Peano e Lagrange non sono sinonimi: il primo descrive ordine asintotico, il secondo rappresenta il resto con un punto intermedio e consente stime quantitative quando si controlla la derivata successiva.

Sviluppi utili presso zero: eˣ=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ); sin x=x−x³/3!+…; cos x=1−x²/2!+…; ln(1+x)=x−x²/2+… nel suo intorno di definizione. Per un esercizio finito si specificano centro e grado e si calcolano le derivate al centro; non si confonde un polinomio di Taylor con una serie infinita o con l’identità della funzione su tutto il dominio.

Esempio 1. Per eˣ in a=0, T₂(x)=1+x+x²/2. Per x=0,1, il valore è 1,105, mentre e^{0,1}≈1,10517; il resto di Lagrange è e^ξ(0,1)³/6 con 0<ξ<0,1, quindi è positivo e al più e^{0,1}·0,001/6≈0,0001842. La differenza effettiva è circa 0,0001702: rispetta il limite superiore e non va confusa con il limite stesso.

Esempio 2. Per ln(1+x) in zero, T₂=x−x²/2. A x=0,2 vale 0,18, contro ln(1,2)≈0,18232. Il resto non è nullo: il polinomio approssima e l’ordine del residuo è superiore al quadratico.

Esercizio svolto 1. Trovare T₃ di sin x in zero e indicare il resto. Le derivate al centro sono 0,1,0,−1: T₃=x−x³/6. Per Peano sin x=x−x³/6+o(x³); con quarto ordine la forma più informativa è sin x=x−x³/6+O(x⁵), e con Lagrange di grado tre il resto è f⁽⁴⁾(ξ)x⁴/24 per ξ tra 0 e x (stima non ottimale, ma legittima: |f⁽⁴⁾|≤1). Se si desidera il termine di ordine quarto effettivo, esso è zero.

Esercizio svolto 2. Approssimare e^{0,2} con T₂ e limitare l’errore. T₂=1+0,2+0,2²/2=1,22. Il resto è e^ξ(0,2)³/6 con 0<ξ<0,2; pertanto 0<R₂<e^{0,2}·0,008/6<0,00163. Il valore vero è quindi tra 1,22 e circa 1,22163.

Errori da evitare. Non scrivere R_n=O((x−a)ⁿ⁺¹) come se fosse automaticamente una formula con costante nota. Non confondere Peano con Lagrange. La stima richiede un limite superiore della derivata di ordine n+1 sull’intero tratto. Il grado del polinomio e il centro vanno dichiarati. Angoli in radianti per gli sviluppi trigonometrici.

Letture di riscontro effettivo: Jiří Lebl, Basic Analysis I, sezione 4.3 e MIT 18.100C, lezione 15, teoremi 15.4–15.6.

7. Studio di funzione e ottimizzazione

Uno studio completo è un ragionamento coordinato, non un elenco meccanico. Si parte dal dominio: denominatori non nulli, argomenti di logaritmi positivi, radicandi compatibili con la radice reale, vincoli del problema. Poi si cercano simmetrie, intersezioni con gli assi e segno; si analizzano i limiti ai bordi del dominio per individuare eventuali asintoti verticali o comportamento all’infinito. Un asintoto verticale x=a richiede che almeno uno dei limiti laterali di f in a sia +∞ o −∞; un asintoto orizzontale y=L corrisponde a limite finito f(x)→L per x→±∞; l’asintoto obliquo y=mx+q (per x→+∞ oppure x→−∞) si ottiene se, nella stessa direzione, m=lim f(x)/x è finito non nullo e q=lim[f(x)−mx] è finito.

Si calcola f′ per monotonia ed estremi. I punti critici sono i punti interni del dominio in cui f′=0 o non esiste; punti fuori dal dominio non sono punti critici della funzione. Si costruisce una tabella dei segni, includendo discontinuità che separano intervalli. Per gli estremi assoluti su intervallo chiuso si confrontano anche i valori agli estremi. Poi f″ individua concavità: f″>0 concavità verso l’alto, f″<0 verso il basso, negli intervalli in cui è definita. Un flesso è un punto del grafico in cui la concavità cambia; f″(c)=0 da sola non basta, e un flesso può esistere anche se f″ non è definita, purché la funzione sia definita e cambi concavità.

Per l’ottimizzazione, tradurre il testo in una variabile e vincoli, determinare dominio fisicamente ammissibile, ridurre l’obiettivo a una funzione di una variabile, cercare punti critici interni e confrontarli con gli estremi ammissibili. Un massimo locale non è automaticamente massimo assoluto. Un candidato fuori dal dominio o che viola i vincoli va scartato. Infine si interpretano unità e significato, non solo il valore numerico.

Esempio 1: analisi di x³−3x. Dominio R, intersezioni con asse x: x(x²−3)=0, dunque 0, ±√3; nessun asintoto. f′=3(x²−1), positiva per |x|>1 e negativa per |x|<1: crescente su (−∞,−1) e (1,∞), decrescente su (−1,1). Massimo locale f(−1)=2, minimo locale f(1)=−2. f″=6x: concava in giù per x<0, in su per x>0; flesso (0,0). Poiché è cubica, non ha estremi assoluti su R.

Esempio 2: f(x)=1/(x−1). Dominio R{1}; segno negativo a sinistra di 1 e positivo a destra. x=1 è asintoto verticale; y=0 orizzontale a ±∞. f′=−1/(x−1)²<0 su ciascuna componente, quindi decrescente su (−∞,1) e (1,∞). f″=2/(x−1)³: concava in giù a sinistra e in su a destra. Non c’è flesso in x=1, perché il punto non appartiene al dominio: il cambio concavità attraverso un punto escluso non è un flesso del grafico.

Esercizio svolto 1. Studiare f(x)=x²/(x−1). Dominio R{1}. Divisione: f=x+1+1/(x−1), perciò asintoto obliquo y=x+1 e verticale x=1; il limite verticale è −∞ da sinistra e +∞ da destra. Zeri e intersezione con asse y: x=0 (zero doppio), f(0)=0. Derivata con quoziente, oppure dalla forma divisa: f′=1−1/(x−1)²=x(x−2)/(x−1)². Critici 0 e 2. Il denominatore è positivo: segno f′ positivo per x<0, negativo per 0<x<2 (separato da 1), positivo per x>2. Massimo locale f(0)=0; minimo locale f(2)=4. Seconda derivata f″=2/(x−1)³; concava in giù su (−∞,1), in su su (1,∞), nessun flesso perché l’unico cambio attraversa punto escluso.

Esercizio svolto 2: scatola senza coperchio. Da un cartone quadrato di lato 12 si ritagliano agli angoli quadrati di lato x e si piegano i lembi. Volume V(x)=x(12−2x)², con 0≤x≤6; ai bordi volume nullo. Derivata V′(x)=(12−2x)(12−6x). I punti stazionari sono x=2 e x=6; x=6 è bordo e dà volume zero. In 0<x<2 V′>0; in 2<x<6 V′<0. Il massimo assoluto è x=2, V=2·8²=128 unità cubiche. La seconda derivata V″=24x−96, negativa in x=2, conferma massimo locale. Il vincolo geometrico impedisce x<0 o x>6.

Errori da evitare. Non calcolare derivata prima di aver determinato il dominio. Non dichiarare asintoto da un singolo limite senza specificare lato e direzione. Non chiamare flesso ogni zero di f″. Tabella dei segni: separare le componenti del dominio. Un punto critico non è automaticamente estremo; ottimizzazione assoluta richiede confronto con bordi e comportamento globale.

Letture: OpenStax 4.5 Derivatives and Shape of a Graph; OpenStax 4.7 Applied Optimization Problems; MIT OCW, Sketching a Curve.

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Riepilogo operativo per la prova

1. Prima di derivare, annotare dominio e punto in esame. 2. Per un quoziente, assicurare denominatore non nullo; per una composta, identificare interno ed esterno. 3. Per teoremi, verificare ogni ipotesi sul preciso intervallo. 4. Per estremi, candidati sono punti critici interni e bordi del dominio del problema; classificare con segni o confronti, non con intuizione grafica. 5. Per de l’Hôpital, scrivere la forma indeterminata e le ipotesi. 6. In Taylor dichiarare centro, grado e tipo di resto. 7. Nello studio globale distinguere dominio, limiti, monotonia e concavità: sono informazioni complementari.

Questa dispensa è una rielaborazione didattica autonoma. I risultati su derivate e studio di funzione sono stati confrontati con le sezioni di OpenStax effettivamente lette. I teoremi su inversa e Taylor fanno riferimento alle sezioni 4.3–4.4 di Basic Analysis I di Jiří Lebl e alle due pagine della lezione 15 di MIT 18.100C, non al semplice indice di un corso. Restano i limiti documentali delle consultazioni descritti nelle note sulle fonti; il confronto non certifica ogni passaggio né sostituisce la revisione di un docente.

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Analisi matematica I — Parte 3: integrale, applicazioni e prime serie

Questa dispensa sviluppa sei nuclei del calcolo integrale e una sezione finale dichiaratamente integrativa. Si presuppongono le nozioni di funzione, continuità, derivata e regole di derivazione: non si ripetono qui i fondamenti dei limiti né le tecniche di derivazione. Per un ripasso si veda Derivata: tasso di variazione istantaneo e Continuità e teorema degli zeri. Per la distinzione tra integrale definito e accumulo con segno è utile anche Integrale definito come accumulo con segno. Non si presume che l’indice dei corsi segua un programma unico.

1. Integrale di Riemann: somme, intervalli e integrabilità

1.1 Dalla somma di rettangoli all’integrale

Sia $f:[a,b]\to\mathbb R$ limitata. Una partizione è una successione finita $P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. La lunghezza del sottointervallo $I_i=[x_{i-1},x_i]$ è $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$; la norma della partizione è $\|P\|=\max_i\Delta x_i$. Scegliendo un punto $\xi_i\in I_i$, la somma di Riemann associata è

La somma approssima l’accumulo con segno: se $f$ è positiva, i rettangoli contribuiscono positivamente; se è negativa, negativamente. L’integrale di Riemann $\int_a^b f(x)\,dx$ esiste se le somme convergono a uno stesso numero quando la partizione diventa arbitrariamente fine, indipendentemente dalle scelte dei punti $\xi_i$. La formulazione equivalente con somme inferiori e superiori è spesso più efficace per dimostrare integrabilità. Su ciascun intervallo $I_i$, siano $m_i=\inf_{I_i}f$ e $M_i=\sup_{I_i}f$. Si definiscono

Vale sempre $L(f,P)\le U(f,P)$. Una funzione limitata è Riemann-integrabile se e solo se per ogni $\varepsilon>0$ esiste una partizione per cui $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$. L’intuizione precisa è che l’area complessiva delle fasce verticali fra rettangoli superiori e inferiori può essere resa piccola.

1.2 Intervalli orientati e proprietà fondamentali

Per convenzione $\int_a^a f=0$ e $\int_b^a f=-\int_a^b f$. La seconda convenzione non afferma che l’area geometrica sia negativa: codifica l’orientazione dell’intervallo. Se $a<c<b$ e $f$ è integrabile, l’additività dà $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$. Se $f\le g$, allora $\int_a^b f\le\int_a^b g$. Inoltre $|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|$ e, se $m\le f(x)\le M$, allora $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$. Queste stime sono controlli di segno e grandezza, non formule per calcolare una primitiva.

Ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ è Riemann-integrabile. Anche ogni funzione monotona limitata su un intervallo chiuso è integrabile. La continuità è una condizione sufficiente, non necessaria: una funzione con un numero finito di salti è integrabile. Un fatto più generale, non indispensabile per gli esercizi elementari, dice che una funzione limitata è Riemann-integrabile quando il suo insieme di discontinuità ha misura nulla. Non occorre usare questa caratterizzazione per giustificare l’integrabilità delle funzioni continue.

Esempio 1.1 — somma destra per $f(x)=x$ su $[0,1]$. Dividiamo in $n$ intervalli uguali e scegliamo l’estremo destro $i/n$. La somma è

Il limite è $1/2$. Non basta osservare una somma per dichiarare integrabilità; qui la funzione è continua, e il limite delle somme esemplifica il valore dell’integrale $\int_0^1x\,dx=1/2$.

Esempio 1.2 — confronto inferiore-superiore. Per $f(x)=x^2$ su $[0,1]$, con partizione uniforme di passo $1/n$, la monotonia implica che la somma inferiore usa gli estremi sinistri e quella superiore i destri. La differenza telescopica è

Dato $\varepsilon>0$, scegliendo $n>1/\varepsilon$ si ottiene $U-L<\varepsilon$: è una verifica diretta del criterio. Il valore dell’integrale, calcolabile poi col teorema fondamentale, è $1/3$.

Esercizi svolti del capitolo 1

Esercizio 1A. Calcolare il limite delle somme destre per $f(x)=2x+1$ su $[0,2]$, con $n$ intervalli uguali, e riconoscere l’integrale.

Soluzione. Il passo è $\Delta x=2/n$ e il punto destro del sottointervallo $i$ è $x_i=2i/n$. Pertanto

Il limite è $6$. La funzione è continua sul compatto, dunque integrabile, e il limite coincide con $\int_0^2(2x+1)\,dx=[x^2+x]_0^2=6$. Si controlla anche geometricamente: trapezio di basi 1 e 5, altezza 2, area $6$.

Esercizio 1B. Mostrare che $f(x)=x^2$ è integrabile su $[1,3]$ usando la continuità; poi stimare l’integrale senza calcolarlo esattamente.

Soluzione. Il polinomio è continuo e quindi Riemann-integrabile sul chiuso limitato $[1,3]$. Su quell’intervallo $1\le x^2\le9$. Integrando la disuguaglianza si ottiene $2\le\int_1^3x^2\,dx\le18$. La stima è corretta ma larga. Il calcolo esatto, se consentito, dà $[x^3/3]_1^3=26/3$, che effettivamente è compreso fra 2 e 18. Errore da evitare: affermare che la continuità è necessaria per l’integrabilità.

Per un primo richiamo visivo al significato del segno, consulta Integrale definito come accumulo con segno. Una seconda sintesi è Integrale definito: sono rimandi interni di ripasso, non nuove fonti indipendenti.

2. Teorema fondamentale del calcolo e valore medio integrale

Il teorema fondamentale collega due operazioni definite inizialmente in modo diverso: accumulare valori mediante integrali e misurare variazioni mediante derivate. Sia $f$ continua su $[a,b]$ e si ponga $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$. Allora $F$ è derivabile in $(a,b)$ e $F'(x)=f(x)$. La continuità di $f$ garantisce qui il risultato in ogni punto interno. In forme più generali si possono indebolire le ipotesi, ma non serve farlo in questi appunti.

Seconda parte (formula di Newton-Leibniz). Se $f$ è continua su $[a,b]$ e $G$ è una sua primitiva, cioè $G’=f$ nell’intervallo, allora

Il valore dell’integrale non dipende dalla costante additiva scelta per $G$. L’ipotesi di continuità è una condizione standard sufficiente a garantire l’integrabilità e la formula. Se ci sono discontinuità o estremi impropri occorrono verifiche e formulazioni appropriate; non si applica la formula in modo automatico oltre le ipotesi.

Teorema del valor medio per gli integrali. Se $f$ è continua su $[a,b]$, esiste $c\in[a,b]$ tale che

Se $a<b$, il numero $f(c)$ è il valore medio integrale $\bar f=(b-a)^{-1}\int_a^b f$. Il teorema deriva dall’esistenza di minimo e massimo per la continuità e dal teorema dei valori intermedi. Il punto $c$ non è in generale unico e il teorema ne garantisce l’esistenza, non un metodo di individuazione esplicito.

Esempio 2.1 — accumulo e derivata. Per $f(t)=3t^2-2$ su $[0,2]$, la funzione accumulo è $A(x)=\int_0^x(3t^2-2)dt=x^3-2x$. Quindi $A'(x)=3x^2-2=f(x)$, come asserisce la prima parte. Sull’intero intervallo, $\int_0^2f=8-4=4$, e il valor medio è $4/2=2$. Il punto in cui $f(c)=2$ è dato da $3c^2-2=2$, dunque $c=\sqrt{4/3}=2/\sqrt3$, che appartiene a $[0,2]$.

Esempio 2.2 — formula con estremi non simmetrici. Calcolare $\int_1^3(2x+1)dx$. Una primitiva è $G(x)=x^2+x$. Per Newton-Leibniz: $(9+3)-(1+1)=10$. Il valor medio della funzione sul tratto è $10/2=5$. Risolvere $2c+1=5$ dà $c=2$, interno all’intervallo. La lunghezza da usare è $3-1=2$, non l’estremo destro 3.

Esercizi svolti del capitolo 2

Esercizio 2A. Sia $H(x)=\int_1^{x^2}\sqrt{1+t}\,dt$. Calcolare $H'(x)$ e indicare le ipotesi.

Soluzione. La funzione $g(t)=\sqrt{1+t}$ è continua per $t\ge-1$; per i valori considerati in un intorno di $x=1$, l’estremo $x^2$ è nel suo dominio. Per la regola della catena e la prima parte del teorema fondamentale, $H'(x)=g(x^2)\cdot2x=2x\sqrt{1+x^2}$. Non si deriva l’integrando rispetto a $x$ e non si dimentica il fattore derivata dell’estremo.

Esercizio 2B. Trovare un punto garantito dal valor medio integrale per $f(x)=x^2$ su $[0,3]$.

Soluzione. La funzione è continua. L’integrale è $[x^3/3]_0^3=9$; diviso per la lunghezza 3 dà valore medio 3. Serve $c^2=3$ e, nell’intervallo, si può scegliere $c=\sqrt3$. La soluzione negativa non appartiene al dominio dell’intervallo e non è il punto garantito. Il teorema non afferma che $c$ sia il punto medio geometrico.

3. Primitive e tecniche elementari d’integrazione

Una primitiva di $f$ su un intervallo è una funzione $F$ derivabile lì con $F’=f$. Se $F$ è una primitiva, tutte le primitive sullo stesso intervallo sono $F+C$: se $F’=G’=f$, la derivata di $F-G$ è zero e una funzione derivabile con derivata nulla su un intervallo è costante. La scrittura $\int f(x)dx=F(x)+C$ indica una famiglia, mentre $\int_a^b f(x)dx$ è un numero e non porta la costante $C$.

Formule essenziali: $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ per $n\ne-1$; $\int dx/x=\ln|x|+C$ su ciascun intervallo che non attraversa zero; $\int e^x dx=e^x+C$; $\int\cos xdx=\sin x+C$; $\int\sin xdx=-\cos x+C$. La regola di linearità consente di integrare somme e multipli. Le formule elementari vanno intese su intervalli nei quali le funzioni sono definite.

3.1 Sostituzione

La sostituzione inverte la regola della catena. Se $u=g(x)$ e l’integrando contiene un fattore proporzionale a $g'(x)$, si pone $du=g'(x)dx$ e si riscrive tutto in $u$. In forma definita, se $g$ è regolare e l’integrando è continuo, $\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$. Vanno cambiati anche gli estremi, oppure si deve tornare alla variabile $x$ prima di sostituire i limiti.

Esempio 3.1. $\int 2x\cos(x^2)dx$. Con $u=x^2$, $du=2x dx$, si ottiene $\int\cos udu=\sin u+C=\sin(x^2)+C$. Verifica: la derivata è $2x\cos(x^2)$.

Esempio 3.2. $\int_0^1x e^{x^2}dx$. Ponendo $u=x^2$, gli estremi diventano 0 e 1 e $x dx=du/2$. Si ottiene $\frac12\int_0^1e^udu=\frac{e-1}{2}$. Lasciare gli estremi in $x$ dopo aver trasformato l’integrando in $u$ è un errore di variabile.

3.2 Integrazione per parti

Dalla derivata del prodotto $(uv)’=u’v+uv’$ segue

È utile quando la scelta di $u$ semplifica dopo la derivazione e $dv$ si integra con facilità. Per integrali definiti: $\int_a^b u v’ dx=[uv]_a^b-\int_a^b v u’ dx$. Non è una ricetta meccanica: una scelta inefficace può rendere l’integrale più complicato.

Esempio 3.3. $\int x e^x dx$. Scegliamo $u=x$, $dv=e^xdx$, quindi $du=dx$, $v=e^x$. Risulta $xe^x-\int e^xdx=e^x(x-1)+C$. La derivata del risultato restituisce $xe^x$.

Esempio 3.4. $\int_0^1x\ln(1+x)dx$. Scegliamo $u=\ln(1+x)$ e $dv=x dx$, così $du=dx/(1+x)$ e $v=x^2/2$. Il risultato è

La divisione $x^2/(1+x)=x-1+1/(1+x)$ dà integrale interno $[x^2/2-x+\ln(1+x)]_0^1=\ln2-1/2$. Quindi il valore finale è $1/4$. La scelta di non assegnare $u=x$ è conveniente perché derivare il logaritmo lo semplifica, mentre integrare $x$ è immediato.

3.3 Frazioni semplici elementari

Per una frazione razionale $P(x)/Q(x)$ con $\deg P<\deg Q$, si fattorizza il denominatore. Fattori lineari distinti richiedono termini $A/(x-r)$; un fattore ripetuto $(x-r)^k$ richiede $A_1/(x-r)+\cdots+A_k/(x-r)^k$. Per fattori quadratici irriducibili si usa un numeratore lineare sopra ciascuna potenza del fattore. Se la frazione è impropria, prima si esegue la divisione polinomiale. La decomposizione è valida nei domini che escludono gli zeri del denominatore.

Esempio 3.5. $\int (3x+5)/(x^2+3x+2)dx$. Il denominatore si fattorizza $(x+1)(x+2)$; la decomposizione è $2/(x+1)+1/(x+2)$ (verifica: $2(x+2)+(x+1)=3x+5$). L’integrale è $2\ln|x+1|+\ln|x+2|+C$, su ogni intervallo del dominio.

Esempio 3.6. $\int 1/(x^2-1)dx$. Si ha $1/[(x-1)(x+1)]=\frac12/(x-1)-\frac12/(x+1)$. L’integrale è $\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+C$. Il risultato non attraversa $x=\pm1$ come un’unica primitiva: il dominio è formato da tre intervalli distinti.

Esercizi svolti del capitolo 3

Esercizio 3A. Calcolare $\int x/(x^2+4)dx$ e verificare.

Soluzione. Poniamo $u=x^2+4$, $du=2x dx$. L’integrale diventa $\frac12\int du/u=\frac12\ln|u|+C$. Poiché $u>0$, si può scrivere $\frac12\ln(x^2+4)+C$. La derivata è $\frac12(2x)/(x^2+4)=x/(x^2+4)$. Il modulo è superfluo qui perché l’argomento è positivo, ma non in generale per un logaritmo di espressione lineare.

Esercizio 3B. Calcolare $\int (2x+3)/(x^2+3x+2)dx$.

Soluzione. Il denominatore è $(x+1)(x+2)$. Cerchiamo $A/(x+1)+B/(x+2)$: $A(x+2)+B(x+1)=(A+B)x+(2A+B)$. Il sistema $A+B=2$, $2A+B=3$ dà $A=1$, $B=1$. Pertanto l’integrale è $\ln|x+1|+\ln|x+2|+C$. Il denominatore si annulla in $-1$ e $-2$, perciò la formula vale separatamente sugli intervalli del dominio, non sull’intera retta.

4. Aree, integrali con segno e valore medio

L’integrale definito misura accumulo orientato, non sempre area geometrica. Se $f\ge0$ su $[a,b]$, l’area sotto il grafico e sopra l’asse è $\int_a^b f$. Se $f\le0$, l’integrale è negativo, mentre l’area geometrica compresa fra curva e asse è $-\int_a^b f=\int_a^b|f|$. Se la funzione cambia segno, si individuano gli zeri e si spezza l’intervallo: area geometrica $=\int_a^b|f(x)|dx$, calcolata come somma dei valori assoluti dei contributi sui tratti di segno costante.

Per l’area fra due curve $y=f(x)$ e $y=g(x)$, quando sono grafici rispetto a $x$, si trova prima dove si intersecano e quale curva sta sopra in ciascun tratto. L’area è la somma di $\int (f-g)dx$ nei tratti dove $f\ge g$. Se la descrizione è più semplice orizzontalmente, si integra rispetto a $y$ con curva destra meno curva sinistra. Disegnare un grafico qualitativo o fare una tabella di segno evita di scambiare ordine e segno: non si inserisce un valore assoluto senza identificare i punti d’intersezione.

Il valore medio integrale è $\bar f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$. È un’altezza media con segno: per funzione non negativa coincide con l’altezza di un rettangolo di base $b-a$ e area uguale all’accumulo. Il teorema del valor medio integrale assicura che una funzione continua assume quel valore in almeno un punto. Non è la media dei soli valori agli estremi.

Esempio 4.1 — area con cambio di segno. Per $f(x)=x-1$ su $[0,3]$, lo zero è $x=1$. L’integrale con segno è $[x^2/2-x]_0^3=3/2$. L’area geometrica è il triangolo sotto l’asse fra 0 e 1, area $1/2$, più il triangolo sopra fra 1 e 3, area 2: totale $5/2$. Si vede che integrare senza spezzare restituisce la differenza $2-1/2$, non la somma.

Esempio 4.2 — area fra parabola e retta. Tra $y=x$ e $y=x^2$ su $[0,1]$, $x\ge x^2$. L’area è $\int_0^1(x-x^2)dx=1/2-1/3=1/6$. Le curve si incontrano agli estremi 0 e 1; sul tratto interno l’ordine è determinato, per esempio, provando $x=1/2$.

Esempio 4.3 — valore medio. Per $f(x)=x^2$ su $[0,2]$, il valore medio è $(1/2)\int_0^2x^2dx=(1/2)(8/3)=4/3$. Il punto del valor medio soddisfa $c^2=4/3$, quindi $c=2/\sqrt3$ nel tratto considerato.

Esercizi svolti del capitolo 4

Esercizio 4A. Determinare integrale con segno e area geometrica di $f(x)=2-x$ su $[0,3]$.

Soluzione. Lo zero è $x=2$. L’integrale orientato è $[2x-x^2/2]_0^3=6-9/2=3/2$. Per l’area geometrica si spezza: da 0 a 2 il triangolo sopra l’asse ha base 2 e altezza 2, area 2; da 2 a 3 il triangolo sotto ha base 1 e altezza 1, area $1/2$. Totale $5/2$. L’integrale è invece $2-1/2=3/2$. Errore tipico: chiamare entrambe le quantità “area” senza specificare quale.

Esercizio 4B. Trovare l’area fra $y=2x$ e $y=x^2$ da $x=0$ a $x=2$.

Soluzione. Risolvendo $2x=x^2$ si trovano 0 e 2. Nel tratto interno, ad esempio $x=1$, $2x=2>x^2=1$, dunque la retta è sopra la parabola. L’area vale $\int_0^2(2x-x^2)dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4-8/3=4/3$. Se si inverte l’ordine dei grafici il risultato negativo segnala un’area non impostata correttamente.

5. Integrali impropri: infiniti e singolarità

Un integrale improprio non è direttamente un integrale di Riemann su un intervallo chiuso e limitato con funzione limitata. Il suo significato è un limite, che deve esistere ed essere finito perché l’integrale converga. Si distinguono due situazioni, anche se possono presentarsi insieme.

Intervallo infinito. Per $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ si definisce $\lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)dx$, se esiste finito. Per $\int_{-\infty}^b$ si usa $\lim_{R\to-\infty}\int_R^b$. Su tutta la retta si separa in un punto finito $c$: sono necessarie la convergenza di $\int_{-\infty}^c$ e di $\int_c^{+\infty}$. Il valore principale di Cauchy, ottenuto da un taglio simmetrico, non sostituisce questa definizione di convergenza ordinaria.

Singolarità all’estremo o interna. Per $\int_a^b f$ con $f$ non limitata vicino a $b$, si considera $\lim_{r\to b^-}\int_a^r f$. Per singolarità in $a$ si avvicina da destra; se è in un punto interno $c$, bisogna separare e richiedere la convergenza di entrambi i limiti laterali. Non si deve sperare che divergenze opposte si cancellino nella somma ordinaria.

5.1 Confronto e test di potenza

Se $0\le f(x)\le g(x)$ vicino alla parte impropria e $\int g$ converge, allora $\int f$ converge; se $0\le g\le f$ e $\int g$ diverge, allora $\int f$ diverge. Per funzioni eventualmente non negative, il confronto si applica oltre un punto finito; una porzione iniziale continua non cambia la natura. Il confronto al limite è utile se $f,g>0$ e $f/g\to L$ con $0<L<\infty$: hanno la stessa natura.

Per $p\in\mathbb R$, $\int_1^{+\infty}x^{-p}dx$ converge se e solo se $p>1$; invece $\int_0^1x^{-p}dx$ converge se e solo se $p<1$. Le soglie differiscono perché in un caso si controlla la coda all’infinito e nell’altro la crescita vicino a zero. L’esponente critico $p=1$ dà divergenza logaritmica in entrambe le configurazioni.

Esempio 5.1 — coda convergente. $\int_1^{+\infty}x^{-2}dx=\lim_{R\to\infty}[-1/x]_1^R=1$. Il limite è finito, dunque converge. L’integrale su ogni tratto finito esiste, ma la conclusione riguarda il limite improprio.

Esempio 5.2 — singolarità convergente. $\int_0^1x^{-1/2}dx=\lim_{\epsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_\epsilon^1=2$. La funzione cresce senza limite in 0 ma l’area resta finita.

Esempio 5.3 — confronto. Per $x\ge1$, $0\le1/(x^2+1)\le1/x^2$. Poiché $\int_1^\infty x^{-2}dx$ converge, converge anche $\int_1^\infty1/(x^2+1)dx$. Non occorre calcolare l’integrale per decidere la convergenza.

Esercizi svolti del capitolo 5

Esercizio 5A. Studiare $\int_1^{+\infty}1/x\,dx$.

Soluzione. Per definizione si calcola $\lim_{R\to\infty}\int_1^Rdx/x=\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty$. Diverge. Questo è il caso $p=1$ della famiglia $x^{-p}$ all’infinito. Non è corretto scrivere semplicemente $\ln(+\infty)$ come valore integrale: serve il limite e il suo esito è infinito.

Esercizio 5B. Determinare convergenza di $\int_0^1 dx/x^{3/2}$ e calcolare, se convergente.

Soluzione. La singolarità è in 0. La famiglia $x^{-p}$ su $(0,1]$ converge se $p<1$; qui $p=3/2>1$, dunque diverge. Verifica via limite: $\int_\epsilon^1x^{-3/2}dx=[-2x^{-1/2}]_\epsilon^1=-2+2/\sqrt\epsilon\to+\infty$. L’antiderivata esiste per ogni $x>0$, ma ciò non rende finito il limite improprio.

6. Serie numeriche: prime verifiche e criteri

Una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ è il limite, se esiste finito, delle somme parziali $s_N=\sum_{n=1}^Na_n$. Convergere non significa che i singoli addendi siano piccoli in senso informale: è la successione delle somme parziali a dover avere un limite. Condizione necessaria: se la serie converge, allora $a_n\to0$, perché $a_n=s_n-s_{n-1}$. La condizione non è sufficiente: $1/n\to0$ ma la serie armonica diverge.

La serie geometrica $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n$ converge se $|r|<1$ e vale $a/(1-r)$; diverge se $|r|\ge1$. Infatti $s_N=a(1-r^{N+1})/(1-r)$ per $r\ne1$. Per $r=-1$ le somme oscillano; per $r=1$ crescono senza limite. Le serie $p$-armoniche $\sum_{n=1}^\infty1/n^p$ convergono se e solo se $p>1$ e divergono per $p\le1$ (nel campo reale). Il criterio del confronto per serie positive trasferisce convergenza o divergenza mediante disuguaglianze; il confronto al limite con rapporto positivo finito dà la stessa natura.

Criterio del rapporto: se $a_n\ne0$ definitivamente e $L=\lim|a_{n+1}/a_n|$ esiste, la serie converge assolutamente per $L<1\,,$ diverge per $L>1$; per $L=1$ non decide. Criterio della radice: se $L=\lim\sqrt[n]{|a_n|}$, analoghe conclusioni e analogo caso inconcludente $L=1$. Per serie a segni alterni $\sum(-1)^{n-1}b_n$, con $b_n\ge0$, decrescente e $b_n\to0$, il criterio di Leibniz garantisce convergenza; il resto dopo $N$ termini ha valore assoluto al più $b_{N+1}$. La convergenza assoluta ($\sum|a_n|$ converge) implica convergenza, ma non ogni serie convergente converge assolutamente.

