Due limiti fondamentali permettono di semplificare molte forme indeterminate vicino a zero.
Per x che tende a 0, sin(x)/x tende a 1. Gli angoli vanno misurati in radianti: per esempio sin(3x)/(3x) tende a 1, quindi sin(3x)/x tende a 3.
Anche (1 − cos x)/x² tende a 1/2. Per esempio, sostituendo 2x al posto di x, (1 − cos(2x))/x² tende a 2.
Per usarli, riconosci la forma fondamentale e riscrivi l'espressione senza alterare il limite. Se necessario raccogli fattori o moltiplica e dividi per l'argomento appropriato.
Per esempio, per sin(5x)/x si separa il fattore 5: 5·sin(5x)/(5x), e resta il limite fondamentale. Nel secondo limite il fattore si comporta al quadrato: (1−cos(2x))/x² equivale a quattro volte il rapporto con denominatore (2x)², quindi il risultato è 2. Il controllo dei fattori evita errori comuni. Queste equivalenze valgono nel passaggio x→0 e con gli angoli espressi in radianti.
- sin(x)/x → 1 per x → 0 (radianti).
- (1 − cos x)/x² → 1/2.
- Adatta l'argomento con fattori equivalenti: sin(3x)/x → 3.
Metti alla prova quello che hai letto
Quanto vale il limite di sin(4x)/x per x che tende a 0?
- 0
- 1
- 4
- 1/4
Soluzione e spiegazione
4. Si scrive 4 · sin(4x)/(4x); il rapporto tende a 1, quindi il limite è 4.
Fonti
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions — OpenStax
- Session 8: Limits of Sine and Cosine — MIT OpenCourseWare
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria