Per una funzione continua f su [a,b], l'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx rappresenta l'accumulo orientato della grandezza.
Per una funzione continua f su [a,b], l'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx rappresenta l'accumulo orientato della grandezza. Se f è non negativa, coincide con l'area sotto il grafico e sopra l'asse x; se f assume valori negativi, tali contributi si sottraggono. Le unità del risultato sono unità verticali moltiplicate per unità orizzontali.
Per f(x)=x nell'intervallo [0,2], una primitiva è F(x)=x²/2. L'integrale vale F(2)−F(0)=2−0=2. Il grafico è un triangolo di base 2 e altezza 2, la cui area è (2×2)/2=2: i due metodi concordano. L'esempio assume una funzione continua e usa il teorema fondamentale del calcolo.
Invertendo gli estremi, l'integrale cambia segno: ∫ᵇₐ f(x)dx=−∫ₐᵇ f(x)dx. Su intervalli adiacenti l'accumulo è additivo. Queste proprietà permettono di controllare calcoli e di interpretare risultati negativi senza chiamarli aree geometriche negative: l'area ordinaria resta non negativa, mentre l'integrale è un'area con segno.
Se si cerca l'area geometrica quando il grafico attraversa l'asse, occorre individuare gli zeri e spezzare l'intervallo, sommando i valori assoluti delle aree dei tratti. L'integrale può inoltre modellare quantità accumulate, come distanza con velocità non negativa o variazione netta da un tasso. Una funzione non continua richiede condizioni più generali di integrabilità, oltre l'ambito di questa introduzione. La differenza tra accumulo netto e area totale è decisiva quando il grafico attraversa l’asse orizzontale.
- L’integrale definito somma contributi con segno sull’intervallo.
- Se f≥0, l’integrale coincide con l’area tra grafico e asse x.
- Le regioni sotto l’asse x contribuiscono negativamente all’integrale netto.
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∫₀² x dx?
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- −2
Soluzione e spiegazione
2. Primitiva x²/2: valore 2.
Fonti
- 5.2 The Definite Integral — Calculus Volume 1 — OpenStax
- Section 5.2 The Definite Integral — University of Connecticut
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria