L’integrale definito accumula area con segno tra estremi.
L’integrale definito di f tra a e b accumula contributi con segno: le regioni sopra l’asse x contribuiscono positivamente, quelle sotto negativamente. Se f è continua e F è una sua primitiva, il teorema fondamentale del calcolo permette di valutare l’accumulo come F(b)−F(a), collegando integrale e derivata.
Per f(x)=x nell’intervallo [0,2], una primitiva è x²/2; dunque l’integrale vale 2. In questo caso la funzione è non negativa e l’integrale coincide con l’area geometrica del triangolo sotto la retta. Per f(x)=−1 su [0,2], invece, l’integrale è −2, anche se l’area geometrica è 2.
L’integrale definito non è sempre l’area totale positiva: se il grafico attraversa l’asse, contributi positivi e negativi si compensano. Per ottenere area geometrica bisogna integrare |f| o separare gli intervalli agli zeri. È anche essenziale sottrarre nell’ordine F(b)−F(a); invertire gli estremi cambia il segno.
- L’integrale definito accumula area con segno tra estremi.
- Il teorema fondamentale dà ∫ₐᵇ f=F(b)−F(a) quando F′=f; sotto l’asse x il contributo è negativo.
- ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=2, area del triangolo sotteso.
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Quanto vale ∫₀² x dx?
- −2
- 1
- 4
- 2
Soluzione e spiegazione
2. 2. Il teorema fondamentale dà ∫ₐᵇ f=F(b)−F(a) quando F′=f; sotto l’asse x il contributo è negativo.
Fonti
- 5.2 The Definite Integral — OpenStax
- 1.2 The Definite Integral — University of Manitoba, Calculus Volume 2 (Pressbooks)
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria