Prodotto scalare e ortogonalità

Revisione docente e prova in classe aperte. Scheda introduttiva di studio, non un esame completo né materiale ufficiale di un ateneo.

Università:
Materia: Matematica
Sezione: Geometria

In breve

Il prodotto scalare è somma dei prodotti delle componenti e vale |u||v|cosθ; il suo annullarsi caratterizza l’ortogonalità tra vettori non nulli.

Spiegazione

Per vettori u=(u₁,…,uₙ) e v=(v₁,…,vₙ) in uno spazio euclideo reale, il prodotto scalare è u·v=Σᵢuᵢvᵢ, cioè la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti. Il risultato è uno scalare, non un vettore. La norma euclidea è |u|=√(u·u). Per due vettori non nulli si ha anche u·v=|u||v|cosθ, dove θ∈[0,π] è l’angolo compreso. Questa formula lega il calcolo per coordinate alla geometria: un prodotto positivo corrisponde a un angolo acuto, uno negativo a un angolo ottuso e zero a un angolo retto.

Due vettori non nulli sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è zero. Ad esempio u=(1,2) e v=(2,−1) danno u·v=1·2+2·(−1)=2−2=0; entrambi hanno norma non nulla, dunque sono ortogonali. La formula geometrica conferma il risultato perché cos(π/2)=0. La norma di u è √(1²+2²)=√5. In R² il calcolo è una somma di due prodotti; in R³ si aggiunge il prodotto della terza coppia di componenti. Le coordinate devono riferirsi allo stesso sistema ortonormale perché la formula componente per componente esprima il prodotto scalare euclideo standard.

Va precisato il caso limite del vettore nullo: 0·v=0 per ogni v, ma il vettore nullo non ha direzione e non si definisce un angolo tra esso e un altro vettore. Perciò l’enunciato geometrico ‘prodotto nullo equivale a perpendicolarità’ si riferisce a vettori non nulli. In algebra lineare si può invece definire il vettore nullo ortogonale a tutti i vettori, per definizione tramite prodotto nullo. Non confondere prodotto scalare con prodotto delle norme: componenti di segno opposto possono cancellarsi, come nell’esempio. Un’applicazione è il lavoro di una forza costante F lungo uno spostamento d: W=F·d=|F||d|cosθ, così contribuisce solo la componente della forza lungo lo spostamento. Se F è perpendicolare allo spostamento, il lavoro è zero; ciò non significa che la forza sia nulla, ma che non ha componente nella direzione del moto.

Da ricordare

• In coordinate, u·v=Σuᵢvᵢ; il risultato è uno scalare.
• Per vettori non nulli, u·v=|u||v|cosθ e prodotto nullo equivale a ortogonalità.
• Il vettore nullo ha prodotto zero con ogni vettore ma non ha una direzione o un angolo definito.

Verifica

Quanto vale (1,2)·(2,−1)? 1. 4 2. 2 3. 0 4. −4

Soluzione commentata

Risposta corretta: 3

Si moltiplicano le componenti corrispondenti e si sommano: 1·2+2·(−1)=2−2=0.

Fonti

• 2.3 The Dot Product — OpenStax. Testo letto: definizione per componenti, risultato scalare, formula con coseno, criterio ortogonalità per vettori non nulli.
• Dot Products and Orthogonality — Georgia Institute of Technology, Interactive Linear Algebra. Testo letto: prodotto scalare come scalare, norma da prodotto con sé stesso e definizione ortogonalità, inclusa ortogonalità del vettore nullo.