Esempio 6.1 — geometrica. $\sum_{n=0}^\infty3(1/2)^n$ ha $a=3$, $r=1/2$, dunque somma $3/(1-1/2)=6$. Se la serie partisse da $n=1$, il primo termine sarebbe diverso e la somma sarebbe 3: controllare l’indice iniziale è essenziale.

Esempio 6.2 — p-serie. $\sum_{n=1}^\infty1/n^2$ converge, mentre $\sum1/\sqrt n$ diverge perché rispettivamente $p=2>1$ e $p=1/2\le1$. Il fatto che entrambi i termini vadano a zero non risolve la questione.

Esempio 6.3 — alternanza e assoluta. $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}/n$ converge per Leibniz: $1/n$ decresce e tende a zero. Non converge assolutamente, poiché la serie dei valori assoluti è armonica. Si parla di convergenza condizionata.

Esercizi svolti del capitolo 6

Esercizio 6A. Stabilire la convergenza e sommare $\sum_{n=1}^\infty4(1/3)^n$.

Soluzione. È geometrica con ragione $1/3$, di modulo minore di 1. Il primo termine (all’indice 1) è $4/3$. La somma è $(4/3)/(1-1/3)=2$. Usare $a/(1-r)$ con $a=4$ darebbe un risultato errato perché la serie inizia da 1, non da 0.

Esercizio 6B. Studiare $\sum_{n=1}^\infty n/2^n$ con il criterio del rapporto.

Soluzione. I termini sono positivi e $a_{n+1}/a_n=[(n+1)/2^{n+1}]/[n/2^n]=(n+1)/(2n)\to1/2<1$. La serie converge. Il criterio non fornisce da solo il valore; per calcolarlo si può derivare la serie geometrica in $|x|<1$: $\sum_{n=1}^\infty nx^n=x/(1-x)^2$. Con $x=1/2$ la somma è 2. Non si usa il criterio del rapporto su termini non definiti o con rapporto che non ha limite senza precisare un criterio alternativo.

7. Appendice facoltativa: due equazioni differenziali del primo ordine

Questa sezione è un’introduzione orientativa, non una dichiarazione che equazioni differenziali o serie siano presenti in ogni programma di Analisi I. Un’equazione differenziale coinvolge una funzione incognita e una o più sue derivate. Una soluzione è una funzione che soddisfa l’equazione su un intervallo; una condizione iniziale seleziona, quando le ipotesi lo consentono, una soluzione particolare. Le tecniche seguenti riguardano soltanto forme elementari.

Separabili. Se $y’=g(x)h(y)$, in una regione in cui $h(y)\ne0$ si separano le variabili: $dy/h(y)=g(x)dx$, quindi si integrano entrambi i membri. Le soluzioni costanti con $h(y)=0$ vanno controllate a parte perché dividere per $h(y)$ le eliminerebbe. La soluzione implicita ottenuta può avere più rami: condizioni iniziali e intervallo di validità contano.

Lineari del primo ordine. Nella forma $y’+p(x)y=q(x)$, con $p,q$ continue su un intervallo, un fattore integrante è $\mu(x)=e^{\int p(x)dx}$, non nullo. Moltiplicando l’equazione si ha $(\mu y)’=\mu q$, quindi $y=\mu^{-1}(C+\int\mu q dx)$. La derivazione del prodotto è il controllo più sicuro della formula. Non si applica questa forma direttamente a equazioni non lineari che non sono separabili.

Esempio 7.1 — separabile. $y’=2xy$, $y(0)=3$. Separando (per $y\ne0$): $dy/y=2x dx$, dunque $\ln|y|=x^2+C$ e $y=Ke^{x^2}$. La condizione dà $K=3$, così $y=3e^{x^2}$. Anche la soluzione nulla esiste per l’equazione, ma non soddisfa il dato iniziale. Verifica: $y’=6xe^{x^2}=2x y$.

Esempio 7.2 — lineare. $y’+y=1$, $y(0)=0$. Qui $p=1$, quindi $\mu=e^x$. Si ottiene $(e^xy)’=e^x$, perciò $e^xy=e^x+C$ e $y=1+Ce^{-x}$. Dal dato $C=-1$ e $y=1-e^{-x}$. Derivando: $y’=e^{-x}$ e $y’+y=e^{-x}+1-e^{-x}=1$.

Esercizi svolti dell’appendice

Esercizio 7A. Risolvere $y’=y$, $y(0)=2$.

Soluzione. È separabile: $dy/y=dx$ quando $y\ne0$. Integrando, $\ln|y|=x+C$, quindi $y=Ke^x$. La condizione impone $K=2$. Verifica diretta: la derivata di $2e^x$ è la stessa funzione. La soluzione nulla è anch’essa soluzione generale ma non soddisfa il dato.

Esercizio 7B. Risolvere $y’-2y=0$, $y(0)=5$ usando il fattore integrante.

Soluzione. Qui $p=-2$, dunque $\mu=e^{-2x}$. Moltiplicando: $(e^{-2x}y)’=0$, perciò $e^{-2x}y=C$ e $y=Ce^{2x}$. Dato il valore iniziale, $C=5$. Verifica: $y’-2y=10e^{2x}-10e^{2x}=0$. Attenzione: l’esponente del fattore integrante è l’integrale di $p=-2$, non di $-p$.

