In questa pagina
- Scheda in breve
- 1. Le barre non sono parentesi
- 2. Un’equazione chiede una distanza precisa
- 3. «Meno di»: stai dentro
- 4. «Più di»: stai fuori
- 5. Prima delle formule: guarda la soglia
- 6. Un problema di tolleranza
- 7. Tre errori da fermare subito
- 8. Prova tu
- 9. Soluzioni ragionate
- 10. Il controllo prima di chiudere il quaderno
- Fonti per approfondire
Matematica · Scuola superiore · proposta per il biennio e ripasso negli anni successivi. La classe precisa dipende dal percorso e dal lavoro svolto a scuola: non è un’assegnazione ministeriale. Revisione docente e prova in classe: aperte.
Scheda in breve
Il valore assoluto racconta una distanza: |x − c| è la distanza tra x e c sulla retta dei numeri. Una distanza non è mai negativa. Se chiedi che sia uguale a un numero positivo, cerchi due posizioni; se chiedi che sia più piccola, cerchi i punti interni a un intervallo; se chiedi che sia più grande, cerchi quelli esterni. Prima di aprire le barre, però, isola il valore assoluto e guarda il numero con cui lo stai confrontando: zero e numeri negativi richiedono un ragionamento a parte.
Ti serve già saper fare: operazioni con numeri relativi, equazioni e disequazioni di primo grado, semplici frazioni.
Alla fine saprai: risolvere confronti del tipo |ax + b| = k, |ax + b| < k e le varianti con ≤, >, ≥, con a diverso da zero e k costante reale; scrivere le soluzioni come intervalli; riconoscere quando non ci sono soluzioni o vanno bene tutti i reali.
Confine della lezione: un solo valore assoluto e un numero costante dall’altra parte, dopo averlo isolato. Le formule non vanno trasferite automaticamente a confronti con un’altra espressione in x, a più valori assoluti o a frazioni con denominatore variabile.
Scarica la lezione in PDF — esempi, esercizi e soluzioni
1. Le barre non sono parentesi
Quanto dista −6 da zero? Sei unità. Per questo |−6| = 6. Anche |6| = 6, mentre |0| = 0. Il valore assoluto non restituisce «sempre un numero positivo»: può restituire anche zero.
Per un numero reale u la definizione è questa:
- se u ≥ 0, allora |u| = u;
- se u < 0, allora |u| = −u.
Quel −u nel secondo caso non significa che il risultato sia negativo. Se u = −6, il suo opposto è −(−6) = 6. [1, 2]
Con una lettera bisogna stare più attenti. |x − 2| non è sempre x − 2. Se x = 5, il risultato è 3; se x = 0, il risultato è 2, non −2. Non puoi neppure trasformare tutte le sottrazioni in addizioni: |x − 2| non è sempre x + 2.
C’è una lettura che aiuta: |x − 2| misura quanto x è lontano da 2, da qualunque lato arrivi. In generale, la distanza tra due numeri reali x e c è |x − c|. [1, 2]
2. Un’equazione chiede una distanza precisa
Partiamo da |x − 2| = 5. Cerchiamo i punti a distanza 5 da 2: uno sta a sinistra, l’altro a destra. Quindi x = −3 oppure x = 7.
Algebricamente, quando k > 0:
|u| = k equivale a u = −k oppure u = k. [1, 2]
La parola «oppure» è importante: una soluzione può soddisfare il primo caso, un’altra il secondo. Non chiediamo a uno stesso numero di soddisfarli entrambi.
Esempio svolto A — Il valore assoluto va isolato
Risolvi 2|3x − 4| − 1 = 15.
Prima aggiungiamo 1 a entrambi i membri e dividiamo per 2:
2|3x − 4| = 16, quindi |3x − 4| = 8.
Adesso separiamo i casi:
- 3x − 4 = −8, da cui 3x = −4 e x = −4/3;
- 3x − 4 = 8, da cui 3x = 12 e x = 4.
Soluzione: S = {−4/3; 4}.
Controllo nell’equazione iniziale: con x = −4/3, l’interno delle barre vale −8; con x = 4 vale 8. In entrambi i casi 2 · 8 − 1 = 15. Abbiamo controllato le due soluzioni, non soltanto quella intera.
E se a destra c’è zero o un numero negativo?
|u| = 0 equivale a u = 0. Per esempio, |4x + 1| = 0 dà solo x = −1/4.
|u| = k con k < 0 non ha soluzioni reali: una distanza non può essere negativa. Così |4x + 1| = −3 è impossibile. [1, 2]
Nel nostro ambito |ax + b| = k, con a ≠ 0, otteniamo dunque due soluzioni se k > 0, una se k = 0 e nessuna se k < 0. Questa conta non vale per qualunque espressione dentro le barre: dipende anche dal fatto che qui l’espressione è di primo grado con coefficiente di x non nullo.
3. «Meno di»: stai dentro
La richiesta |x − 2| < 5 significa: «Scegli i punti che distano da 2 meno di 5». Sono quelli compresi tra −3 e 7, senza gli estremi.
Per k > 0 valgono queste equivalenze:
- |u| < k equivale a −k < u < k;
- |u| ≤ k equivale a −k ≤ u ≤ k. [1, 3]
Qui serve una e: u deve essere maggiore del limite sinistro e minore del limite destro. Se compare ≤, sono ammessi anche i punti alla distanza esatta k.
Esempio svolto B — Attenzione al coefficiente negativo
Risolvi |5 − 2x| ≤ 7.
Scriviamo la doppia disequazione:
−7 ≤ 5 − 2x ≤ 7.
Sottraiamo 5 in tutte e tre le parti:
−12 ≤ −2x ≤ 2.
Dividiamo tutto per −2, invertendo entrambi i versi:
6 ≥ x ≥ −1.
Per leggere da sinistra a destra riordiniamo: −1 ≤ x ≤ 6.
Soluzione: S = [−1; 6]. Le parentesi quadre includono gli estremi. Infatti, per x = −1 e x = 6 otteniamo rispettivamente |7| e |−7|: entrambi valgono 7. Con x = 0 otteniamo 5, che è minore di 7. Con x = 7 otteniamo 9: è fuori dall’intervallo e non soddisfa la disequazione.
4. «Più di»: stai fuori
La richiesta |x − 2| > 5 cerca invece i punti lontani da 2 più di 5 unità. Puoi andare a sinistra di −3 oppure a destra di 7.
Per k > 0:
- |u| > k equivale a u < −k oppure u > k;
- |u| ≥ k equivale a u ≤ −k oppure u ≥ k. [1, 3]
Non scrivere −k > u > k: chiederebbe a u di essere contemporaneamente più piccolo di −k e più grande di k. Qui le due zone sono separate e vanno unite con «oppure».
Esempio svolto C — Due zone separate
Risolvi |2x + 3| > 9.
Separiamo i casi:
- 2x + 3 < −9, quindi 2x < −12 e x < −6;
- 2x + 3 > 9, quindi 2x > 6 e x > 3.
Soluzione: S = (−∞; −6) ∪ (3; +∞).
Il simbolo ∪ indica l’unione: raccogliamo i numeri del primo intervallo e quelli del secondo. Le parentesi tonde escludono −6 e 3, perché lì il valore assoluto è proprio 9, mentre noi chiediamo più di 9. Accanto a ±∞ si usano sempre parentesi tonde: l’infinito non è un estremo reale da includere. [1, 3]
Controllo rapido: x = −7 dà 11 e va bene; x = 4 dà 11 e va bene; x = 0 dà 3 e non va bene. Questi controlli aiutano a scoprire errori, ma è il ragionamento per casi a giustificare l’intero insieme delle soluzioni.
5. Prima delle formule: guarda la soglia
Le regole «dentro» e «fuori» appena scritte assumono k > 0. Quando k non è positivo, torna al fatto che |u| ≥ 0. [1–3]
| Richiesta | Che cosa significa |
|---|---|
| |u| < 0 | Impossibile: nessuna soluzione. |
| |u| ≤ 0 | Deve essere u = 0. |
| |u| > 0 | Deve essere u ≠ 0. |
| |u| ≥ 0 | Sempre vera, dove u è definito. |
| |u| < k oppure |u| ≤ k, con k < 0 | Impossibile: nessuna soluzione. |
| |u| > k oppure |u| ≥ k, con k < 0 | Sempre vera, dove u è definito. |
In questa lezione u è un’espressione ax + b: è definita per ogni x reale. Perciò «sempre vera» significa S = ℝ, l’insieme di tutti i numeri reali. Nessuna soluzione si indica con S = ∅.
Per esempio, |2x + 6| > 0 è vera per tutti i reali tranne x = −3, perché solo lì l’interno delle barre si annulla. Non basta dire «il valore assoluto è positivo»: bisogna ricordarsi dello zero.
6. Un problema di tolleranza
In un’attività di laboratorio si ritagliano strisce lunghe idealmente 18 cm. Per l’esercizio si accettano scostamenti di non più di 0,4 cm, sia in meno sia in più. Sono dati inventati per ragionare, non una norma tecnica.
Se L è il valore numerico della lunghezza espresso in centimetri, lo scostamento dal valore previsto è |L − 18|. La richiesta diventa:
|L − 18| ≤ 0,4.
Quindi −0,4 ≤ L − 18 ≤ 0,4, da cui 17,6 ≤ L ≤ 18,4.
Una striscia di 17,6 cm è accettata: «non più di» include il limite. Una di 18,5 cm no, perché lo scostamento è 0,5 cm. Se la consegna dicesse «meno di 0,4 cm», entrambi gli estremi sarebbero esclusi.
7. Tre errori da fermare subito
«Tolgo le barre e basta». Da |x + 1| = 4 non segue soltanto x + 1 = 4: manca il caso x + 1 = −4.
«Con maggiore cerco l’intervallo centrale». Prova il centro: se |x − 2| > 5, x = 2 dà zero e non può andare bene. Questo piccolo controllo ti segnala che devi cercare fuori.
«Ho diviso per un negativo, ma lascio i versi uguali». Il valore assoluto non cambia questa regola delle disequazioni. Se dividi una doppia disequazione per un numero negativo, inverti tutti e due i versi e poi riscrivi gli estremi in ordine crescente.
8. Prova tu
Scrivi le soluzioni e controlla almeno un valore nella relazione iniziale. Per le disequazioni controlla anche gli estremi, quando ci sono.
- Calcola |−9|, |0| e |3 − 8|. Spiega in una frase perché il terzo risultato non è −5.
- Risolvi |x + 4| = 6.
- Risolvi 3|2x + 1| + 2 = 17.
- Risolvi |3x − 2| < 4 e scrivi il risultato come intervallo.
- Risolvi |7 − 2x| ≤ 3. Mostra il passaggio in cui dividi per un numero negativo.
- Risolvi |4x + 1| ≥ 7 e scrivi il risultato come unione di intervalli.
- Senza aprire le barre meccanicamente, risolvi questi quattro casi: a) |x − 5| < 0; b) |x − 5| ≤ 0; c) |x − 5| > 0; d) |x − 5| ≥ 0.
- Risolvi a) 2|x + 3| + 1 ≤ −1; b) |x + 3| > −2. Spiega perché i risultati sono così diversi.
- Per un gioco didattico, una lettura T è accettata se dista da 24 non più di 1,5. Scrivi una disequazione con il valore assoluto e trova l’intervallo ammesso. Le letture 22,5 e 25,6 sono accettate? I dati sono costruiti per l’esercizio.
- Luca scrive: «|2x − 1| > 5, quindi −5 < 2x − 1 < 5, perciò −2 < x < 3». Trova l’errore, correggi l’insieme soluzione e scegli un numero che smentisca la sua risposta.
9. Soluzioni ragionate
1. I risultati sono 9, 0 e 5. Nel terzo caso 3 − 8 = −5, ma la sua distanza da zero è 5.
2. x + 4 = −6 oppure x + 4 = 6. Quindi S = {−10; 2}. Controllo: |−10 + 4| = |−6| = 6; |2 + 4| = |6| = 6.
3. Prima isola il valore assoluto: 3|2x + 1| = 15, poi |2x + 1| = 5. Da 2x + 1 = −5 ottieni x = −3; da 2x + 1 = 5 ottieni x = 2. S = {−3; 2}. In entrambi i casi l’espressione iniziale vale 3 · 5 + 2 = 17.
4. −4 < 3x − 2 < 4; aggiungi 2: −2 < 3x < 6; dividi per 3: −2/3 < x < 2. Quindi S = (−2/3; 2). Gli estremi danno valore assoluto 4 e sono esclusi; x = 0 dà 2 e va bene.
5. −3 ≤ 7 − 2x ≤ 3, quindi −10 ≤ −2x ≤ −4. Dividendo per −2: 5 ≥ x ≥ 2. Riscrivendo in ordine crescente, S = [2; 5]. Gli estremi danno rispettivamente |3| e |−3|, quindi sono inclusi.
6. 4x + 1 ≤ −7 oppure 4x + 1 ≥ 7. Dunque x ≤ −2 oppure x ≥ 3/2. S = (−∞; −2] ∪ [3/2; +∞). Gli estremi danno valore assoluto 7 e sono inclusi; x = 0 dà 1 e non è soluzione.
7. a) S = ∅: un valore assoluto non è negativo. b) x − 5 deve essere zero, quindi S = {5}. c) x − 5 non deve essere zero, quindi S = ℝ ∖ {5}, cioè tutti i reali tranne 5. d) S = ℝ, perché ogni valore assoluto è non negativo.
8. a) Sottrai 1 e dividi per 2: |x + 3| ≤ −1. È impossibile, quindi S = ∅. b) Un numero non negativo è sempre maggiore di −2: S = ℝ. Anche x = −3 va bene, perché 0 > −2.
9. La richiesta è |T − 24| ≤ 1,5, quindi −1,5 ≤ T − 24 ≤ 1,5 e 22,5 ≤ T ≤ 25,5. La lettura 22,5 è accettata, perché lo scostamento è esattamente 1,5; 25,6 è esclusa, perché lo scostamento è 1,6.
10. Luca ha usato la regola di «minore» per una richiesta di «maggiore». Serve 2x − 1 < −5 oppure 2x − 1 > 5. Ottieni x < −2 oppure x > 3, cioè S = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Per smentirlo basta x = 0: sta nell’intervallo proposto da Luca, ma |2 · 0 − 1| = 1 non è maggiore di 5. Gli estremi −2 e 3 restano esclusi.
10. Il controllo prima di chiudere il quaderno
Hai isolato il valore assoluto? Hai guardato se la soglia è positiva, nulla o negativa? Hai scelto «e» per stare dentro e «oppure» per stare fuori? Hai incluso gli estremi soltanto quando il segno lo permette? Un controllo nell’espressione di partenza è l’ultimo passaggio, non un’aggiunta facoltativa quando il risultato sembra strano.
Fonti per approfondire
I testi e gli esercizi di questa lezione sono originali. Le regole sono state confrontate con due opere indipendenti; gli esempi numerici qui proposti non sono tratti dai loro esercizi.
[1] Jay Abramson et al., College Algebra 2e, OpenStax, 2021: § 3.6, “Understanding Absolute Value” e “Solving an Absolute Value Equation”; § 2.7, “Using Interval Notation”, “Using the Properties of Inequalities” e “Solving Absolute Value Inequalities”.
[2] Paul Dawkins, Paul’s Online Math Notes, Lamar University, Algebra, § 2.14 “Absolute Value Equations”: “Geometric Definition”, “Mathematical Definition”, regola prima dell’Example 1 ed Example 2.
[3] Paul Dawkins, stessa opera, § 2.15 “Absolute Value Inequalities”: “Inequalities Involving < and ≤”, “Inequalities Involving > and ≥”, Examples 3–4. I riferimenti [2] e [3] appartengono alla stessa opera e non sono contati come due fonti indipendenti.