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Analisi matematica I per Ingegneria

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Materiale originale di studio. Revisione docente e prova in classe aperte; non è un syllabus ufficiale né un esame completo e va confrontato con il programma del proprio corso.

0. Uso e prerequisiti

Questa dispensa propone un percorso originale di Analisi matematica I per Ingegneria, con enfasi su definizioni, ipotesi, calcolo affidabile e interpretazione. Non è il programma ufficiale di ogni ateneo: corsi, notazioni, profondità e dimostrazioni richieste variano. L’obiettivo non è memorizzare formule isolate, ma saper decidere quale strumento sia applicabile e giustificarne l’uso.

Prerequisiti. Si assumono algebra elementare, fattorizzazione, equazioni e disequazioni, intervalli, valore assoluto, potenze e radicali; geometria cartesiana; trigonometria con angoli misurati in radianti; esponenziale e logaritmo. Per limiti e derivate servono inoltre manipolazione di frazioni e stime. Un errore algebrico preliminare non è un errore di analisi, ma può rendere falso il risultato finale. Controllare sempre dominio e segni prima dei calcoli.

Indice. 0 Uso e prerequisiti; 1 Insiemi reali e funzioni; 2 Successioni; 3 Limiti; 4 Continuità; 5 Derivate; 6 Applicazioni e studio di funzione; 7 Taylor; 8 Integrale definito; 9 Tecniche e applicazioni d’integrazione; 10 Integrali impropri; 11 Serie numeriche; 12 Problemi misti e metodo.

Ogni risultato è accompagnato da condizioni. In particolare, un limite non implica che la funzione sia definita nel punto; una formula di derivazione richiede che le funzioni coinvolte siano derivabili; il teorema fondamentale dell’integrale richiede continuità o ipotesi più generali esplicitate; Taylor non coincide con la serie infinita se non si dimostra che il resto tende a zero. I richiami tra capitoli servono a tenere insieme i concetti: confronto e stime ricorrono in successioni, limiti, integrali impropri e serie.

Procedura di studio: leggere una definizione, ricostruirla a parole, svolgere un esempio senza guardare, quindi fare esercizi variando i dati. A ogni passaggio chiedersi: qual è il dominio? quale limite è necessario? il denominatore è non nullo? il punto è interno all’intervallo? Per un problema applicato, esplicitare grandezze e unità: il calcolo simbolico non convalida da solo il modello fisico.

Un esempio di linguaggio rigoroso: “f è crescente su [a,b]” significa f(x)≤f(y) ogni volta che a≤x≤y≤b. “Strettamente crescente” sostituisce ≤ con < per x<y. “Limitata” significa che esiste un M finito tale che |f(x)|≤M su tutto il dominio considerato. Precisare l’intervallo evita ambiguità: una funzione può essere crescente su un tratto e decrescente su un altro.

1. Insiemi reali e funzioni

I numeri reali R sono ordinati e completi: ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha un estremo superiore. La completezza è la struttura alla base di risultati di esistenza, come convergenza di successioni monotone e integrabilità di funzioni continue su segmenti. Gli intervalli aperti (a,b), chiusi [a,b], semiaperti e semirette rappresentano insiemi di valori. Il valore assoluto |x| è la distanza da zero e |x−a| la distanza tra x e a; la disuguaglianza triangolare |x+y|≤|x|+|y| è uno strumento centrale nelle stime.

Una funzione f:A→B assegna a ogni x∈A un unico valore f(x)∈B. A è il dominio; l’immagine f(A) è un sottoinsieme del codominio B. Per f(x)=√(x−1)/(x−3) servono x≥1 e x≠3, dunque il dominio è [1,3)∪(3,+∞). Per ln(4−x²) occorre 4−x²>0, quindi −2<x<2. Per 1/√(x+2), il radicando deve essere strettamente positivo perché la radice è al denominatore; il dominio è (−2,+∞).

Funzioni pari e dispari. Se il dominio è simmetrico rispetto a zero, f(−x)=f(x) definisce la parità e f(−x)=−f(x) la disparità. La periodicità di periodo T>0 è f(x+T)=f(x) per ogni x ammesso. Iniettività significa che f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂; una funzione biiettiva ammette inversa. La composizione f∘g è definita nei punti x del dominio di g per cui g(x) appartiene al dominio di f. Una funzione strettamente monotona su un intervallo è iniettiva su quell’intervallo.

Trasformazioni: f(x)+c sposta verticalmente di c; f(x−h) sposta a destra di h; af(x) scala verticalmente e riflette se a<0. Attenzione: f(x+2) sposta a sinistra di due unità. Da y=x² si ricava y=(x−3)²+1 traslando il vertice in (3,1).

Domini delle funzioni elementari: polinomi hanno dominio R; funzioni razionali escludono gli zeri del denominatore; radici pari richiedono radicando non negativo; logaritmi argomento positivo; exp è definita su R. In una composizione si impongono tutte le restrizioni. Per h(x)=ln(√(x−1)), la radice esiste se x≥1, ma l’argomento del logaritmo deve essere positivo: x>1.

Esempio svolto: dominio e zeri di (x−2)/(x²−4). Il denominatore è (x−2)(x+2), perciò x=±2 sono esclusi. Cancellare il fattore x−2 fornisce 1/(x+2) solo nei punti originariamente ammessi. La funzione non ha uno zero: x=2 non appartiene al dominio. La semplificazione non colma il buco.

Le funzioni exp e ln sono inverse: exp(ln x)=x per x>0 e ln(exp x)=x per x reale. Le regole ln(ab)=ln a+ln b e ln(a^r)=r ln a richiedono argomenti positivi nel contesto reale. In generale ln(a+b) non è ln a+ln b. Queste cautele sono importanti nei limiti esponenziali del capitolo 3.

Esercizi svolti. 1) Dominio di √(2x+6)/(x−1): x≥−3 ed x≠1, quindi [−3,1)∪(1,+∞). 2) Dominio di ln((x−1)/(x+2)): il rapporto deve essere positivo; lo studio dei segni dà (−∞,−2)∪(1,+∞). 3) f(x)=x² su [0,+∞) è invertibile e f⁻¹(y)=√y per y≥0; su R non è iniettiva. 4) x³−x è dispari perché f(−x)=−f(x). In problemi di studio, le esclusioni del dominio vanno mantenute anche dopo semplificazioni.

2. Successioni reali

Una successione reale (a_n) è una funzione dagli interi naturali ai reali. Diciamo a_n→L se per ogni ε>0 esiste N tale che n≥N implichi |a_n−L|<ε. Il quantificatore universale conta: da un certo indice in avanti tutti i termini, non soltanto alcuni, devono stare nella fascia di raggio ε attorno a L. N può dipendere da ε.

Esempio: a_n=1/n→0. Dato ε>0 scegliamo N>1/ε; per n≥N vale 0<1/n≤1/N<ε. Per (3n+1)/(n+2), dividendo numeratore e denominatore per n, otteniamo (3+1/n)/(1+2/n)→3. Somme e prodotti di successioni convergenti convergono rispettivamente alla somma e al prodotto dei limiti; il quoziente si applica se il limite del denominatore è non nullo.

Una successione convergente è limitata. Il converso è falso: (−1)^n è limitata e non converge, perché le sottosuccessioni pari e dispari hanno limiti distinti. Monotonia più limitatezza implica convergenza. Per successione crescente limitata, si pone L=sup{a_n}; dalla definizione di estremo superiore, per ogni ε>0 esiste un termine a_N>L−ε, e per n≥N vale L−ε<a_n≤L.

Il teorema del confronto: se 0≤a_n≤b_n da un certo punto e b_n→0, allora a_n→0. Più in generale, se a_n≤c_n≤b_n e i due estremi tendono a L, anche c_n→L. Esempio, n/(n²+1) è tra 0 e 1/n e tende a zero. Un numero finito di termini iniziali non modifica la convergenza.

Esempi. 1) (−1)^n/n→0 perché il valore assoluto è 1/n. 2) √(n²+3n)−n si razionalizza: 3n/(√(n²+3n)+n)=3/(√(1+3/n)+1)→3/2. 3) (−1)^n n/(n+1) diverge, perché le sottosuccessioni pari e dispari tendono a 1 e −1. 4) (5n²−n)/(2n²+7)→5/2 dividendo per n².

Le successioni ricorsive richiedono più cautela: risolvere L=F(L) individua candidati punti fissi, ma non prova che a_n converga. Per a₀=1, a_{n+1}=√(2+a_n), si verifica per induzione 1≤a_n≤2 e a_{n+1}≥a_n; quindi la successione converge e il limite soddisfa L=√(2+L), da cui L=2. Le verifiche di intervallo invariante e monotonia sono parte della dimostrazione.

Limiti noti: q^n→0 se |q|<1; n^p/a^n→0 per a>1 e p fissato; (1+1/n)^n→e. Non applicare una formula fuori dalle ipotesi: q=−1 oscilla e q=1 resta costante. Una successione convergente è di Cauchy; nei reali vale anche il converso grazie alla completezza.

Esercizi svolti. A) (n+2)/(n²+3n) è positiva e minore di 1/n+2/n², dunque tende a zero. B) Per n/2^n, il rapporto tra termini consecutivi è (n+1)/(2n), che per n sufficientemente grande è ≤3/4; la coda è quindi controllata da una geometrica convergente a zero. C) Una successione monotona decrescente e limitata inferiormente converge al suo infimo. D) Se a_n→L, allora |a_n|→|L| per | |a_n|−|L| |≤|a_n−L|.

Non confondere a_n→0 con convergenza della serie ∑a_n. La serie è la successione delle somme parziali, tema del capitolo 11: il termine generale che tende a zero è necessario ma non sufficiente per la convergenza della serie.

3. Limiti di funzioni

Il limite lim_{x→a}f(x)=L significa che per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che 0<|x−a|<δ e x nel dominio implicano |f(x)−L|<ε. Si considera un intorno bucato: f(a) può non essere definita o può differire da L. Limiti sinistri e destri si definiscono restringendo xa; il limite bilatero esiste ed è L se e solo se entrambi esistono e coincidono.

Limiti infiniti descrivono crescita senza bound: f(x)→+∞ per x→a se per ogni M>0 esiste δ tale che 0<|x−a|<δ implica f(x)>M. I limiti per x→±∞ si definiscono imponendo |x| sufficientemente grande o una semiretta. Sono nozioni distinte: un asintoto verticale è legato a limite infinito presso un punto; uno orizzontale a limite finito all’infinito.

Algebra dei limiti: somma, prodotto e quoziente seguono l’algebra se i limiti coinvolti sono finiti e il limite del denominatore non è zero. Le forme 0/0 e ∞/∞ non sono risultati: indicano che occorre trasformare l’espressione. Le altre forme indeterminate includono ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 e ∞^0. Per il confronto, se g≤f≤h vicino al punto e g,h→L, allora f→L.

Esempio: lim_{x→1}(x²−1)/(x−1). Per x≠1, fattorizziamo (x−1)(x+1) e otteniamo limite 2. La funzione originaria è indefinita in 1; il limite esiste comunque. Per lim_{x→0} sin x/x=1, l’angolo va misurato in radianti. Da questo limite, insieme a identità trigonometriche, seguono lim (1−cos x)/x²=1/2 e lim sin(ax)/x=a.

Limiti notevoli esponenziali: lim_{x→0}(e^x−1)/x=1; lim_{x→0}ln(1+x)/x=1; lim_{x→0}(1+x)^{1/x}=e per x>-1. Per lim_{x→0}(1−cos x)/x², si usa 1−cos x=2sin²(x/2), ottenendo 1/2. Le ipotesi sul dominio sono parte del ragionamento.

Esempio svolto: lim_{x→0}(√(1+3x)−1)/x. Razionalizzando, il rapporto diventa 3/(√(1+3x)+1), con limite 3/2. Altro esempio: lim_{x→∞}(2x²−x+1)/(x²+4)=2 dividendo per x². Se numeratore ha grado minore del denominatore, il limite è zero; gradi uguali danno rapporto dei coefficienti principali. Per x→−∞ le potenze dispari cambiano segno, dunque controllare i segni prima di dividere per potenze.

Limiti laterali e segno: lim_{x→2}1/(x−2) non esiste bilateralmente, perché da sinistra tende a −∞ e da destra a +∞. Per 1/(x−2)², entrambi i lati tendono a +∞. Per la funzione razionale (x+1)/(x−3), il numeratore vicino a 3 è positivo e il denominatore cambia segno, dunque il comportamento verticale ha segni opposti.

Metodo generale: (i) determinare il dominio e i punti di accumulazione; (ii) sostituire per riconoscere forma; (iii) se indeterminata, fattorizzare, razionalizzare, mettere a denominatore comune, usare identità o confronti; (iv) verificare limiti laterali quando dominio o segno lo richiedono; (v) non confondere valore e limite. Il teorema di de l’Hôpital è trattato in seguito e si può usare solo nelle forme e condizioni esplicitate.

Esercizi svolti. 1) lim_{x→2}(x²−4)/(x−2)=4 per fattorizzazione. 2) lim_{x→0}x sin(1/x)=0 perché |x sin(1/x)|≤|x|. 3) lim_{x→∞}(3x−5)/(x²+1)=0 per divisione per x². 4) lim_{x→0}ln(1+2x)/x=2 dal limite notevole. 5) lim_{x→0}(|x|/x) non esiste: i laterali sono −1 e 1.

Per il limite di successione si controlla una variabile discreta n; per funzioni si ammettono tutti i punti del dominio arbitrariamente vicini. Il criterio sequenziale, valido in R, dice che il limite di f in a è L se e solo se per ogni successione x_n→a con x_n≠a nel dominio, f(x_n)→L. È utile per confutare un limite: basta trovare due successioni con immagini aventi limiti diversi.

4. Continuità

f è continua in a se è definita in a, il limite lim_{x→a}f(x) esiste ed è uguale a f(a). È continua su un intervallo se lo è in ogni suo punto; agli estremi di un intervallo chiuso si considerano i limiti unilateri. Polinomi sono continui ovunque; razionali dove il denominatore non si annulla; exp, log, trigonometria e radici sono continue nei rispettivi domini. Composizioni di funzioni continue sono continue quando definite.

Una discontinuità eliminabile si ha se il limite finito esiste ma il valore manca o differisce: porre f(a)=L rende continua la funzione. Salto: i limiti laterali finiti esistono ma differiscono. Discontinuità infinita: almeno un limite laterale è infinito. Per (x²−1)/(x−1), a x=1 vi è un buco; assegnando f(1)=2 si ottiene la continuazione. Per |x|/x in zero c’è salto.

Teorema dei valori intermedi: se f è continua su [a,b], assume ogni valore compreso tra f(a) e f(b). Se f(a)f(b)<0 esiste uno zero interno. Non afferma unicità: x²−1 cambia segno su [0,2] e ha uno zero in (0,2), ma il teorema non determina il numero totale di zeri. Unicità può derivare, ad esempio, da monotonia stretta.

Teorema di Weierstrass: una funzione continua su [a,b] limitato e chiuso è limitata e raggiunge massimo e minimo. La compattezza dell’intervallo è essenziale: f(x)=x su (0,1) è limitata ma non raggiunge né 0 né 1; f(x)=1/x su (0,1] non è limitata. Nei problemi di ottimizzazione verifica sempre che il dominio considerato sia chiuso e limitato, oppure usa un argomento alternativo.

Esempio: dimostrare che x³+x−1=0 ha soluzione unica in [0,1]. La funzione è continua, ai bordi assume −1 e 1, quindi esiste uno zero. Inoltre derivata 3x²+1>0, dunque è strettamente crescente e lo zero è unico. In una soluzione rigorosa, esistenza e unicità sono due passaggi distinti.

Esercizi. A) f(x)=sin x/x per x≠0 e f(0)=1 è continua in zero per il limite notevole. B) f(x)=1/(x−1) non è definita in 1 e presenta discontinuità infinita. C) Una funzione continua su [−2,3] ammette massimo e minimo. D) Per verificare uno zero di x−cos x su [0,1], si considera f(0)=−1 e f(1)=1−cos1>0: valori intermedi garantisce almeno una radice.

La continuità permette di trasferire limiti attraverso funzioni: se g(x)→L e φ è continua in L, φ(g(x))→φ(L). Il risultato richiede che g sia definita vicino al punto e che i valori siano nel dominio di φ. Ciò semplifica molti limiti composti e sarà usato nelle regole di derivazione e nelle primitive.

5. Derivate

La derivata di f in a, se esiste finita, è f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)−f(a)]/h. È il coefficiente angolare della tangente e il tasso istantaneo di variazione. La derivabilità implica continuità, ma la continuità non implica derivabilità: |x| è continua in zero ma le derivate laterali sono −1 e 1. Una cuspide, un angolo o una tangente verticale possono impedire la derivata finita.

Regole: (c f)’=c f’; (f+g)’=f’+g’; (fg)’=f’g+fg’; (f/g)’=(f’g−fg’)/g² per g≠0; catena (f∘g)'(x)=f'(g(x))g'(x). Derivate elementari: (x^n)’=nx^{n−1}; (e^x)’=e^x; (ln x)’=1/x per x>0; (sin x)’=cos x; (cos x)’=−sin x. Formule con potenze reali richiedono dominio adeguato.

Esempio svolto: y=(x²+1)e^x. Regola del prodotto: y’=2xe^x+(x²+1)e^x=e^x(x²+2x+1)=e^x(x+1)². Per y=ln(1+x²), catena dà 2x/(1+x²). Per y=√(1+x), derivata 1/(2√(1+x)) per x>−1; in x=−1 la derivata finita non esiste.

Derivate implicite: se y dipende da x e F(x,y)=0, deriviamo entrambi i lati tenendo conto di y′. Da x²+y²=1 segue 2x+2yy′=0, quindi y′=−x/y quando y≠0. I punti con y=0 corrispondono a tangenti verticali, fuori dalla forma locale y′ finita. La derivazione logaritmica è utile per prodotti e potenze: per y=x^x, x>0, ln y=x ln x; y′=x^x(ln x+1).

Il teorema di Fermat: se f ha un estremo locale interno in c ed è derivabile in c, allora f′(c)=0. Il viceversa è falso: f(x)=x³ ha f′(0)=0 ma non estremo. I punti critici sono quelli con derivata zero oppure non esistente; vanno confrontati anche gli estremi del dominio e i punti esclusi pertinenti.

Teorema di Rolle: f continua su [a,b], derivabile su (a,b), f(a)=f(b) implica un c interno con f′(c)=0. Teorema del valor medio: con le stesse ipotesi senza uguaglianza dei valori, esiste c tale che f′(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a). Interpretazione: una velocità istantanea uguaglia la velocità media in qualche istante. Se f′=0 su un intervallo, f è costante; se f′≥0, f è non decrescente, sotto derivabilità.

Esempio applicativo: posizione s(t)=t³−6t²+9t, t≥0. La velocità è v=3t²−12t+9=3(t−1)(t−3); il moto è avanti per t<1 e t>3, indietro tra 1 e 3. L’accelerazione è a=6t−12. Le unità sono coerenti: se s è metri e t secondi, v è m/s e a m/s².

Esercizi svolti. 1) Derivare (3x−1)/(x+2): [3(x+2)−(3x−1)]/(x+2)²=7/(x+2)². 2) Derivare sin(x²): 2x cos(x²). 3) Tangente a y=ln x nel punto x=1: pendenza 1, quindi y=x−1. 4) Se f′=2x e f(0)=3, allora f(x)=x²+3 su intervallo connesso, per teorema del valor medio applicato alla differenza.

Differenziale e approssimazione lineare: per f derivabile in a, f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o(h). Il termine o(h) diviso per h tende a zero. Non significa che l’approssimazione sia esatta per h finito. Per f(x)=√x vicino a 4, √(4+h)≈2+h/4; h=0.1 dà 2.025 contro valore effettivo circa 2.02485. Errori assoluti e relativi vanno interpretati in relazione alla scala del problema.

6. Applicazioni e studio di funzione

Lo studio di funzione combina dominio, simmetrie, intersezioni, limiti, continuità, derivata prima e seconda. Un ordine pratico riduce omissioni: determinare dominio; cercare parità o periodicità; calcolare zeri e intercette; valutare limiti ai bordi del dominio e all’infinito; identificare asintoti; studiare segno e monotonia; esaminare concavità e flessi; sintetizzare un grafico coerente. Il disegno non sostituisce le prove.

Asintoto verticale x=a se almeno un limite laterale è infinito. Asintoto orizzontale y=L se f(x)→L per x→+∞ o −∞; i due lati possono differire. Asintoto obliquo y=mx+q se f(x)−(mx+q)→0, spesso con m=lim f(x)/x e q=lim(f(x)−mx), quando i limiti esistono finiti. Non si presume che ogni funzione razionale abbia asintoto obliquo.

Monotonia: su un intervallo, f′≥0 implica f non decrescente; f′>0 implica strettamente crescente. Analogo per segni negativi. I punti con f′=0 non sono automaticamente estremi: esaminare il cambio di segno. Derivata seconda: f″>0 indica convessità (concavità verso l’alto), f″<0 concavità verso il basso; un flesso richiede cambio di concavità e continuità della funzione nel punto, ma non necessariamente f″=0 se la derivata seconda esiste. Il test f″(c)>0 con f′(c)=0 dà minimo locale stretto; f″(c)<0 massimo.

Studio svolto di f(x)=x³−3x. Dominio R e disparità. Zeri −√3,0,√3. Derivata 3(x²−1), positiva per |x|>1 e negativa per |x|<1: massimo locale in x=−1 con valore 2, minimo locale in x=1 con valore −2. Seconda derivata 6x cambia segno in zero, dunque flesso in (0,0). Ai due infiniti f va rispettivamente a −∞ e +∞. La funzione non ha asintoti.

Studio svolto di f(x)=x/(x−1). Dominio R{1}; riscrivendo 1+1/(x−1), si vede asintoto verticale x=1 e orizzontale y=1. La derivata −1/(x−1)² è negativa su entrambi gli intervalli di dominio; non vi sono estremi. Il segno si determina dai fattori x e x−1: positivo per x<0 e x>1, negativo per 0<x<1. Le due branche sono decrescenti.

Ottimizzazione. Tradurre il testo in una funzione obiettivo e un dominio ammissibile, poi cercare estremi interni e frontiera. Esempio: tra rettangoli di perimetro P fissato, lati x,y soddisfano 2x+2y=P; area A(x)=x(P/2−x), con 0≤x≤P/2. A′=P/2−2x si annulla a x=P/4, massimo perché A″=−2; il rettangolo ottimo è un quadrato. Gli estremi di frontiera hanno area zero. La prova usa anche il dominio chiuso limitato.

Metodo di Newton per zeri: x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f′(x_n), quando f′(x_n)≠0. È una linearizzazione iterata, non una garanzia universale di convergenza. Partenza, regolarità e vicinanza alla radice influenzano il comportamento. Per √2 si applica a f(x)=x²−2: x_{n+1}=(x_n+2/x_n)/2. Con x₀=1, x₁=1.5, x₂≈1.4167, x₃≈1.4142. La rapida convergenza osservata non elimina la necessità di controllare l’errore.

Esercizi. 1) f=x²/(x²+1): f′=2x/(x²+1)², decrescente a sinistra di zero e crescente a destra, minimo globale 0; limiti ±∞ sono 1. 2) f=e^{−x²}: f′=−2xe^{−x²}, massimo globale in zero; tende a zero ai due infiniti. 3) Per una funzione continua su [a,b], gli estremi assoluti si trovano tra estremi del segmento e punti critici interni. 4) Per x+1/x su (0,+∞), derivata 1−1/x²: minimo 2 in x=1, ma la prova globale si completa con segno della derivata o AM-GM.

7. Taylor e approssimazioni

Per evitare ipotesi implicite, in questo paragrafo assumiamo f di classe C^{n+1} in un intervallo aperto contenente il centro a e il punto x: le derivate fino all’ordine n+1 esistono e sono continue. È una condizione sufficiente, non la più debole possibile. Il polinomio è T_n(x)=Σ_{k=0}^n f^{(k)}(a)(x−a)^k/k!. Il resto di Lagrange è R_n(x)=f^{(n+1)}(ξ)(x−a)^{n+1}/(n+1)! per qualche ξ tra a e x. Su un segmento compatto abbastanza piccolo attorno ad a, la derivata n+1 è limitata: quindi R_n(x)=O(|x−a|^{n+1}) e, di conseguenza, R_n(x)=o(|x−a|^n) per x→a. Quest’ultima è la forma asintotica di Peano nelle ipotesi sufficienti qui adottate; non stiamo enunciando le sue ipotesi minime.

Taylor fornisce approssimazioni locali. I primi sviluppi: e^x=1+x+x²/2+…; sin x=x−x³/6+…; cos x=1−x²/2+…; ln(1+x)=x−x²/2+…; (1+x)^α=1+αx+α(α−1)x²/2+… intorno a zero, con dominio e regolarità adeguati. Ogni polinomio è finito; il simbolo infinito richiede prova di convergenza e uguaglianza, non è conseguenza automatica del teorema finito.

Esempio: e^x fino al secondo ordine presso zero dà 1+x+x²/2; per |x|≤r, il resto di Lagrange è al più e^r |x|³/6. Per x=0.1, approssimazione 1.105; il limite superiore dell’errore è circa 0.000184. La stima è garantita ma spesso non ottimale.

Limiti mediante sviluppi: sin x−x è −x³/6+o(x³); quindi (sin x−x)/x³→−1/6. Analogamente e^x−1−x è x²/2+o(x²), dunque il rapporto per x² tende a 1/2. Si deve mantenere un ordine sufficiente: se i termini fino a x² si cancellano, serve il successivo termine non nullo. Non dividere resti senza controllarne l’ordine.

Esempio svolto: lim_{x→0}(cos x−1+x²/2)/x⁴. Sviluppo cos x=1−x²/2+x⁴/24+o(x⁴); il limite è 1/24. Per ln(1+x)−x, il primo termine è −x²/2, quindi il rapporto diviso x² tende a −1/2.

Serie di Taylor: la serie Σ f^{(k)}(a)(x−a)^k/k! coincide con f solo dove la serie converge e il resto tende a zero. Per exp, seno e coseno ciò vale per ogni reale; per ln(1+x) la serie alternata converge per −1<x≤1, con comportamento al bordo da analizzare separatamente, e rappresenta ln(1+x) nell’intervallo di convergenza. Il capitolo 11 fornisce criteri per le serie. Non confondere raggio di convergenza e intervalli di validità della funzione.

