Fisica generale: meccanica classica e termodinamica

Materiale originale di studio. Revisione docente e prova in classe aperte; non è un syllabus ufficiale né un esame completo e va confrontato con il programma del proprio corso.

Dispensa originale in revisione, non materiale ufficiale. Tratta meccanica e termodinamica: non comprende un corso completo di elettromagnetismo o ottica. È una risorsa correlata, non la dispensa completa verificata di Fisica generale T C.I. né dei suoi moduli T-A/T-B.

Fisica generale — Meccanica classica e termodinamica

Dispensa originale per l’area scientifica e per i corsi di Ingegneria. Le formule sono accompagnate dalle ipotesi d’uso; gli esercizi rimandano ai capitoli e alternano calcolo e interpretazione. Il percorso di Ingegneria meccanica è un esempio applicativo, non un’esclusiva. La seconda parte introduce termometria, calorimetria, gas ideali, primo e secondo principio, macchine termiche ed entropia. È un percorso introduttivo e non pretende di coincidere con un programma ufficiale.

1. Grandezze, unità, vettori e misure

I problemi meccanici diventano più semplici quando si separano che cosa si misura, in quale riferimento e quale modello collega le grandezze. Lunghezza, massa e tempo sono scalari; posizione, velocità, accelerazione e forza richiedono anche direzione e verso. Nel SI usiamo metro (m), chilogrammo (kg) e secondo (s). La forza ha unità derivata newton, N = kg m s⁻²; il lavoro si misura in joule, J = N m = kg m² s⁻². Scrivere le unità in ogni passaggio è un controllo dimensionale: una velocità non si esprime in metri. L’analisi dimensionale può smascherare un’equazione impossibile, ma non determina coefficienti numerici né prova una legge.

Un vettore cartesiano è a=(aₓ,aᵧ,a_z)=aₓi+aᵧj+a_zk; il modulo è √(aₓ²+aᵧ²+a_z²). Somma e moltiplicazione per scalare si fanno componente per componente. Il prodotto scalare a·b=ab cosθ dà uno scalare ed è utile per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale ha modulo ab sinθ e verso determinato dalla mano destra. In piano un vettore di modulo a e angolo θ ha componenti (a cosθ,a sinθ). Gli angoli nei calcoli differenziali sono in radianti.

La posizione dipende dall’origine; lo spostamento Δr=r₂−r₁ dipende solo dagli estremi. Una misura non è un numero esatto: (2,40±0,02) m dichiara una precisione realistica. Per misure indipendenti, le incertezze casuali di una somma si combinano in quadratura; per prodotti, in regime di piccoli errori, si combinano in quadratura le incertezze relative. Le formule presuppongono errori indipendenti e non correggono errori sistematici. Arrotondare solo alla fine evita di nascondere informazione utile.

Esempio. Lo spostamento (3,0;4,0) m ha modulo 5,0 m e angolo arctan(4/3)=53,1°. Sommato a (−1,0;2,0) m dà (2,0;6,0) m, modulo 6,32 m. Le componenti e il modulo sono lunghezze; l’angolo è adimensionale.

2. Cinematica del punto materiale

La cinematica descrive il moto senza determinarne la causa. Si sceglie un riferimento, si scrive la posizione r(t) e si fissano i segni. Velocità media = Δr/Δt; quella istantanea v=dr/dt è tangente alla traiettoria. Accelerazione a=dv/dt descrive la variazione vettoriale della velocità: può variare il modulo, la direzione o entrambi. In una dimensione v<0 indica moto verso il verso negativo, non necessariamente rallentamento.

Con accelerazione costante le relazioni sono v=v₀+at, x=x₀+v₀t+½at² e v²=v₀²+2a(x−x₀). L’ultima elimina il tempo, ma il segno di v va ricavato dalla storia del moto. Queste equazioni non valgono automaticamente quando a varia. In tal caso si integra a(t), oppure si usa un grafico: la pendenza di x(t) è v e l’area sotto v(t) è lo spostamento con segno.

Nel moto piano la traiettoria può essere curva anche con modulo della velocità costante. La componente tangenziale dell’accelerazione varia il modulo; quella normale cambia la direzione. Nel moto circolare di raggio R e velocità angolare ω, v=ωR e l’accelerazione centripeta vale v²/R=ω²R, diretta verso il centro. Nel lancio ideale senza resistenza dell’aria, ax=0 e ay=−g: le equazioni indipendenti sono x=x₀+v₀x t e y=y₀+v₀y t−½gt². L’indipendenza delle componenti dipende dall’assenza di forze accoppianti.

Esempio. Un carrello parte da fermo e accelera a 1,5 m/s² per 4,0 s. v=6,0 m/s e lo spazio è 12 m. Se poi frena a −2,0 m/s², impiega 3,0 s per fermarsi e percorre altri 9,0 m. Il segno dell’accelerazione opposta alla velocità indica rallentamento.

3. Leggi di Newton e applicazioni

La prima legge stabilisce che, in un riferimento inerziale, un corpo mantiene velocità costante se la risultante delle forze è zero. La seconda è Fₙₑₜ=ma, per massa costante; è un’equazione vettoriale da risolvere per componenti. La terza legge dice che le forze di interazione su due corpi hanno uguale modulo e verso opposto: agiscono su corpi diversi e quindi non si annullano nel diagramma del corpo libero di un solo corpo. La massa inerziale misura la risposta all’azione risultante.

Per applicare le leggi si isola il corpo, si disegnano solo le forze agenti su di esso, si sceglie un asse conveniente e si scrivono le componenti. Il peso vicino alla superficie terrestre è P=mg, approssimazione valida quando g è quasi uniforme. La normale è una forza di contatto perpendicolare alla superficie, non è sempre uguale al peso: su un piano inclinato senza altre accelerazioni normali N=mg cosθ. Una tensione tira lungo una fune ideale. La forza elastica ideale è F=−kx, valida nel regime lineare.

La seconda legge non afferma che una forza singola è proporzionale all’accelerazione; la risultante lo è. Se la risultante è nulla, il corpo può essere fermo o muoversi di moto rettilineo uniforme. In un ascensore accelerato la lettura di una bilancia è la normale, che può differire da mg; il peso gravitazionale non cambia per il semplice fatto che la bilancia cambia lettura. I sistemi non inerziali richiedono forze apparenti oppure una trasformazione del riferimento.

Esempio. Su una massa di 4 kg agisce una forza orizzontale di 18 N e una resistenza di 2 N. La risultante è 16 N, dunque a=4 m/s². Se la stessa forza applicata tira verso l’alto una massa sospesa con accelerazione 1 m/s², T−mg=ma e T=m(g+a), non T=ma.

4. Vincoli, attrito e moto circolare

Un vincolo limita i moti possibili e introduce reazioni. Il piano liscio impone accelerazione perpendicolare nulla; una fune ideale, inestensibile e di massa trascurabile ha tensione uniforme nel semplice modello di puleggia ideale. Per corpi collegati conviene scrivere un’equazione per ciascuno e aggiungere la relazione cinematica imposta dal vincolo. Un vincolo reale può deformarsi o dissipare energia, perciò il modello ideale va dichiarato.

L’attrito statico si adatta al valore necessario fino al massimo fₛ≤μₛN. Non vale sempre fₛ=μₛN: l’uguaglianza descrive l’imminenza dello slittamento. L’attrito dinamico in un modello semplice ha modulo fₖ=μₖN e verso opposto allo scorrimento relativo. I coefficienti sono adimensionali e dipendono dalle superfici; questa descrizione empirica non cattura ogni dipendenza da velocità, temperatura e lubrificazione. Su un piano inclinato la componente del peso lungo il piano è mg sinθ e la normale, in assenza di altre componenti normali, mg cosθ.

Nel moto circolare la risultante radiale deve fornire mv²/R verso il centro. “Forza centripeta” indica il ruolo della risultante radiale, non una nuova forza. Su una curva piana la forza d’attrito può fornire tale risultante; la condizione di aderenza è che la richiesta non superi il massimo statico. Se un oggetto è legato a una fune, la tensione e il peso contribuiscono secondo la posizione; non si può imporre T=mv²/R senza analizzare tutte le forze radiali.

Esempio. Un blocco di 5 kg su piano orizzontale ha μₛ=0,40. Il massimo attrito statico è 0,40·5·9,81=19,6 N. Una forza orizzontale di 12 N non lo mette in moto: l’attrito statico equilibra 12 N. Applicando 24 N lo slittamento inizia; assumendo μₖ=0,30, l’accelerazione dopo l’avvio è (24−14,7)/5=1,86 m/s².

5. Lavoro, energia e potenza

Il lavoro di una forza costante durante lo spostamento Δr è W=F·Δr=FΔr cosθ. Una forza perpendicolare allo spostamento compie lavoro nullo; lavoro negativo sottrae energia cinetica. Se la forza varia, W=∫F·dr lungo il percorso. Il teorema dell’energia cinetica, ΔK=Wₙₑₜ, deriva dalla seconda legge per massa costante e collega il lavoro totale alla variazione K=½mv².

Una forza conservativa ammette energia potenziale U tale che W₍c₎=−ΔU. Vicino alla superficie terrestre, con g costante, U_g=mgy rispetto a un livello scelto. Per una molla ideale U_s=½kx², misurando x dall’equilibrio non deformato. La scelta dello zero del potenziale è arbitraria; le differenze sono fisiche. Se agiscono solo forze conservative, K+U si conserva. Con forze non conservative, Δ(K+U)=W_nc. L’attrito trasforma energia meccanica in energia interna; non “distrugge” energia.

La potenza istantanea è P=dW/dt=F·v; l’unità è watt, W=J/s. Per sollevare a velocità costante un carico di massa m, la potenza minima ideale è mgv. La potenza media è lavoro diviso intervallo di tempo. L’uso dell’energia è spesso più efficiente delle equazioni del moto quando interessa una velocità o un’altezza fra due stati, ma non fornisce da sola il tempo o il verso del moto.

Esempio. Una cassa di 10 kg scende di 2,0 m senza attrito partendo da ferma. La perdita di energia potenziale è 196 J, quindi ½mv²=196 e v=6,26 m/s. Se l’attrito compie −36 J, l’energia cinetica finale è 160 J e v=5,66 m/s.

6. Quantità di moto, impulso e urti

La quantità di moto è p=mv. La seconda legge in forma generale è Fₙₑₜ=dp/dt; per massa costante torna ma. L’impulso di una forza su un intervallo è J=∫Fdt=Δp. Nel grafico forza-tempo l’area orientata fornisce l’impulso. Per un sistema di corpi, la quantità di moto totale si conserva se l’impulso esterno risultante è nullo o trascurabile; le forze interne si cancellano a coppie nella somma.

Negli urti brevi si separa l’intervallo d’urto dal moto successivo: durante il contatto le forze interne possono essere grandi, mentre l’impulso esterno può essere piccolo. In un urto elastico si conservano quantità di moto ed energia cinetica; in uno anelastico si conserva la quantità di moto del sistema isolato, ma una parte dell’energia cinetica diventa energia interna, suono o deformazione. Nell’urto perfettamente anelastico i corpi rimangono uniti. Queste definizioni non implicano che l’energia totale si perda.

Per un urto unidimensionale si impongono conservazione della quantità di moto e, solo se elastico, dell’energia cinetica. La velocità relativa di separazione in un urto elastico è uguale in modulo alla velocità relativa di avvicinamento, con verso opposto. In due dimensioni la conservazione è vettoriale e va applicata a entrambe le componenti. Centro di massa Rcm=Σmᵢrᵢ/M; la sua accelerazione dipende dalla forza esterna totale, Macm=Fext.

Esempio. Un carrello da 2 kg a 3 m/s urta e resta attaccato a un carrello fermo da 4 kg. La quantità di moto iniziale è 6 kg m/s; la massa finale 6 kg e la velocità comune è 1 m/s. L’energia cinetica passa da 9 J a 3 J: 6 J sono convertiti in altre forme, non cancellati.

7. Rotazione e corpo rigido

Per un corpo rigido le distanze reciproche fra punti restano costanti. La cinematica rotazionale attorno a un asse fisso usa angolo θ, velocità angolare ω=dθ/dt e accelerazione angolare α=dω/dt. Per un punto a distanza r dall’asse, vₜ=rω e aₜ=rα; l’accelerazione radiale ha modulo rω² ed è diretta verso l’asse. Per α costante valgono le analoghe relazioni cinematiche lineari sostituendo x,v,a con θ,ω,α, purché si lavori in radianti.

Il momento di una forza rispetto a O è τ=r×F. In un corpo rigido con asse fisso, la dinamica è τₙₑₜ=Iα, dove I=Σmᵢrᵢ² o l’integrale continuo è il momento d’inerzia rispetto a quell’asse. I dipende dalla distribuzione della massa e dall’asse, non solo dalla massa totale. Il teorema degli assi paralleli dà I=Icm+Md² per assi paralleli separati di d. Il lavoro rotazionale per momento costante è τΔθ; energia cinetica rotazionale ½Iω². Per un sistema con asse fisso, il momento angolare lungo l’asse è L=Iω e dL/dt=τext.

Nel rotolamento senza slittamento vcm=Rω e acm=Rα lungo la direzione di avanzamento. La velocità del punto di contatto è istantaneamente nulla rispetto al suolo nel modello di rotolamento puro. L’attrito statico può essere non nullo senza dissipare potenza al contatto ideale, ma la sua direzione va ricavata dal problema. L’energia totale di un corpo che rotola è ½Mvcm²+½Icmω².

Esempio. Un disco omogeneo di massa 4 kg e raggio 0,20 m ha I=½MR²=0,080 kg m². Un momento costante di 0,40 N m produce α=5,0 rad/s². Da fermo in 2 s raggiunge ω=10 rad/s e ruota di 10 rad; l’energia rotazionale è 4,0 J. L’identità dimensionale N m/(kg m²)=s⁻² è corretta.

8. Gravitazione

La legge di gravitazione universale di Newton per due masse puntiformi è F=Gm₁m₂/r², lungo la congiungente e attrattiva, con G≈6,674·10⁻¹¹ N m²/kg². Per corpi sfericamente simmetrici, all’esterno il campo equivale a quello di una massa puntiforme concentrata al centro. Il campo gravitazionale prodotto da una massa M è g=−GM r/r³; il segno meno indica direzione verso la massa. Vicino alla superficie terrestre si approssima g costante, ma a quota significativa g diminuisce con la distanza dal centro.

L’energia potenziale gravitazionale di due masse è U=−GMm/r, ponendo U=0 all’infinito. Il lavoro gravitazionale è −ΔU. La velocità orbitale circolare di un satellite è v=√(GM/r), ottenuta imponendo alla gravità il ruolo di forza centripeta; l’orbita circolare ideale ha periodo T=2π√(r³/GM). L’energia meccanica orbitale totale è −GMm/(2r). Questi risultati presuppongono massa centrale dominante, gravità newtoniana e orbita circolare; le orbite reali possono essere ellittiche e perturbate.

La velocità di fuga da un corpo sferico, trascurando atmosfera e rotazione, si ottiene imponendo energia finale nulla all’infinito: vesc=√(2GM/R). Non è una velocità necessaria per “sfuggire alla gravità” che cessa di agire; il campo continua a diminuire con la distanza. Una traiettoria può risultare legata o non legata in funzione dell’energia totale. La massa gravitazionale e quella inerziale sono sperimentalmente equivalenti con elevata precisione, ma nel modello introduttivo si trattano come la stessa massa.

Esempio. Un satellite a r=7,0·10⁶ m dal centro terrestre, usando GM=3,986·10¹⁴ m³/s², ha v≈7,55 km/s e periodo T≈5,82·10³ s, circa 97 min. Il raggio è dal centro, non l’altitudine sopra la superficie: confondere i due produce un errore sistematico.

9. Oscillazioni

Un oscillatore armonico semplice soddisfa x¨+ω₀²x=0. La soluzione è x=A cos(ω₀t+φ), con velocità e accelerazione ottenute derivando. Il periodo è T=2π/ω₀. Per una massa m collegata a molla ideale di costante k, ω₀=√(k/m), assumendo massa della molla trascurabile, elasticità lineare e assenza di attrito. L’energia totale E=½mv²+½kx² resta costante; ai punti estremi la velocità è zero, all’equilibrio il modulo della velocità è massimo.

Il pendolo semplice di lunghezza L è approssimativamente armonico per piccole oscillazioni angolari, perché sinθ≈θ in radianti. In tale regime T≈2π√(L/g), indipendente dalla massa e approssimativamente dall’ampiezza. Per ampiezze grandi l’approssimazione fallisce e il periodo dipende dall’ampiezza. Un pendolo fisico rigido ha T=2π√(I/(mgd)) per piccole oscillazioni, dove d è la distanza fra perno e centro di massa.

Un oscillatore smorzato lineare può essere modellato da m x¨+b x˙+kx=0. Il termine viscoso −bv dissipa energia meccanica; il comportamento dipende dal rapporto fra smorzamento e smorzamento critico 2√(mk). Nel caso sottosmorzato l’oscillazione ha ampiezza decrescente. Una forza esterna periodica può produrre risonanza quando la frequenza di guida è vicina a quella naturale; lo smorzamento limita l’ampiezza. Il modello è utile solo se la resistenza è approssimativamente proporzionale alla velocità.

Esempio. Una massa 0,50 kg su molla k=200 N/m oscilla con ω₀=20 rad/s e T=0,314 s. Se A=0,040 m, l’energia è ½kA²=0,16 J. In equilibrio la velocità massima è ω₀A=0,80 m/s; il calcolo ½mv² restituisce 0,16 J.

10. Strategie integrate e limiti del modello

La scelta fra cinematica, dinamica e conservazione dipende dalla domanda. Se si chiede il tempo con accelerazione nota, la cinematica è diretta. Se forze e accelerazioni sono centrali, le leggi di Newton forniscono le componenti. Se interessano stati iniziale e finale e le forze sono conservative, l’energia evita di ricostruire il percorso temporale. Per interazioni brevi, impulso e quantità di moto sono spesso più robusti. Per rotazioni, si aggiungono momento torcente e momento d’inerzia; per un corpo che rotola occorrono simultaneamente traslazione, rotazione e vincolo.

Prima del calcolo esplicita il sistema, il riferimento, le ipotesi e il livello di approssimazione. Un diagramma di corpo libero deve mostrare forze esterne sul corpo isolato, non velocità né forze “del moto”. Controlla segni, unità, casi limite e coerenza fisica. Se una soluzione produce accelerazione negativa, può essere corretta: indica direzione opposta all’asse scelto. Se un calcolo dà una normale negativa per un contatto unilaterale, l’ipotesi di contatto è fallita e va risolto il problema senza quel contatto.

I modelli trattati presuppongono la meccanica classica: velocità molto inferiori a quella della luce, scale in cui effetti quantistici sono trascurabili, descrizioni macroscopiche e corpi assimilabili a punti o rigidi quando dichiarato. Attrito coulombiano, fune ideale, molla lineare e campo gravitazionale uniforme sono idealizzazioni, non proprietà universali. Si possono includere più effetti solo se le informazioni sono sufficienti. La termodinamica non è coperta in questa dispensa: quando attrito o urto trasferiscono energia in energia interna, si nomina la conversione senza sviluppare leggi termodinamiche.

Esercizi guidati e problemi di raccordo

Gli esercizi sono scelti per variare il modello fisico, non solo i dati numerici. Le soluzioni dichiarano le ipotesi; alcune tracce restano simboliche quando i dati non determinano un unico numero. I controlli numerici sono selettivi e non attestano una verifica integrale.

Capitoli 1–3 — rappresentazione, moto e dinamica

1.1 — Somma vettoriale. Un drone compie A=(3,4) m e poi B=(−1,2) m. Soluzione. R=(2,6) m, |R|=√40=6,32 m e θ=atan2(6,2)=71,6°. atan2 preserva il quadrante; le componenti mantengono l’informazione direzionale.

2.1 — Inversione del moto. Un punto ha v₀=12 m/s e a=−3,0 m/s² costante. Quando si arresta e quanto si è spostato? Soluzione. v=v₀+at=0 dà t=4,0 s; Δx=v₀t+½at²=24 m. Subito dopo inverte verso: lo zero di velocità è istantaneo, non una quiete permanente.

2.2 — Lancio da quota. Una sfera è lanciata da una terrazza alta 20 m con velocità 10 m/s a 30° sopra l’orizzontale. Trascurando l’aria, il tempo di caduta soddisfa 0=20+5t−4,905t². La radice fisica è t=2,59 s; la gittata è (10 cos30°)t=22,4 m. L’altra radice è antecedente all’istante del lancio e non descrive l’impatto.

3.1 — Forza inclinata e contatto. Una cassa di 4 kg su piano liscio riceve F=20 N a 30° sopra l’orizzontale. Soluzione. Con a_y=0, N=mg−F sin30°=29,24 N, positiva; a_x=F cos30°/m=4,33 m/s². Se l’equazione desse N<0, il contatto ipotizzato sarebbe impossibile: il piano spinge ma non trattiene il corpo.

3.2 — Bilancia in ascensore. Una persona di 60 kg accelera verso l’alto a 1,2 m/s². N−mg=ma, quindi la lettura N=60(9,81+1,2)=661 N. Accelerando verso il basso con lo stesso modulo leggerebbe 589 N. Cambia la reazione di contatto, non la forza gravitazionale mg.

3.3 — Equilibrio rotazionale distinto da quello traslazionale. Due forze verticali opposte di 10 N sono applicate a una barra con linee d’azione distanti 0,40 m. La risultante è zero ma la coppia ha modulo 4,0 N m. Il centro di massa non accelera; la barra ruota. Per l’equilibrio statico occorre annullare anche il momento netto.

Capitolo 4 — vincoli, attrito e traiettorie

4.1 — Attrito statico adattivo. Un blocco di 5 kg ha μₛ=0,40 su un piano orizzontale. Con forza di 12 N resta fermo, perché fₛ,max=μₛmg=19,62 N e l’attrito effettivo vale solo 12 N. Se la forza sale a 24 N e μₖ=0,30, l’accelerazione dopo l’avvio è (24−0,30·49,05)/5=1,86 m/s². Il massimo statico non è l’attrito presente sotto soglia.

4.2 — Puleggia con inerzia. Due masse m₁=2 kg sul tavolo liscio e m₂=3 kg sospesa sono collegate da fune ideale sopra una puleggia di raggio 0,20 m e momento d’inerzia I=0,040 kg m². La fune non slitta. Derivazione. T₁=m₁a, m₂g−T₂=m₂a e (T₂−T₁)R=I(a/R). Ne segue a=m₂g/(m₁+m₂+I/R²)=4,91 m/s²; T₁=9,81 N e T₂=14,7 N. La differenza di tensione fornisce il momento che accelera la puleggia. Solo nel limite I→0 le tensioni coincidono.

4.3 — Distacco da guida circolare. Un carrellino parte da fermo dalla sommità esterna di una guida liscia circolare di raggio R. Misurando θ dalla verticale verso il basso, lungo il raggio mg cosθ−N=mv²/R; dall’energia v²=2gR(1−cosθ). Al distacco N=0, dunque cosθ=2/3 e θ=48,2°. La velocità è √(2gR/3). Una normale negativa segnala che il vincolo unilaterale è cessato.

4.4 — Pendolo conico. Un filo di lunghezza L ruota con inclinazione θ dalla verticale. Le equazioni sono T cosθ=mg e T sinθ=mv²/r, con r=L sinθ. Eliminando tensione e r si trova ω²=g/(L cosθ) e periodo 2π√(L cosθ/g). Si assume moto circolare uniforme, filo inestensibile e θ costante; non è il periodo del pendolo oscillante.

4.5 — Fune mobile, traccia sul vincolo. Un capo della fune è fissato al soffitto, la fune passa sotto una puleggia mobile che sostiene m₂ e sopra una puleggia fissa, poi termina su m₁. Scrivi la lunghezza variabile dei tratti, imponi che sia costante e deriva le accelerazioni; poi applica Newton a ciascuna massa. Con coordinate verticali positive entrambe verso il basso, lo spostamento di m₁ è opposto al doppio di quello di m₂: a₁=−2a₂. La puleggia mobile è sostenuta da due tratti, dunque subisce due tensioni. Le equazioni cambiano se si trascura o meno la sua massa; nessun valore numerico è definito senza masse e scelta di modello.

Capitolo 5 — lavoro, forze variabili ed energia

5.1 — Discesa con dissipazione. Una cassa da 10 kg scende di 2,0 m da ferma; l’attrito compie −36 J. ΔK+ΔU=W_nc dà K_f=mgh−36=160,2 J e v=5,66 m/s. Il metodo trova la velocità finale, non il tempo.

5.2 — Forza variabile. Un carrello da 2 kg parte da fermo e percorre 3 m su guida liscia con F(x)=4x N. Il lavoro è ∫₀³4x dx=18 J, quindi v=√(2W/m)=4,24 m/s. Usare un unico valore di F nella formula FΔx non è corretto; l’integrale è l’area sotto il grafico forza-posizione.

5.3 — Molla con attrito. Un blocco di massa m arriva alla molla con velocità v₀ su piano ruvido; attrito dinamico μₖmg durante la compressione. Alla compressione massima x, ½mv₀²=½kx²+μₖmgx. La radice positiva è x=[−μₖmg+√((μₖmg)²+kmv₀²)]/k. Il lavoro dissipativo dipende dalla distanza e non si rappresenta con un potenziale conservativo.

5.4 — Sistema a due masse via energia. Una massa m scende e una massa M sale della distanza s tramite fune ideale, senza attrito. Da ferma, la variazione netta di energia potenziale −(m−M)gs diventa ½(m+M)v²; se m>M, v²=2gs(m−M)/(m+M). Il metodo non fornisce la tensione: per trovarla servono le equazioni di Newton.

Capitolo 6 — urti e quantità di moto

6.1 — Urto anelastico. Un carrello da 2 kg a 3 m/s urta e si unisce a uno fermo da 4 kg. Impulso esterno trascurabile: v_f=6/6=1 m/s. K passa da 9 a 3 J; 6 J sono trasferiti ad altre forme, non perduti.

6.2 — Urto elastico. m₁=1 kg, v₁=4 m/s, m₂=2 kg, v₂=−1 m/s. Per l’urto elastico v₁′−v₂′=−(v₁−v₂)=−5; conservando quantità di moto v₁′+2v₂′=2. Si ricava v₁′=−8/3 m/s, v₂′=7/3 m/s. Il controllo dà p_f=2 kg m/s e K_f=9 J=K_i.

6.3 — Frammentazione. Un corpo inizialmente fermo si divide in frammenti da 1 kg e 2 kg; il primo va a 6 m/s verso destra. Conservazione della quantità di moto dà v₂=−3 m/s. K finale=27 J deriva da energia interna; quantità di moto conservata non implica energia cinetica costante.

Capitolo 7 — rotazione, rotolamento e spole

7.1 — Disco sotto momento. M=4 kg, R=0,20 m, τ netto=0,40 N m, asse fisso. I=½MR²=0,080 kg m² e α=5,0 rad/s². Da fermo per 2 s: ω=10 rad/s, θ=10 rad e K_rot=4,0 J.

7.2 — Soglia di rotolamento. Un cilindro pieno scende un piano inclinato β senza slittare. Le equazioni mg sinβ−f=ma, fR=Iα, a=αR e I=½mR² danno a=(2/3)g sinβ e f=(1/3)mg sinβ. Serve μₛ≥tanβ/3. Se l’attrito disponibile è inferiore, il moto slitta: non si può imporre simultaneamente a=αR e la legge dell’attrito dinamico senza risolvere il nuovo problema.

7.3 — Spola tirata dal filo, impostazione. Una spola di raggio esterno R e mozzo r è tirata orizzontalmente da un filo avvolto sul mozzo. Disegna il verso di avvolgimento e fissa il verso angolare; scrivi ΣF_x=Ma, Στ_cm=Iα e, se il rotolamento è puro, a=±Rα secondo le convenzioni. Le equazioni determinano anche l’attrito statico, che va confrontato con μₛN. Senza geometria del filo, r, R, I e dati di attrito non esiste una soluzione numerica univoca. La direzione dell’attrito non va indovinata dal moto del centro: si determina dalle equazioni.

7.4 — Energia di cilindro e anello. Definendo κ=I/(mR²), mgh=½mv²+½I(v/R)² dà v=√(2gh/(1+κ)). Per cilindro pieno κ=1/2; per anello sottile κ=1. A quota uguale il cilindro corre più velocemente. Servono rotolamento puro e perdite trascurabili.

Capitoli 8–9 e problemi integrati

8.1 — Orbita. Con r=7,0·10⁶ m dal centro e μ=3,986·10¹⁴ m³/s², v=√(μ/r)=7,55 km/s e T=2π√(r³/μ)=5,83·10³ s. Il raggio non è l’altitudine.

8.2 — Derivare il limite mgh. Da U(r)=−GMm/r, sollevare da R a R+h richiede ΔU=GMm(1/R−1/(R+h)). Per h≪R, 1/(R+h)≈1/R−h/R², per cui ΔU≈GMm h/R²=mgh, con g=GM/R². La forma mgh è un’approssimazione locale.

9.1 — Oscillatore. m=0,50 kg, k=200 N/m, A=0,040 m. ω₀=20 rad/s, T=0,314 s, E=0,16 J, v_max=0,80 m/s. A x=0,030 m, v=ω₀√(A²−x²)=0,529 m/s.

9.2 — Limite del pendolo semplice. La dinamica tangenziale è mLθ¨=−mg sinθ. Per piccoli θ in radianti, sinθ≈θ e θ¨+(g/L)θ=0, da cui T=2π√(L/g). Per grandi ampiezze l’equazione non lineare resta valida ma il periodo dipende da ampiezza; la formula armonica non va spacciata per esatta.

9.3 — Pendolo fisico. Un’asta uniforme di lunghezza L imperniata a un’estremità ha I=(1/3)mL² e centro di massa a L/2. Per piccoli angoli Iθ¨=−mg(L/2)θ; quindi ω₀²=3g/(2L) e T=2π√(2L/(3g)). La distribuzione di massa modifica il periodo rispetto a una massa puntiforme.

R1 — Urto e molla, due fasi. Un carrello di 1 kg a 4 m/s si unisce a uno fermo di 3 kg collegato a molla k=100 N/m su guida liscia. Nell’urto p dà v=1 m/s; poi 2 J di energia cinetica del sistema unito diventano energia elastica, ½kx²=2, quindi x=0,20 m. K non è conservata nell’urto, ma la fase successiva è ideale e conservativa.

R2 — Una forza variabile e il tempo. Per F=−kx, m x¨=−kx. Rilasciando da x=A e v=0, l’energia fornisce v(x)=√((k/m)(A²−x²)). Il tempo fino all’equilibrio è ∫₀ᴬ dx/v=(π/2)√(m/k). Il lavoro-energia dà velocità in funzione della posizione; per il tempo occorre anche integrare la relazione cinematica.

R3 — Distacco e volo. Un corpo parte da fermo su guida liscia da quota h e lascia orizzontalmente la guida a quota y₀. Se il distacco è realmente imposto dalla geometria, energia dà v=√(2g(h−y₀)); nel volo t=√(2y₀/g) e gittata v t. Se invece la guida è curva e il contatto può cessare prima, occorre prima calcolare la normale e imporre N=0: non si può supporre a priori il bordo come punto di distacco.

R4 — Dosso e contatto. Un’auto passa sul punto più alto di un dosso di raggio R a velocità v. Verso il centro, mg−N=mv²/R, quindi N=m(g−v²/R). Il contatto unilaterale richiede v²≤gR; all’uguaglianza N=0, oltre il valore formale negativo segnala distacco.

R5 — Due pattinatori. Pattinatori di 50 e 70 kg, inizialmente fermi, si respingono su ghiaccio ideale. Se il primo va a 2,8 m/s, il secondo ha v=−2,0 m/s. Il centro di massa resta fermo; i 336 J di energia cinetica finale provengono dall’energia interna liberata nella spinta.

R6 — Trazione al centro di un cilindro. Un cilindro pieno è tirato con forza F applicata al centro su pavimento ruvido e rotola senza slittare. La traslazione dà F−f=ma; il momento e il vincolo danno fR=Iα, a=αR. Con I=½mR² si ricavano a=2F/(3m) e f=F/3, all’indietro. È possibile solo se μₛN≥F/3; in caso contrario il cilindro slitta e occorre il modello dinamico appropriato.

R7 — Soglia di fuga. Per lancio radiale da raggio R, E=½mv₀²−GMm/R. E<0 indica orbita legata; E=0 la soglia v_esc=√(2GM/R); E>0 lascia energia cinetica residua a distanza infinita. Il campo non smette di agire a distanza finita: “fuga” significa energia non legata.

Controlli numerici e ambiguità

Con Python sono stati ricalcolati i risultati numerici di questa sezione: lancio dalla terrazza, componenti del vettore, accelerazione con puleggia massiva, forza variabile, urto elastico, rotolamento, orbita, oscillatore e problemi integrati con numeri. I valori coincidono entro l’arrotondamento indicato. Le tracce su spola, fune mobile e distacco generico non hanno risposta numerica unica senza geometria, masse o coefficienti aggiuntivi; le condizioni sono dichiarate e non si presentano come verifiche complete.

Approfondimenti: quando energia e vincoli si combinano

Energia cinetica di un sistema e moto del centro di massa. Per masse puntiformi mᵢ con velocità vᵢ, si scrive vᵢ=Vcm+uᵢ, dove uᵢ è la velocità rispetto al centro di massa. Poiché Σmᵢuᵢ=0, sviluppando K=½Σmᵢvᵢ² i termini incrociati si annullano e risulta K=½M Vcm²+½Σmᵢuᵢ². La prima parte è energia cinetica traslazionale del centro di massa, la seconda è energia del moto interno; per un corpo rigido la seconda diventa rotazionale attorno al centro di massa. Questa decomposizione spiega perché la quantità di moto totale descrive il moto del centro di massa, ma non determina da sola l’energia interna o la deformazione di un sistema.

Vincolo ideale e lavoro della reazione. Una reazione vincolare non compie necessariamente lavoro nullo in ogni problema: la conclusione dipende dal moto consentito e dal punto di applicazione. Per una particella che scorre su una guida fissa liscia, la reazione è normale alla velocità istantanea e quindi N·v=0; il lavoro elementare è nullo. In una guida mobile la superficie può spostarsi, e la forza normale può trasferire energia al corpo perché il punto di contatto non è fermo nel riferimento scelto. Per una fune ideale e pulegge ideali, la tensione redistribuisce energia fra corpi collegati; la somma dei lavori può cancellarsi se la fune è inestensibile e la geometria è trattata coerentemente. Non basta dunque l’etichetta “forza di vincolo” per escludere lavoro: occorre verificare il prodotto scalare fra forza e spostamento del punto materiale cui essa agisce.

Piano inclinato con molla e attrito: bilancio per segmenti. Un blocco di massa m parte da fermo su un piano inclinato di angolo β, scende di lunghezza s fino a comprimere una molla posta lungo il piano di x; agisce attrito dinamico μₖ. Misurando lo spostamento totale lungo il piano, il lavoro gravitazionale è mg sinβ(s+x), quello d’attrito −μₖmg cosβ(s+x), e l’energia elastica accumulata è ½kx². Il bilancio fino alla massima compressione è [mg sinβ−μₖmg cosβ](s+x)=½kx². Se il termine tra parentesi è negativo e l’energia iniziale è nulla, i dati non descrivono la discesa spontanea assunta. La relazione è un’equazione quadratica in x: bisogna scegliere una soluzione x≥0 e verificare che il percorso dichiarato sia compatibile con il moto effettivo. Un diagramma con segmento prima del contatto e tratto di compressione aiuta a non omettere il lavoro dell’attrito durante la seconda fase.

Forza variabile non conservativa e percorso. Un campo di forza assegnato può dipendere dalla posizione senza essere conservativo. Per calcolare il lavoro si integra lungo la traiettoria effettivamente percorsa, W=∫F·dr. Se due curve con gli stessi estremi danno lavori differenti, il lavoro dipende dal percorso e non si può definire una sola differenza di energia potenziale per quella forza. In una dimensione, su un intervallo semplicemente connesso, una forza F(x) ammette invece il potenziale U(x)=−∫F(x)dx, a meno di una costante. In più dimensioni la sola dipendenza dalle coordinate non basta: per una forza regolare in una regione senza ostacoli, il rotore nullo è una condizione sufficiente di conservatività. La regione e la regolarità del campo fanno parte delle ipotesi; non si deve trasformare un test locale in una prova globale senza controllarle.

Attrito: transizione tra aderenza e slittamento

Un oggetto può avere velocità del centro e rotazione non compatibili. Per rotolamento puro su piano fisso vale v_cm=Rω con segni orientati coerentemente. Un oggetto che scivola e ruota può avere simultaneamente v_cm≠0 e ω≠0, ma il punto di contatto non è a riposo rispetto al suolo. La velocità relativa di slittamento nel contatto determina verso e intensità della forza d’attrito dinamico nel modello coulombiano. Se la velocità del punto di contatto cambia segno durante l’evoluzione, anche il verso dell’attrito può cambiare; assegnarlo una volta per tutte in base al verso di moto del centro di massa è una scorciatoia rischiosa.

Forza applicata fuori dal centro e rullo pieno. Si consideri un cilindro pieno tirato orizzontalmente con forza F applicata al punto superiore del bordo, sul pavimento ruvido. Il momento della forza rispetto al centro vale FR e tende a far ruotare il cilindro; l’attrito statico al contatto produce un ulteriore momento e influenza la traslazione. Con convenzione oraria positiva e avanzamento a destra, le equazioni sono F+f=ma e (F−f)R=Iα, con a=αR. Per I=½mR² si ottiene a=4F/(3m) e f=F/3 nel verso positivo: qui l’attrito agisce in avanti, a differenza del caso di forza applicata al centro. Occorre inoltre che f≤μₛmg. Questo contrasto mostra che il verso dell’attrito non è sempre contrario alla velocità del corpo: l’attrito statico contrasta lo slittamento relativo imminente al contatto.

Controllo energetico nel rotolamento. Per un corpo che avanza senza slittare, K=½mv²+½Iω². Se una forza orizzontale produce rotolamento ideale, il lavoro esterno e la variazione di K devono essere coerenti: la potenza traslazionale della forza applicata è F·v_cm, mentre la potenza delle forze applicate al corpo rigido si valuta anche attraverso la rotazione. Nel contatto ideale con suolo fisso il punto istantaneo di contatto è fermo, quindi la potenza dell’attrito statico al contatto è zero nel modello rigido. In presenza di deformazione, slittamento microscopico o suolo mobile, questa conclusione va rivista. La formula non autorizza a dichiarare nullo il lavoro di ogni attrito statico in qualunque sistema di riferimento.

Problemi di livello intermedio-avanzato

A — Stacco su arco generico. Un corpo scivola senza attrito lungo il lato esterno di una guida circolare; parte da fermo a un angolo iniziale θ₀ rispetto alla verticale superiore. Imposta il punto di distacco senza fissare θ₀. Schema di soluzione. La conservazione dell’energia fornisce la velocità in funzione della variazione di quota, v²=2gR(cosθ₀−cosθ), con angolo misurato dalla verticale superiore; la proiezione radiale dell’equazione di Newton va scritta con un asse verso il centro e il segno del peso determinato dal disegno. Il distacco si ha quando N=0, ma solo se la soluzione cade nell’intervallo geometrico realmente percorso e la normale resta non negativa prima. Se la radice matematica precede il punto di partenza o è fuori dall’arco, il corpo non si stacca lungo il tratto modellato. Specificare la convenzione angolare è essenziale: formule con coseni apparentemente discordanti possono rappresentare geometrie diverse.

B — Rullo che scende e perde la guida. Un cilindro pieno rotola senza slittare dentro una guida curva e poi esce da un’estremità tangente. Quale informazione serve per determinare la traiettoria? Discussione. Prima dell’uscita, l’energia con K traslazionale e rotazionale determina la velocità dal dislivello, ma non basta per verificare il contatto: occorre l’equazione radiale e il profilo geometrico per trovare la normale. All’uscita, posizione e velocità tangente forniscono condizioni iniziali del moto libero; da quel momento l’accelerazione è gravitazionale. Se la normale richiesta diventasse negativa prima del bordo, il moto balistico inizierebbe prima. La massa può cancellarsi nel bilancio ideale di energia, mentre il rapporto I/(mR²) resta nella velocità. Non c’è una gittata numerica senza geometria, quota e condizioni di partenza.

C — Sistema con massa sospesa e tamburo. Una massa m scende svolgendo una fune da un tamburo di momento d’inerzia I e raggio R, asse fisso senza attrito, senza slittamento. Soluzione simbolica. m g−T=ma; TR=Iα e a=Rα. Quindi T=Ia/R² e a=mg/(m+I/R²). La massa efficace I/R² ha unità kg e agisce come inerzia aggiuntiva. La tensione è minore di mg per I>0; nel limite I→0 si recupera la caduta libera ideale, mentre un tamburo molto inerziale riduce l’accelerazione. L’equazione energetica mgh=½mv²+½I(v/R)² dà lo stesso risultato per la velocità dopo una caduta h, ma non determina direttamente la tensione.

D — Puleggia mobile con masse: controllo dei vincoli. In un sistema a due masse con una puleggia mobile, scrivere soltanto una “accelerazione comune” produce una risposta errata. Si identificano le coordinate dei corpi, si esprime ogni tratto di fune variabile, si sommano le lunghezze e si impone che la somma sia costante. Una derivata temporale dà la relazione fra velocità; una seconda derivata dà quella fra accelerazioni, con segni coerenti con gli assi. Solo poi si scrive Newton per ciascun corpo e, se la puleggia ha inerzia, il momento risultante su di essa. Per una puleggia mobile di massa non trascurabile la forza risultante non è automaticamente zero; per una puleggia massiva anche le tensioni sui due lati possono differire. Il controllo finale consiste nel verificare che le accelerazioni rispettino il vincolo e che ogni tensione agisca lungo la fune sul corpo corretto.

E — Pendolo conico e variazione dell’angolo. Per filo di lunghezza L e angolo costante θ si è ottenuto ω²=g/(L cosθ). Si consideri una rotazione più rapida: l’angolo di equilibrio aumenta, il raggio L sinθ cresce e il filo deve sostenere una tensione maggiore T=mg/cosθ. Se il filo ha limite di tensione T_max, l’angolo massimo sostenibile soddisfa cosθ≥mg/T_max; la massima velocità angolare consentita nel modello segue dalla relazione precedente. Questa stima non include massa distribuita del filo, elasticità, resistenza aerodinamica o transitori: se la velocità viene aumentata rapidamente, il moto non è necessariamente un pendolo conico quasi stazionario.

F — Rimbalzo e coefficiente di restituzione. Una sfera di massa m cade verticalmente da quota h su pavimento fermo; durante l’urto si trascura l’impulso esterno gravitazionale rispetto a quello di contatto. Definendo e come rapporto tra velocità relativa di separazione e di avvicinamento, 0≤e≤1, subito prima dell’urto v⁻=−√(2gh), dopo v⁺=e√(2gh) verso l’alto. La quota del rimbalzo, se l’aria è trascurabile, è h′=(v⁺)²/(2g)=e²h. Per e=1 si recupera h, per e=0 non c’è rimbalzo. Il coefficiente e descrive la cinematica relativa dell’urto; non significa che l’energia totale del sistema sfera-pavimento sia violata.

G — Incertezza di una velocità ricavata dall’energia. Se v=√(2gh) e l’incertezza di h è piccola e casuale, la propagazione al primo ordine dà δv/v≈(1/2)δh/h, assumendo g esatto e nessuna correlazione. Se anche g è incerto, le incertezze relative indipendenti contribuiscono in quadratura: (δv/v)²≈¼[(δg/g)²+(δh/h)²]. È una stima locale per piccoli errori, non copre l’errore di modello dovuto ad aria, rotolamento o variazione di g. Distinguere precisione di misura e validità del modello evita cifre decimali ingannevoli.

H — Verifica per casi limite. Per un modello con attrito dinamico, ponendo μₖ→0 il risultato deve tendere al caso liscio. Per un tamburo con I→0 deve sparire la differenza di tensioni necessaria alla rotazione. Per un urto perfettamente elastico e masse uguali, le velocità si scambiano in una dimensione; per masse molto diverse il limite va controllato dalle equazioni di quantità di moto ed energia, non dall’intuizione. Per un oscillatore con k→0 la frequenza tende a zero e non c’è richiamo armonico. Questi limiti non sostituiscono la soluzione, ma sono controlli potenti di segni e termini omessi.

Percorso di studio e rimandi

I capitoli 1–2 costruiscono linguaggio e descrizione del moto. Leggi il 3 dopo aver imparato a scomporre vettori: le equazioni di Newton sono vettoriali. I vincoli del capitolo 4 applicano quelle equazioni a contatti e collegamenti. Il capitolo 5 fornisce un metodo alternativo per confrontare stati; il 6 è utile quando l’interazione è breve o il sistema è composto. Il 7 estende il formalismo a corpi rigidi; il 8 applica dinamica e potenziale alla gravità. Il 9 usa energia e seconda legge per oscillazioni. I problemi di raccordo esplicitano i passaggi fra metodi. Per ogni esercizio, riportare ipotesi, diagramma o schema, equazioni, unità e verifica del segno.

Non si deve confondere una formula ricordata con la sua condizione d’applicabilità. Verifica se il corpo si può trattare come punto, se la massa è costante, se l’accelerazione è uniforme, se una superficie resta in contatto e se una forza è conservativa. In caso negativo, modifica il modello prima di sostituire i numeri. La stima d’ordine di grandezza aiuta a scoprire errori: una persona non raggiunge velocità orbitali camminando, e una normale in condizioni ordinarie non vale milioni di newton. Il numero di cifre significative deve riflettere i dati e l’accuratezza del modello, spesso più limitante della calcolatrice.

Approfondimenti applicativi per la pratica ingegneristica

Scelta del modello e verifica delle ipotesi

Quando un componente può essere trattato come punto materiale? Se la dimensione del componente è piccola rispetto alla scala delle distanze rilevanti e la sua rotazione non determina l’esito, la posizione del centro di massa può bastare. Per stimare il tempo di caduta di una sfera, per esempio, il diametro conta poco rispetto all’altezza e la dinamica traslazionale è adeguata. Per il rotolamento di una ruota, invece, la distribuzione di massa e la rotazione sono essenziali: sostituirla con un punto elimina proprio il fenomeno da studiare. La scelta del modello precede l’algebra. Un risultato numerico molto preciso ottenuto con un modello inadeguato non diventa per questo attendibile.

Quando è lecito considerare costante l’accelerazione? La formula cinematica a costante richiede che la risultante delle forze lungo l’asse resti costante. Un oggetto lanciato vicino alla Terra in aria calma può essere approssimato con accelerazione verticale costante se la resistenza dell’aria è trascurabile e l’altezza è piccola rispetto al raggio terrestre. Se l’attrito aerodinamico dipende dalla velocità, l’accelerazione cambia e le formule elementari non sono esatte. Possono comunque fornire una stima iniziale, purché il confronto con l’effetto omesso sia esplicito.

L’equilibrio non significa assenza di forze. Un supporto può esercitare una normale che bilancia il peso, mentre una fune bilancia una spinta esterna. La somma vettoriale nulla implica accelerazione nulla, non forza nulla. Per un corpo in quiete, l’equilibrio traslazionale è ΣF=0; per un corpo rigido anche il momento risultante rispetto a un punto deve essere nullo se si vuole evitare accelerazione angolare. Le due condizioni sono logicamente distinte: forze con risultante zero possono formare una coppia e produrre rotazione. Una chiave inglese sottoposta a due forze uguali e opposte applicate in punti diversi è un esempio concreto.

Stima degli errori del modello. L’incertezza strumentale non è l’unica fonte d’errore. Trascurare la resistenza dell’aria, supporre una puleggia senza inerzia o usare g costante introduce errori di modello. Questi non vanno combinati automaticamente con l’incertezza casuale come se fossero rumore indipendente. È preferibile stimare l’effetto confrontando il modello semplice con una versione corretta o con un limite superiore plausibile. Per un corpo in caduta, il modello senza aria tende a sovrastimare la velocità rispetto a quella reale; il segno dell’errore è già informativo. Se non è possibile quantificare lo scarto, si deve dichiarare la limitazione anziché inventare una cifra di precisione.

Due metodi per lo stesso problema

Blocco tirato su un piano con attrito. Un corpo di massa m si sposta di s su piano orizzontale. Una forza F inclinata di angolo θ sopra l’orizzontale lo tira; assumiamo contatto mantenuto, coefficiente dinamico μₖ e velocità iniziale nota. In verticale non c’è accelerazione, quindi N=mg−F sinθ, purché N≥0. L’attrito dinamico è μₖN. La componente orizzontale risultante è F cosθ−μₖ(mg−F sinθ), da cui a dividendo per m. Lo stesso risultato energetico si ottiene dal lavoro: W_F=Fs cosθ, W_attr=−μₖ(mg−F sinθ)s, lavoro del peso e della normale nullo perché perpendicolari allo spostamento. Il teorema lavoro-energia dà ΔK uguale alla somma. Le due procedure devono concordare; se non lo fanno, un segno o una componente è stata omessa. Se F sinθ supera mg, il contatto si perde e non è più lecito mantenere N positiva nel modello di piano.

Pendio con attrito statico. Un corpo fermo su un piano inclinato ha componente del peso mg sinθ lungo il piano. Per rimanere fermo occorre attrito statico diretto verso monte di modulo mg sinθ; la normale è mg cosθ. La condizione di quiete è mg sinθ≤μₛmg cosθ, quindi tanθ≤μₛ. La massa si semplifica: nel modello coulombiano la soglia angolare non dipende dalla massa. Questo non significa che ogni coppia di superfici abbia un μₛ universale o che il contatto reale sia indipendente da materiali, pulizia e condizioni. Superata la soglia, il corpo inizia a scivolare e la dinamica successiva usa il coefficiente cinetico, che può essere diverso.

Trazione di una fune con puleggia reale. Se la puleggia ha momento d’inerzia I e raggio R, le tensioni sui due lati possono differire. Per fune che non slitta, α=a/R e il momento netto è (T₂−T₁)R=Iα. Scrivere la stessa tensione su entrambi i lati equivale a trascurare l’inerzia della puleggia. Questa precisazione collega la traslazione delle masse al bilancio rotazionale e mostra perché l’idealizzazione cambia la risposta. Se l’asse ha attrito, compare inoltre un momento resistente; se la fune ha massa, la sua accelerazione e distribuzione di tensione richiedono un modello più completo.

Impulso, urto e sicurezza

Perché l’airbag riduce il picco di forza? Per una variazione di quantità di moto fissata, l’impulso è Δp. Se l’intervallo di arresto aumenta, la forza media necessaria Δp/Δt diminuisce. L’airbag e la deformazione controllata dell’abitacolo aumentano il tempo durante il quale il passeggero viene rallentato. La variazione complessiva della quantità di moto non sparisce: cambia la storia temporale della forza e si controlla la distribuzione delle accelerazioni. La forza massima può differire dalla media, quindi il solo rapporto impulso-tempo non fornisce il picco senza conoscere la forma del segnale.

Centro di massa e forze interne. Due pattinatori che si spingono su ghiaccio idealmente senza attrito si allontanano in versi opposti. Le forze sono uguali e opposte, ma le accelerazioni non hanno lo stesso modulo se le masse differiscono. La quantità di moto totale resta quella iniziale, mentre il centro di massa continua con la velocità che aveva prima della spinta. L’energia cinetica può aumentare perché i pattinatori compiono lavoro interno usando energia chimica; la conservazione della quantità di moto non richiede energia cinetica costante. È un controllo concettuale utile per evitare di confondere le due leggi di conservazione.

Rotazione: asse, energia e contatto

Il momento dipende dal punto di riferimento. Il momento torcente è definito rispetto a un polo. Se la risultante delle forze è nulla, il momento totale non cambia quando si trasla il polo; se la risultante è non nulla, i momenti rispetto a poli diversi possono differire. Per un corpo in equilibrio statico si può scegliere un polo che elimini le forze incognite con linea d’azione passante per esso. Tale comodità non modifica la fisica: dopo aver trovato l’incognita, le altre equazioni di equilibrio devono essere comunque soddisfatte.

Perché corpi diversi rotolano diversamente. Per un oggetto che scende senza slittare da altezza h, mgh=½mv²+½Icm(v/R)². Definendo κ=Icm/(mR²), si ottiene v²=2gh/(1+κ). Un cilindro pieno ha κ=1/2; un anello sottile ha κ=1. A parità di massa, raggio e quota, il cilindro pieno arriva con velocità maggiore perché una frazione minore dell’energia è nella rotazione. Il risultato assume rotolamento puro e perdite trascurabili. Se il contatto non riesce a fornire l’attrito statico richiesto, si verifica slittamento e la relazione cinematica non vale.

Potenza in un albero rotante. Se il momento torcente è parallelo all’asse e la velocità angolare è ω, P=τω. Per una trasmissione ideale la potenza si conserva tra ingresso e uscita mentre coppia e velocità possono cambiare; un riduttore aumenta la coppia diminuendo la velocità angolare nel rapporto corrispondente. In un dispositivo reale una parte della potenza si dissipa. Le unità sono N m/s, equivalenti a watt. Il prodotto τω è potenza, non energia: per ottenere il lavoro occorre integrare nel tempo oppure usare W=∫τ dθ.

Gravità, oscillazioni e scale

Campo gravitazionale variabile con la quota. Se un corpo sale da raggio terrestre R a R+h, la variazione esatta di energia potenziale è GMm(1/R−1/(R+h)). Per h molto minore di R, lo sviluppo al primo ordine dà mgh con g=GM/R². Questa derivazione chiarisce il dominio della formula mgh: non è una legge valida a qualsiasi distanza, bensì un’approssimazione locale. Per h comparabile con R, l’uso della forma esatta evita di trattare g come costante.

Peso apparente in ascensore. Una persona di massa m su bilancia in ascensore con accelerazione verticale a, verso l’alto positivo, soddisfa N−mg=ma. La lettura N=m(g+a); in accelerazione verso il basso con modulo a, N=m(g−a). La bilancia misura la forza normale, non una modifica della massa. In caduta libera ideale N=0, anche se il campo gravitazionale è presente. Se la cabina accelera oltre g verso il basso, il contatto con una superficie orizzontale non può essere mantenuto e la formula con N negativo segnala che è cambiata la condizione di contatto.

Ampiezza e velocità nell’oscillatore. Per x=A cos(ωt+φ), v=−ωA sin(ωt+φ). Dunque v²=ω²(A²−x²): la velocità è massima in modulo all’equilibrio e si annulla agli estremi. L’accelerazione a=−ω²x è sempre diretta verso l’equilibrio. Queste relazioni sono coerenti con F=−kx e ω²=k/m. Se si misura il periodo e la massa, si può stimare k=m(2π/T)², assumendo oscillazioni lineari e massa effettiva della molla trascurabile. Un periodo che cambia con l’ampiezza può rivelare non linearità o, per pendolo, l’uso di angoli grandi.

Controllo dimensionale delle formule gravitazionali e oscillanti. In v=√(GM/r), GM/r ha dimensioni (m³/s²)/m=m²/s², quindi la radice è una velocità. Nel periodo orbitale r³/(GM) ha dimensioni m³/(m³/s²)=s². Per ω=√(k/m), k in N/m equivale a kg/s²; dividendo per kg resta s⁻² e la radice ha unità s⁻¹. Questi controlli non provano che le formule siano corrette, ma intercettano errori frequenti come dimenticare il raggio o confondere periodo e frequenza angolare.

Diagnosi degli errori tipici

Errore: usare la velocità media come velocità finale. Se l’accelerazione è costante, la velocità media è (v₀+v)/2 e può essere usata per ricavare lo spostamento; non è in generale uguale a v. Per un corpo che parte da fermo con accelerazione costante, la velocità media è metà della velocità finale. Confonderle raddoppia o dimezza il risultato dello spazio. Si può verificare integrando v(t), oppure confrontando con l’area triangolare sotto il grafico velocità-tempo.

Errore: aggiungere una forza centripeta al diagramma. La centripeta non identifica un’interazione ulteriore. Su una pietra legata a una corda, la tensione può fornire la risultante radiale; su un’automobile in curva può farlo l’attrito, mentre su un satellite lo fa la gravità. Aggiungere anche un vettore etichettato “forza centripeta” conterebbe due volte la stessa risultante. Si disegnano le interazioni reali e si proietta la loro somma verso il centro.

Errore: applicare conservazione dell’energia meccanica a ogni processo. L’energia totale di un sistema isolato si conserva, ma la somma K+U_meccanica può variare se attrito, urto anelastico o deformazione trasferiscono energia ad altre forme. Per usare la conservazione meccanica bisogna includere solo forze conservative oppure contabilizzare separatamente il lavoro non conservativo. Il fatto che la velocità finale sia minore di quella prevista senza attrito è compatibile con la conservazione dell’energia totale; semplicemente parte dell’energia non è più energia meccanica macroscopica.

Errore: confondere equilibrio statico e dinamico. ΣF=0 implica accelerazione traslazionale nulla, non velocità nulla. Un corpo che procede a velocità costante è dinamicamente in equilibrio traslazionale. Per l’equilibrio rotazionale serve anche momento netto nullo rispetto a un asse pertinente. Un’automobile a velocità costante può avere motore e resistenze entrambi non nulli, purché si bilancino. L’assenza di accelerazione non prova l’assenza di interazioni.

Nota critica sulla bozza meccanica e mappa delle verifiche

Questa trattazione è una sintesi didattica originale, non una traduzione né una riproduzione degli esercizi delle fonti. I riferimenti seguenti documentano la copertura disciplinare e forniscono riscontri per principi e relazioni standard; non è stato verificato ogni singolo calcolo o ogni asserto della dispensa contro ogni testo. Il corso MIT 8.01SC descrive esplicitamente leggi di Newton e metodi di conservazione di energia, quantità di moto e momento angolare; OpenStax University Physics volume 1 dichiara la copertura di meccanica, suono, oscillazioni e onde e presenta testo sottoposto a revisione. I due editori sono indipendenti.

Mappa dei nuclei aggiunti: integrale del lavoro per forza variabile 3; rotolamento puro, attrito statico richiesto e bilancio di energia traslazionale/rotazionale 4; sistemi di pulegge e relazioni cinematiche di vincolo 5. MIT e OpenStax sono fonti indipendenti; i riscontri puntuali consultati non certificano ogni problema di distacco, spola o pendolo conico. Copertura generale: vettori e oscillazioni 2; cinematica, Newton, vincoli, attrito, impulso, urti, rotazione e gravitazione [1,2]; lavoro e potenza [1,2,3]; rotolamento [1,2,4]; pulegge [1,5]. La mappa denota pertinenza, non verifica esaustiva. La corrispondenza identifica famiglie di argomenti, non certifica ogni dettaglio numerico o ogni ipotesi locale. La copertura specifica di incertezza metrologica, modelli reali d’attrito e alcune derivazioni non è stata confermata mediante una lettura puntuale indipendente di tutte le lezioni/capitoli; è mantenuta come materia introduttiva standard con assunzioni dichiarate e resta da sottoporre a revisione disciplinare. Non è stata eseguita una revisione umana docente. La bozza meccanica preesistente non copriva la termodinamica, qui aggiunta nei capitoli successivi.

11. Sistemi termodinamici, temperatura e stato

La termodinamica descrive scambi di energia e trasformazioni di sistemi macroscopici. Prima di scrivere un bilancio occorre definire il sistema: per esempio, il gas contenuto in un cilindro, il recipiente insieme al gas oppure un corpo scaldato. Il confine può essere reale o immaginario. Un sistema chiuso scambia energia ma non materia; uno aperto può scambiare entrambe; uno isolato idealmente non scambia né energia né materia. L’ambiente è tutto ciò che non appartiene al sistema. La scelta non è formale: decide quali trasferimenti entrano nel bilancio.

Le variabili di stato descrivono lo stato macroscopico di equilibrio. Pressione p, volume V e temperatura T sono variabili intensive o di configurazione; massa, quantità di sostanza, energia interna U ed entropia S sono estensive, cioè additive quando si uniscono sottosistemi indipendenti. La temperatura caratterizza l’equilibrio termico: se A è in equilibrio termico con B e B con C, lo è anche A con C. È la formulazione operativa della legge zero ed è ciò che rende possibile calibrare termometri. Il termometro deve raggiungere l’equilibrio col campione; la sua capacità termica finita può perturbare il campione.

La scala Celsius è traslata rispetto alla scala kelvin: T(K)=t(°C)+273,15. Una differenza di 1 K è uguale a una differenza di 1 °C, ma nelle leggi dei gas e nelle relazioni termodinamiche la temperatura assoluta si esprime in kelvin. Lo zero Celsius non è lo zero assoluto. Non si deve inserire 20 al posto di 293,15 in pV=nRT. L’uso del kelvin non significa che ogni grandezza sia misurabile con precisione arbitraria: strumenti, taratura e tempi di attesa restano fonti d’incertezza.

La pressione è forza normale per unità di area, p=F⊥/A, e nel SI si misura in pascal, 1 Pa=1 N m⁻². In un fluido in quiete la pressione cresce con la profondità: per densità uniforme p=p₀+ρgh. La relazione richiede accelerazione gravitazionale e densità circa costanti lungo la colonna. Pressione assoluta e pressione relativa non sono la stessa cosa; il manometro spesso indica la differenza rispetto all’atmosfera. Nei bilanci del gas si usa la pressione assoluta. L’equilibrio meccanico di un pistone senza attrito richiede che la forza di pressione sia bilanciata dalle forze esterne, tenendo conto dell’area e del peso del pistone.

Esempio ragionato. Una sonda misura 18,0 °C. In kelvin la lettura è 291,15 K. Se un cilindro ha pistone d’area 0,020 m² e la pressione interna supera l’esterna di 15 kPa, la risultante di pressione vale Δp A=15 000·0,020=300 N. Il prodotto ha unità Pa·m²=N. Se si usasse la pressione assoluta interna da sola senza includere la pressione esterna, si sovrastimerebbe la forza netta sul pistone.

Una trasformazione quasi-statica passa attraverso stati vicini all’equilibrio e può essere descritta da una curva p(V). Non ogni trasformazione reale è quasi-statica: una rapida espansione con forti gradienti di pressione non ha un’unica pressione interna uniforme durante tutto il processo. La quasi-staticità è utile per calcolare lavoro e calore con variabili di stato, ma non equivale alla reversibilità. Un processo reversibile è un limite ideale che potrebbe essere invertito lasciando sistema e ambiente senza cambiamenti netti; attrito, gradienti finiti e dissipazione lo rendono irreversibile.

12. Calore, capacità termica e cambiamenti di fase

Il calore Q non è una sostanza contenuta in un corpo né una variabile di stato: è energia trasferita attraverso il confine a causa di una differenza di temperatura. Una volta raggiunto lo stato finale, il sistema possiede energia interna, non “calore accumulato”. Si può parlare di calore assorbito o ceduto lungo un processo. In questa dispensa Q>0 significa trasferimento verso il sistema. Il lavoro W_gas>0 significa lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente; con questa convenzione il primo principio sarà ΔU=Q−W_gas. Dichiarare i segni prima dei calcoli evita di cambiare convenzione a metà.

Se un corpo di massa m subisce una variazione di temperatura senza transizione di fase e il calore specifico c è quasi costante, Q=mcΔT. Il calore specifico dipende da sostanza e condizioni, e in generale può variare con la temperatura. La capacità termica C=Q/ΔT per uno specifico corpo è una grandezza estensiva; il calore specifico c=C/m è intensivo. Un aumento di temperatura non si ottiene automaticamente da Q/(m c) se una parte dell’energia cambia fase o compie lavoro. Per gas, inoltre, la capacità termica dipende dal vincolo: a volume costante il gas non compie lavoro di espansione, mentre a pressione costante in genere ne compie.

Calorimetria con bilancio energetico. In un calorimetro idealmente isolato, l’energia ceduta da un componente è acquistata dagli altri. Se due masse d’acqua di uguale calore specifico m₁,m₂ si mescolano senza perdite, m₁c(T_f−T₁)+m₂c(T_f−T₂)=0. Il calore specifico si semplifica e T_f=(m₁T₁+m₂T₂)/(m₁+m₂). Con materiali differenti occorrono le rispettive capacità termiche. La temperatura finale deve essere compresa fra le temperature iniziali se non avvengono reazioni, cambi di fase o apporti esterni. Una risposta fuori dall’intervallo è un allarme immediato su segni o unità.

Esempio svolto. Si mescolano 0,20 kg d’acqua a 80 °C con 0,30 kg d’acqua a 20 °C in un recipiente ideale. Il calore specifico comune si cancella: T_f=(0,20·80+0,30·20)/0,50=44 °C. Il primo campione cede m₁c(80−44), il secondo assorbe m₂c(44−20); entrambi valgono, in modulo, circa 30,1 kJ usando c=4180 J kg⁻¹ K⁻¹. La verifica del bilancio è più informativa del solo risultato della media ponderata. Il modello trascura recipiente, evaporazione e scambio con l’ambiente.

Durante un cambiamento di fase a pressione fissata, una sostanza pura può assorbire energia senza cambiare temperatura. In condizioni appropriate Q=mL, con L calore latente specifico di fusione o vaporizzazione. Il valore dipende dalla fase e dalla pressione; non è una costante universale indipendente dallo stato. Per riscaldare ghiaccio, fonderlo, portare l’acqua a ebollizione e poi vaporizzarla, il calcolo va spezzato in segmenti: Q totale è la somma dei contributi mcΔT e mL. Usare un solo mcΔT attraverso l’intera transizione omette il calore latente.

Esempio a più stadi. Per fondere 0,10 kg di ghiaccio già a 0 °C e scaldare l’acqua liquida fino a 20 °C, assumiamo L_f=334 kJ/kg e c=4180 J/(kg K). La fusione richiede Q₁=0,10·334 000=33 400 J. Il riscaldamento richiede Q₂=0,10·4180·20=8360 J. Totale circa 41,8 kJ. Questo totale è positivo per il sistema; se fosse una sorgente che cede energia, nel suo bilancio il segno sarebbe negativo. Il controllo dimensionale di mL è kg·J/kg=J.

Il trasferimento termico avviene per conduzione, convezione e irraggiamento. Nella conduzione stazionaria attraverso una parete piana uniforme, un modello semplice dà potenza termica P=kA(T₁−T₂)/L, dove k è la conducibilità e L lo spessore. Il flusso va dalla regione a temperatura maggiore a quella minore; l’espressione presuppone regime stazionario e proprietà costanti. La convezione coinvolge moto del fluido e non si riduce alla conduzione nella parete. L’irraggiamento può avvenire anche nel vuoto; la potenza netta ideale è proporzionale a εσA(T⁴−T_amb⁴), usando temperature assolute. I modelli elementari non sostituiscono una valutazione ingegneristica dettagliata di geometrie, isolamento e condizioni al contorno.

13. Gas ideali e teoria cinetica

Per una quantità fissata di gas rarefatto in condizioni lontane dalla liquefazione, l’equazione di stato del gas ideale è pV=nRT, con n in moli e R≈8,314 J mol⁻¹ K⁻¹. È un modello: le molecole sono trattate come particelle con volume proprio trascurabile rispetto al recipiente e interazioni trascurabili salvo urti elastici. A pressioni elevate o vicino alla condensazione le deviazioni possono diventare importanti. Il prodotto pV ha unità Pa·m³=J; nRT ha unità mol·J mol⁻¹ K⁻¹·K=J. Questa corrispondenza offre un controllo dimensionale.

A quantità di gas e volume costanti, p/T è costante; a pressione e quantità fissate, V/T è costante. Le temperature sono kelvin. In forma combinata p₁V₁/T₁=p₂V₂/T₂ per quantità invariata. L’equazione di stato lega variabili di equilibrio, ma non fornisce da sola la traiettoria di una trasformazione: occorrono informazioni sul processo, come isocoro, isobaro o isotermo. Una compressione quasi-statica può avere molti percorsi p(V), ognuno con lavoro diverso pur collegando gli stessi stati.

Esempio numerico. Un gas occupa 2,0 L a 100 kPa e 300 K. In unità SI V=2,0·10⁻³ m³; n=pV/(RT)=100 000·0,0020/(8,314·300)=0,0802 mol. Se il volume dimezza a temperatura invariata, la pressione ideale raddoppia a 200 kPa. Non è corretto lasciare il volume in litri nella formula SI senza convertire o cambiare coerentemente le unità di R.

La teoria cinetica collega la temperatura assoluta all’energia cinetica traslazionale media delle molecole: per un gas ideale monoatomico, ⟨K_tr⟩=3k_B T/2 per molecola. Qui k_B è la costante di Boltzmann; per mole di particelle N_A k_B=R. La velocità quadratica media è v_rms=√(3k_BT/m_molecola)=√(3RT/M), con M massa molare in kg/mol. È una media quadratica, non la velocità di ogni molecola né la velocità del centro di massa del gas. La distribuzione delle velocità contiene molecole più lente e più veloci.

Per un gas ideale monoatomico l’energia interna è U=3nRT/2 e dipende solo dalla temperatura. Per gas molecolari i gradi di libertà rotazionali e vibrazionali possono contribuire in misura dipendente dalla temperatura; l’equipartizione classica è un’approssimazione e non va estesa ciecamente a ogni grado di libertà. Nel modello monoatomico C_V=3R/2 per mole e C_p=C_V+R=5R/2; il rapporto γ=C_p/C_V=5/3. In generale, per gas ideale C_p−C_V=R molare. Le capacità specifiche sono diverse se espresse per massa, per mole o per campione: indicare sempre la base.

Controllo di scala. Per una mole di gas monoatomico a 300 K, U=3RT/2≈3,74 kJ. La stessa mole riscaldata di 10 K a volume costante aumenta U di ΔU=3RΔT/2≈125 J. Un aumento di dieci kelvin non moltiplica l’energia per dieci: per il modello l’energia interna è proporzionale a T assoluta, mentre la variazione dipende da ΔT.

14. Primo principio e trasformazioni termodinamiche

Il primo principio è la conservazione dell’energia applicata a un sistema termodinamico. Per un sistema chiuso, trascurando variazioni macroscopiche di energia cinetica e potenziale, ΔU=Q−W_gas. Q è positivo se entra calore, W_gas positivo se il sistema compie lavoro. In una compressione W_gas è negativo e il lavoro fatto sull’oggetto aumenta U, salvo calore ceduto. Se si usa la convenzione alternativa lavoro fatto sul sistema positivo, la formula diventa ΔU=Q+W_sul; sono entrambe corrette se mantenute coerenti. U è funzione di stato; Q e W dipendono in generale dal percorso.

Per un pistone quasi-statico il lavoro elementare del gas è dW=p_ext dV. Se il processo è reversibile o quasi-statico in equilibrio meccanico, p_ext può essere sostituita dalla pressione del gas. In un percorso p(V), il lavoro è l’area orientata sotto la curva. Espansione dà W_gas>0, compressione W_gas<0. A volume costante il lavoro di frontiera è zero; ciò non implica Q=0. In un ciclo chiuso ΔU=0 perché lo stato finale coincide con quello iniziale, dunque Q_net=W_net secondo la convenzione adottata.

Esempio con lavoro. Un gas si espande contro una pressione esterna costante di 100 kPa da 2,0 L a 5,0 L. Convertendo ΔV=3,0·10⁻³ m³, il lavoro del gas è W=100 000·0,0030=300 J. Se nello stesso processo assorbe Q=500 J, ΔU=500−300=200 J. Il segno positivo indica energia interna finale maggiore. La pressione esterna costante è un’ipotesi del calcolo; se la pressione varia, serve integrare p_ext(V).

In una trasformazione isocora ΔV=0 e W=0, quindi ΔU=Q. Per un gas ideale monoatomico ΔU=nC_VΔT. In un’isobara reversibile di pressione p costante, W=pΔV=nRΔT; perciò Q=ΔU+W=nC_pΔT. L’energia assorbita riscalda il gas e ne sostiene l’espansione. L’uguaglianza fra pressione interna ed esterna è un modello quasi-statico; durante una trasformazione reale rapida può non valere.

Per un gas ideale in un’isoterma, ΔU=0 perché U dipende solo da T. In un’espansione reversibile, W=nRT ln(V_f/V_i), per cui Q=W. Se V_f>V_i lavoro e calore entrante sono positivi; in compressione entrambi sono negativi. La forma logaritmica vale per gas ideale e percorso reversibile isotermo, non per qualunque processo che abbia temperatura iniziale e finale uguali. In generale un sistema può partire e finire alla stessa temperatura ma avere ΔU=0 e scambi Q e W differenti in funzione del percorso.

Esercizio svolto: espansione isotermica. Una mole ideale a 300 K raddoppia reversibilmente il volume. W=nRT ln2=1·8,314·300·0,693=1,73 kJ; ΔU=0 e Q=1,73 kJ. Il risultato è positivo perché il gas compie lavoro e assorbe la stessa energia. Se si fosse usato logaritmo in base 10 senza fattore di conversione, il risultato sarebbe errato.

In un’adiabatica ideale non c’è trasferimento di calore, Q=0; quindi ΔU=−W_gas. Una compressione adiabatica compiuta sull’ideale gas aumenta U e T. Per un gas ideale a capacità termiche costanti in trasformazione reversibile pV^γ=costante e TV^(γ−1)=costante. Queste relazioni non valgono per ogni processo adiabatico: irreversibilità, capacità variabili o deviazioni dall’idealità richiedono un’analisi diversa. L’adiabatico non significa isoterma; spesso la temperatura cambia proprio perché il lavoro modifica l’energia interna.

Esempio di compressione adiabatica. Un gas ideale monoatomico passa reversibilmente da V₁ a V₂=V₁/2, partendo da T₁=300 K. Con γ=5/3, T₂=T₁(V₁/V₂)^(γ−1)=300·2^(2/3)≈476 K. Il volume dimezza e la temperatura aumenta. La pressione cresce secondo p₂/p₁=(V₁/V₂)^γ=2^(5/3)≈3,17. L’aumento di temperatura è coerente con il lavoro positivo fatto sul gas e con Q=0.

Il diagramma p-V consente di confrontare percorsi. Se due curve collegano gli stessi volumi, l’area può differire: il lavoro non è determinato solo dagli stati estremi. Invece ΔU per gas ideale dipende solo da ΔT. Per un ciclo, l’area racchiusa rappresenta il lavoro netto; il verso di percorrenza determina il segno. Un controllo consiste nel verificare Q_net−W_net=0 quando il ciclo torna allo stato iniziale. Errori comuni sono confondere lavoro netto con area geometrica non orientata e assegnare segno positivo a ogni ramo.

15. Secondo principio, entropia e macchine termiche

Il primo principio impone il bilancio dell’energia ma non stabilisce quale direzione di trasformazione avviene spontaneamente. Il secondo principio distingue i processi possibili: il calore fluisce spontaneamente da caldo a freddo, non il contrario senza intervento esterno. Una macchina ciclica non può trasformare integralmente in lavoro il calore assorbito da un’unica sorgente; una parte deve essere ceduta a una sorgente più fredda. Non è una correzione della conservazione dell’energia, ma una restrizione sul modo in cui l’energia può essere convertita.

Una macchina termica assorbe calore Q_H>0 dalla sorgente calda, cede quantità Q_C>0 alla sorgente fredda e compie lavoro netto W_out=Q_H−Q_C. Il rendimento è η=W_out/Q_H=1−Q_C/Q_H e resta minore di uno per una macchina che operi ciclicamente fra serbatoi finiti. Non si confonde efficienza con potenza: il rendimento è rapporto adimensionale, la potenza è lavoro per tempo in watt. La macchina frigorifera usa lavoro per trasferire calore dal freddo al caldo; il coefficiente di prestazione per il frigorifero è COP_R=Q_C/W_in, mentre per la pompa di calore COP_HP=Q_H/W_in. COP può superare uno perché misura calore trasferito rispetto al lavoro, non la frazione di energia conservata.

Esempio: rendimento e bilancio. Una macchina assorbe 800 J da una sorgente e scarica 500 J. Il lavoro netto per ciclo è 300 J e η=300/800=0,375, cioè 37,5%. Si verifica Q_H=Q_C+W_out. Se si dichiarasse un lavoro di 900 J con questi calori, si violerebbe il primo principio oltre che il limite fisico della macchina. L’esercizio presume che le quantità si riferiscano allo stesso ciclo.

Il ciclo di Carnot è il limite reversibile ideale fra serbatoi a T_H e T_C, temperature assolute. Il rendimento è η_C=1−T_C/T_H; ogni macchina reale fra gli stessi serbatoi ha rendimento minore o uguale. Per T_H=600 K e T_C=300 K, η_C=0,50. Il risultato non significa che una macchina reale raggiunga il 50%; attriti, perdite, scambi con differenze finite di temperatura e irreversibilità la rendono meno efficiente. Sostituire gradi Celsius nel rapporto produce un limite senza significato termodinamico.

Frigorifero ideale. Fra 270 K e 300 K, il COP massimo reversibile del frigorifero è T_C/(T_H−T_C)=9. Per estrarre 900 J dal vano freddo, il lavoro minimo reversibile è W=100 J e il calore ceduto all’ambiente è 1000 J. Il COP della pompa di calore corrispondente è T_H/(T_H−T_C)=10. I due COP differiscono di uno perché Q_H=Q_C+W. Valori pratici sono inferiori al limite reversibile.

Per un processo reversibile, la variazione infinitesima di entropia è dS=δQ_rev/T; l’entropia è una funzione di stato e si misura in J/K. Per processi irreversibili la variazione di entropia dell’universo, sistema più ambiente, è non negativa. L’entropia del solo sistema può diminuire: per esempio un corpo caldo che si raffredda può perdere entropia mentre l’ambiente ne acquista una quantità maggiore. Dire che “l’entropia aumenta sempre nel sistema” è scorretto; il principio riguarda l’insieme isolato o la produzione totale. Il calore reversibile è indicato δQ perché non è differenziale di una funzione di stato.

Per riscaldare reversibilmente un corpo con capacità termica costante da T₁ a T₂, ΔS=C ln(T₂/T₁). Il rapporto tra temperature deve usare kelvin; il logaritmo ha argomento adimensionale. Se T₂>T₁ l’entropia cresce. Per un gas ideale, un’espressione utile è ΔS=nC_V ln(T₂/T₁)+nR ln(V₂/V₁) fra stati di equilibrio, con capacità costante; la formula dipende dal modello e può essere applicata per calcolare la differenza di entropia anche se il percorso reale è irreversibile, perché S è funzione di stato. Non implica che il calore effettivamente scambiato segua un percorso reversibile: si può immaginare un percorso reversibile ausiliario fra gli stessi stati.