Errori ricorrenti: lista di controllo

1. Confondere integrale definito (numero con orientazione) e primitiva (famiglia di funzioni con $+C$).
2. Usare Newton-Leibniz senza controllare continuità e dominio oppure attraversando una singolarità.
3. Nella sostituzione non cambiare gli estremi, o mescolare $u$ e $x$ nello stesso calcolo definito.
4. Nelle parti dimenticare il segno meno oppure scegliere $u,dv$ senza verificare che l’integrale residuo sia più semplice.
5. Chiamare area l’integrale con segno: gli zeri e il segno vanno analizzati prima.
6. Trattare impropri integrali come integrali ordinari su intervalli chiusi; scrivere sempre il limite e controllarne la finitezza.
7. Confondere le soglie p: all’infinito occorre $p>1$, vicino a zero occorre $p<1$.
8. Dalla condizione $a_n\to0$ dedurre la convergenza di una serie: è necessaria, non sufficiente.
9. Applicare rapporto o radice quando il limite è 1 e dichiarare una conclusione: quel caso è inconcludente.
10. Nell’equazione separabile dividere per una funzione che può annullarsi senza controllare le soluzioni costanti.

Fonti, portata e limiti

Questi appunti sono una rielaborazione originale a fini di studio, non una trascrizione. Per l’integrale, il teorema fondamentale, le tecniche, le applicazioni e gli integrali impropri, riferimento principale è OpenStax, Calculus Volume 2, testo aperto con capitoli su integrazione e applicazioni. Per la collocazione didattica di calcolo integrale e breve introduzione alle serie è stato consultato il corso indipendente MIT OpenCourseWare 18.01SC. Le due risorse sono opere distinte: OpenStax, Calculus Volume 2, e Boelkins, Active Calculus: Single Variable, 2a edizione (GVSU, 2025), consultata nelle pagine HTML dell’opera. Il MIT OCW 18.01SC è stato consultato soltanto per l’overview e non è usato come prova di contenuti. Per le pagine effettivamente lette, il supporto specifico e le lacune sui criteri di serie e sulle equazioni differenziali, la sezione sulle equazioni differenziali resta un richiamo elementare facoltativo, non una garanzia di programma. Ogni corso può adottare convenzioni e profondità diverse: verificare programma e notazione del proprio insegnamento.

Fonti documentate e limiti di questa edizione

Testo originale in revisione, con controlli assistiti e limiti documentati. La presenza di più fonti non significa che ogni frase abbia già due riscontri indipendenti; nessuna certificazione docente o equivalenza a un programma ufficiale.

• Calculus Volume 1 — OpenStax
• Calculus Volume 1 — OpenStax
• 18.100B Real Analysis, Spring 2025, Full Lecture Notes — MIT OpenCourseWare
• 18.100B Real Analysis, Spring 2025, Lecture 4: Sequences; Convergence (descrizione della lezione) — MIT OpenCourseWare
• 18.01SC Single Variable Calculus, Fall 2010, Session 4: Limits and Continuity — MIT OpenCourseWare
• Calculus Volume 1, Section 3.1: Defining the Derivative — OpenStax
• Calculus Volume 1, Section 3.3: Differentiation Rules — OpenStax
• Calculus Volume 1, Section 4.4: The Mean Value Theorem — OpenStax
• Calculus Volume 1, Section 4.5: Derivatives and the Shape of a Graph — OpenStax
• Calculus Volume 1, Section 4.7: Applied Optimization Problems — OpenStax
• Calculus Volume 1, Section 4.8: L’Hôpital’s Rule — OpenStax
• 18.01SC Single Variable Calculus, Session 98: Taylor’s Series — MIT OpenCourseWare
• 18.01SC Single Variable Calculus: Sketching a Curve — MIT OpenCourseWare
• The Remainder in Taylor Series — University of Connecticut, Keith Conrad
• Calculus Volume 2 — OpenStax, Rice University
• Calculus Volume 2 — 1.2 The Definite Integral — OpenStax, Rice University
• Calculus Volume 2 — 1.3 The Fundamental Theorem of Calculus — OpenStax, Rice University
• Calculus Volume 2 — 1.5 Substitution — OpenStax, Rice University
• Calculus Volume 2 — 3.1 Integration by Parts — OpenStax, Rice University
• Calculus Volume 2 — 3.7 Improper Integrals — OpenStax, Rice University
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — 4.4 The Fundamental Theorem of Calculus — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — 5.3 Integration by substitution — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — 5.4 Integration by parts — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — 6.5 Improper integrals — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — 8.4 Taylor series — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• Active Calculus: Single Variable, 2nd Edition — Chapter 8 contents (index only; not evidence for individual claims) — Matthew Boelkins, Grand Valley State University Libraries, 2025
• 18.01SC Single Variable Calculus (Fall 2010) — Massachusetts Institute of Technology, OpenCourseWare
• Basic Analysis I: Introduction to Real Analysis, sezioni 4.3 e 4.4 — Jiří Lebl, testo universitario aperto
• 18.100C Lecture 15 Summary: inverse functions and Taylor’s theorem — MIT OpenCourseWare, Real Analysis, Fall 2012

Verifiche ancora aperte

• La doppia copertura documentale non è ancora uniforme per ogni proprietà delle funzioni elementari e per tutti i limiti notevoli.
• Non tutti i criteri generali delle serie e la formula per equazioni differenziali lineari hanno due riscontri puntuali letti nel dossier.
• Il programma ufficiale dettagliato del docente non è stato mappato capitolo per capitolo; non si dichiara equivalenza a un esame completo.
• Occorre revisione disciplinare umana prima di una pubblicazione didattica definitiva.