Applicazione: per x piccolo, sin x≈x e cos x≈1−x²/2. In un modello, quantificare “piccolo” attraverso il resto e la tolleranza. Se f è due volte derivabile e |f″|≤M nell’intervallo, l’errore della linearizzazione è al più M|h|²/2. La stima deriva dal resto e dipende dall’intervallo effettivamente percorso.

Esercizi svolti. 1) Polinomio di grado 2 di ln x in a=1: ln x=(x−1)−(x−1)²/2+o((x−1)²). 2) Usare e^x: (e^x−1−x)/x²→1/2. 3) Limite (1−cos x)/x²: lo sviluppo dà 1/2, coerente con identità trigonometriche. 4) Per e^x vicino a zero, errore dopo grado uno è al più e^{|x|}x²/2.

8. Integrale definito e teorema fondamentale

L’integrale definito formalizza l’accumulo. Per f limitata su [a,b], le somme di Riemann Σ f(ξ_i)Δx_i approssimano area con segno; se, al raffinarsi delle partizioni, le somme convergono a un valore indipendente dai punti ξ_i, f è integrabile e il valore è ∫_a^b f(x)dx. Le funzioni continue su [a,b] sono integrabili. Se f≥0, l’integrale corrisponde all’area geometrica sotto il grafico; se f cambia segno, le aree sopra e sotto si sottraggono.

Proprietà: linearità; additività degli intervalli; monotonia (f≤g implica integrale f≤integrale g); |∫f|≤∫|f|. Per a>b, convenzione ∫_a^b f=−∫_b^a f. L’integrale ha unità funzione per unità variabile: forza integrata rispetto allo spostamento produce lavoro.

Teorema fondamentale, parte I: se f è continua su [a,b] e F(x)=∫_a^x f(t)dt, allora F è derivabile nell’interno e F′(x)=f(x). Parte II: se F è una primitiva di f su [a,b], allora ∫_a^b f=F(b)−F(a). La continuità è ipotesi sufficiente; versioni più generali richiedono condizioni appropriate. Non confondere variabile muta t con variabile x.

Esempio: ∫0^2(3x²+1)dx=[x³+x]_0^2=10. Verifica geometrica per 3x²+1 positiva. Per ∫^1 x³ dx=0, la funzione dispari e l’intervallo simmetrico danno cancellazione, non area assoluta nulla. In generale, funzione pari su [−a,a] integra 2∫_0^a f; funzione dispari integra zero, se integrabile.

Integrale come accumulazione: se velocità v è continua, spostamento tra t₀ e t₁ è ∫v dt; distanza percorsa è ∫|v|dt. Confondere spostamento e distanza dà errori quando il verso cambia. Se una portata q(t) è in litri/minuto, ∫q(t)dt è volume in litri.

Esempio svolto con funzione definita da integrale: G(x)=∫1^{x²} cos t dt. Per catena e teorema fondamentale, G′(x)=cos(x²)·2x. Il limite superiore dipende da x, perciò compare la derivata x². Per H(x)=∫f(t)dt, con f continua, H′=3f(3x)−f(x).}^{3x

Esercizi svolti. 1) ∫_1^e dx/x=1. 2) ∫_0^π sin x dx=2. 3) d/dx ∫_0^x² e^{t²}dt=2x e^{x⁴}. 4) Se f≤0 su [a,b], allora ∫f≤0. 5) Per ∫_0^1 x dx, somme di Riemann a destra danno Σ(i/n)(1/n)=(n+1)/(2n)→1/2.

Le primitive differiscono per costante su un intervallo connesso. Se f è continua, esiste una primitiva e il teorema fondamentale la collega all’integrale. Per funzioni con discontinuità occorre maggiore attenzione: il teorema in forma elementare non va invocato senza verifica. Tecniche di calcolo e integrali impropri sono nei capitoli 9 e 10.

9. Tecniche e applicazioni d’integrazione

Sostituzione. Se u=g(x), la regola è ∫ f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du, con intervalli e orientamento coerenti. Per integrale definito si trasformano anche gli estremi: ∫a^b f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du. Esempio ∫_0^1 2x cos(x²)dx: u=x², estremi 0 e 1, il risultato è sin1.}^{g(b)

Integrazione per parti, derivata dalla regola del prodotto: ∫u dv=uv−∫v du. Per integrali definiti si valuta [uv]_a^b−∫v du. Esempio ∫x e^x dx=xe^x−e^x+C. La scelta di u dovrebbe semplificare la derivata e rendere integrabile il fattore residuo. Per ∫ln x dx, scegliere u=ln x, dv=dx dà x ln x−x+C per x>0.