Esempio di entropia nello scambio termico. Due grandi corpi a 400 K e 300 K scambiano reversibilmente una quantità infinitesima di calore Q: il caldo ha ΔS_H=−Q/400, il freddo ΔS_C=Q/300; la somma è positiva. In un trasferimento finito spontaneo da caldo a freddo attraverso differenza finita di temperatura, la produzione totale è positiva. La relazione qualitativa rende chiaro perché il flusso opposto non avvenga senza lavoro esterno. Il modello di serbatoi a temperatura costante è un’idealizzazione; corpi finiti cambiano temperatura durante lo scambio.

Un processo adiabatico reversibile ha ΔS=0 ed è detto isentropico; un processo adiabatico irreversibile produce entropia e in generale ΔS>0. Per il gas ideale a capacità costanti, le leggi pV^γ e TV^(γ−1) descrivono il caso reversibile, non un qualunque processo isolato dal calore. L’assenza di calore attraverso il confine non annulla la produzione interna dovuta ad attrito o espansione libera. È un errore ricavare ΔS=0 dal solo Q=0 senza verificare reversibilità.

16. Esercizi ragionati di termodinamica e controlli

16.1 — Calore e segni. Un sistema assorbe 1,2 kJ e compie 0,45 kJ di lavoro. Con ΔU=Q−W_gas: ΔU=1,20−0,45=0,75 kJ. Il valore è positivo e le unità sono uniformi. Se invece l’ambiente comprime il sistema compiendo 0,45 kJ su di esso, W_gas=−0,45 kJ e ΔU=1,65 kJ. Scrivere “lavoro positivo” senza specificare chi compie lavoro non è sufficiente.

16.2 — Riscaldamento a volume costante. Due moli di gas ideale monoatomico vengono riscaldate da 290 a 350 K in recipiente rigido. W=0; ΔU=n(3R/2)ΔT=2·1,5·8,314·60=1497 J circa. Q=ΔU. Una pressione maggiore non comporta lavoro sul confine rigido: la variazione di energia passa nel riscaldamento del gas.

16.3 — Riscaldamento isobaro. Una mole di gas ideale monoatomico si scalda di 50 K a pressione costante. Il lavoro è nRΔT=416 J; la variazione di energia interna è (3/2)nRΔT=624 J; il calore richiesto è 1040 J. La somma ΔU+W coincide con Q. Il calore per kelvin è maggiore che a volume costante perché il sistema si espande.

16.4 — Lavoro in espansione contro pressione costante. Un pistone aumenta il volume di 0,80 L contro 150 kPa. Convertendo ΔV=8,0·10⁻⁴ m³, W=120 J. Se il gas cede 50 J, Q=−50 J e ΔU=−170 J. Il raffreddamento energetico può essere maggiore della sola perdita termica perché il gas compie lavoro. Il risultato presuppone pressione esterna costante durante lo spostamento.

16.5 — Miscela con capacità termiche differenti. Un blocco d’alluminio di 0,20 kg a 100 °C è posto in 0,50 kg d’acqua a 20 °C in un calorimetro ideale. Usando c_Al=900 J kg⁻¹ K⁻¹ e c_acqua=4180, il bilancio è 0,20·900(100−T_f)=0,50·4180(T_f−20). Da 18 000−180T_f=2090T_f−41 800, quindi T_f≈27,6 °C. La temperatura è fra i valori iniziali e vicina a quella dell’acqua perché la capacità termica dell’acqua è maggiore. Trascurare il recipiente e le perdite è essenziale per il risultato.

16.6 — Gas ideale con variazione di stato. Un campione passa da p₁=120 kPa, V₁=3,0 L, T₁=300 K a p₂=90 kPa e V₂=4,0 L. Il prodotto pV iniziale è 360 J e quello finale è 360 J, perciò T₂=T₁ se n resta costante. La forma combinata dà lo stesso risultato. Questo controllo di stato non dice se la trasformazione è stata isotermica in ogni istante o quanto lavoro sia stato scambiato.

16.7 — Ciclo rettangolare nel piano p-V. Un ciclo percorre in senso orario un rettangolo di larghezza ΔV=2,0·10⁻³ m³ e altezza Δp=40 kPa. Il lavoro netto è l’area orientata, W_net=ΔpΔV=80 J. Poiché il ciclo torna allo stato iniziale, ΔU=0 e Q_net=80 J. Un percorso antiorario dà lavoro netto −80 J e richiede lavoro dall’esterno. L’area è positiva o negativa secondo il verso, non soltanto la geometria.

16.8 — Confronto fra processi reversibili. Un gas ideale va dallo stesso stato iniziale a uno stato finale con volume doppio. Un’espansione isoterma reversibile e una trasformazione a pressione costante non possono avere in generale gli stessi stati iniziali e finali senza scegliere opportunamente p e T; prima di confrontare i lavori bisogna verificare la compatibilità dell’equazione di stato. Se un testo assegna dati che violano pV=nRT, la traccia è incoerente. Non si risolve un problema incoerente scegliendo arbitrariamente una delle relazioni.

16.9 — Diagnosi di un errore di Celsius. Un ciclo di Carnot lavora fra 127 °C e 27 °C. Convertendo: T_H=400,15 K e T_C=300,15 K; η=1−300,15/400,15≈0,250. Il calcolo diretto con Celsius darebbe un risultato diverso e non fisico, perché lo zero Celsius non è lo zero assoluto. Arrotondando le temperature a 400 K e 300 K si ottiene 25%, adeguato alla precisione dei dati.

16.10 — Irreversibilità e convenzione. Un gas si espande liberamente nel vuoto in un contenitore isolato rigido. Il calore è zero e il lavoro contro l’esterno è zero; quindi ΔU=0. Per un gas ideale la temperatura finale coincide con quella iniziale, ma l’espansione libera è irreversibile e l’entropia aumenta. Non si applica W=nRT ln(V_f/V_i), che descrive il lavoro di un percorso reversibile isotermo, non il lavoro effettivo della libera espansione. Lo stato finale può essere confrontato con quello iniziale attraverso un percorso reversibile fittizio per calcolare ΔS.

17. Errori ricorrenti, metodo e limiti

In meccanica, confondere distanza e spostamento elimina il segno e può rendere falsa una relazione vettoriale. La velocità negativa indica verso, non “velocità minore”; l’accelerazione opposta alla velocità indica rallentamento solo in quell’istante. La forza normale non è sinonimo di peso e la forza centripeta non è un’interazione supplementare. L’attrito statico assume il valore richiesto entro il limite massimo. Nei vincoli, una forza di reazione negativa può segnalare che il contatto assunto non è possibile. In un urto si dichiara il sistema e si verifica se l’impulso esterno è trascurabile prima di usare conservazione della quantità di moto.

Nella rotazione, gli angoli vanno trattati in radianti nelle relazioni differenziali. Il momento d’inerzia dipende dall’asse; il momento torcente è prodotto vettoriale e il suo segno dipende dalla convenzione. Il rotolamento puro non è sinonimo di assenza di attrito; può servire attrito statico per imporre il vincolo. L’energia meccanica si conserva solo quando i trasferimenti non conservativi sono assenti o sono contabilizzati in modo esplicito. Il centro di massa può seguire un moto semplice mentre i moti interni restano complessi.

In termodinamica, la prima domanda è quale sistema è stato scelto e quali scambi attraversano il confine. La seconda è quale convenzione dei segni è in uso. Non chiamare calore l’energia interna; Q e W non sono proprietà dello stato. Non usare temperature Celsius nell’equazione dei gas, nei rapporti di Carnot o nei logaritmi di entropia. Non assumere che una trasformazione adiabatica sia isoterma o isentropica: serve anche la reversibilità per la seconda conclusione. Un ciclo ha ΔU nullo, non necessariamente Q e W separatamente nulli.

Una soluzione robusta esplicita dati e incognite, converte in SI, disegna il diagramma pertinente, indica le ipotesi, scrive prima la relazione simbolica e sostituisce i numeri solo dopo. Alla fine controlla unità, segno, ordine di grandezza e casi limite. Il risultato va arrotondato alla precisione consentita dai dati. Se il testo non fornisce geometria, proprietà del materiale, condizioni iniziali o definizione del sistema, la conclusione corretta può essere una relazione simbolica o la constatazione che manca informazione, non un valore inventato.

La dispensa adotta modelli classici introduttivi: meccanica newtoniana a velocità non relativistiche, corpi puntiformi o rigidi nei casi dichiarati, fluidi e gas idealizzati, gas perfetto, capacità termiche costanti in specifici esercizi e processi quasi-statici quando indicato. Non tratta in modo sistematico fluidodinamica, elasticità avanzata, sistemi aperti con flussi di massa, termodinamica chimica, diagrammi di fase dettagliati, cicli reali di potenza o refrigerazione, relatività, meccanica quantistica, metodi numerici e laboratorio. Nessun riferimento qui equivale a verifica di conformità con uno specifico programma universitario.

Fonti

Le fonti istituzionali sono state consultate per delimitare i temi e controllare formulazioni fondamentali. La dispensa è una rielaborazione didattica originale, non una traduzione o riproduzione dei testi. OpenStax volume 1 fornisce riscontro per gli argomenti di meccanica; OpenStax volume 2 per temperatura, teoria cinetica e principi termodinamici; MIT OCW 8.01SC per l’impostazione della meccanica basata su forze e leggi di conservazione. La consultazione delle pagine d’indice e della descrizione del corso non equivale alla lettura integrale dei capitoli o delle lezioni.

Fonti documentate e limiti di questa edizione

Testo originale in revisione, con controlli assistiti e limiti documentati. La presenza di più fonti non significa che ogni frase abbia già due riscontri indipendenti; nessuna certificazione docente o equivalenza a un programma ufficiale.

• University Physics Volume 1, §5.2 Newton’s First Law — OpenStax, Rice University
• University Physics Volume 1, §9.4 Types of Collisions — OpenStax, Rice University
• MIT 8.01SC Classical Mechanics — Online Textbook index — MIT OpenCourseWare, appunti del corso di Peter Dourmashkin
• University Physics Volume 2, §3.3 First Law of Thermodynamics — OpenStax, Rice University
• University Physics Volume 2, §4.1 Reversible and Irreversible Processes — OpenStax, Rice University
• University Physics Volume 2, §4.2 Heat Engines — OpenStax, Rice University
• The First Law of Thermodynamics, Physical Science: A 2-Semester Course, §3.4.8 — LibreTexts; Machele Kindle, Bridge Valley Community and Technical College
• Introduction to the Second Law of Thermodynamics—Heat Engines and Their Efficiency, §3.4.10 — LibreTexts; Machele Kindle, Bridge Valley Community and Technical College
• Thermodynamics and Propulsion — Unified Engineering course page — MIT OpenCourseWare

Verifiche ancora aperte

• Il programma ufficiale del singolo insegnamento non è stato confrontato punto per punto; la sola lunghezza non prova pertinenza o copertura.
• Mancano due riscontri testuali indipendenti per numerose proposizioni meccaniche e per parte delle derivazioni; la mappa distingue testi letti da indici e programmi.
• I calcoli sono controllati a campione, non tutte le soluzioni sono state verificate indipendentemente.
• Elettromagnetismo e ottica non trattati: non usare questa dispensa come copertura automatica dell’intero corso integrato.