Frazioni parziali. Una funzione razionale propria si scompone dopo fattorizzazione del denominatore; per fattori lineari distinti si usano termini A/(x−a), per fattori ripetuti A_k/(x−a)^k; fattori quadratici irriducibili richiedono numeratori lineari. Esempio: 1/[x(x+1)]=1/x−1/(x+1), quindi integrale ln|x|−ln|x+1|+C su intervalli che non attraversano i poli.

Integrali trigonometrici e sostituzioni. Identità come sin²x=(1−cos2x)/2 possono ridurre potenze. Per √(a²−x²), la sostituzione x=a sin θ è possibile su intervalli adatti; bisogna gestire il segno della radice e il dominio. La sostituzione u=tan(x/2) razionalizza seno e coseno, ma richiede attenzione ai punti dove tan(x/2) non è definita e ai segmenti scelti.

Esempio per parti definito: ∫_0^1 x ln(1+x)dx. Si può scegliere u=ln(1+x), dv=x dx; du=dx/(1+x), v=x²/2, quindi il calcolo si riduce a [x² ln(1+x)/2]_0^1−(1/2)∫_0^1 x²/(1+x)dx. Divisione: x²/(1+x)=x−1+1/(1+x). Il risultato è ln2/2−(1/2)(1/2−1+ln2)=1/4.

Aree e volumi. Area tra grafici f≥g su [a,b] è ∫(f−g)dx. Se l’ordine si inverte, si spezza l’intervallo o si integra il valore assoluto. Disco di raggio R(x) ruotato attorno all’asse produce volume π∫R² dx; metodo delle rondelle dà π∫(R²−r²)dx con raggio esterno maggiore. Il metodo dei gusci usa 2π∫raggio·altezza. Specificare asse e geometria evita errori.

Esempio: ruotando y=x, 0≤x≤1, attorno all’asse x, V=π∫_0^1x²dx=π/3. Il metodo integra sezioni perpendicolari all’asse. Il volume non è ∫πx dx: il raggio va elevato al quadrato. Lavoro per forza variabile F(s) su percorso rettilineo è ∫F(s)ds, con segno coerente con lo spostamento.

Integrali numerici. Regola del trapezio approssima archi con segmenti; Simpson combina interpolazione quadratica e richiede un numero pari di sottointervalli equispaziati nella forma composita standard. Stime d’errore dipendono da derivate superiori e regolarità. L’approssimazione numerica va distinta dal valore esatto e dal controllo dell’errore.

Esercizi. 1) ∫x/(x²+1)dx=(1/2)ln(x²+1)+C. 2) ∫_1^e ln x dx=[x ln x−x]_1^e=1. 3) ∫_0^1 1/(1+x)dx=ln2. 4) ∫(2x+1)³dx=(2x+1)^4/8+C. Dopo ogni integrazione derivare il risultato per verifica, ricordando l’intervallo di validità.

10. Integrali impropri

Un integrale improprio presenta un intervallo illimitato o una singolarità non integrabile in senso ordinario. Si definisce tramite limite. Per ∫a^{+∞}f(x)dx si considera lim∫a^R f; converge se il limite è finito. Per singolarità in b, si calcola lim∫_a^t f. Se la singolarità è interna c, si spezza in due integrali e ciascuno deve convergere: non si deve affidarsi a cancellazione simmetrica non autorizzata.

Integrali p: ∫_1^∞ dx/x^p converge se p>1 e diverge se p≤1. Vicino a zero, ∫_0^1 dx/x^p converge se p<1 e diverge se p≥1. Si calcolano con primitive quando p≠1; p=1 dà logaritmo divergente. Questi modelli sono riferimenti per confronto.

Confronto: per funzioni non negative, se 0≤f≤g vicino alla parte impropria e ∫g converge, allora ∫f converge; se f≥g≥0 e ∫g diverge, anche ∫f diverge. Confronto asintotico: se f/g→c con 0<c<∞, hanno lo stesso carattere, sotto positività vicino al punto. Ipotesi di segno non sono decorative.

Esempio: ∫_1^∞ dx/(x²+1) converge, poiché per x≥1 l’integranda è ≤1/x²; valore esatto lim arctan R−π/4=π/4. ∫_1^∞ dx/x diverge perché log R cresce senza bound. ∫_0^1 dx/√x converge e vale 2, malgrado l’integranda diverga al bordo.

Integrale oscillante ∫_1^∞ sin x/x dx non è assolutamente convergente perché ∫|sin x|/x diverge, ma converge condizionatamente per il criterio di Dirichlet (oscillazioni con primitive limitate e fattore 1/x monotono a zero). L’argomento richiede un criterio specifico; un grafico oscillante non dimostra convergenza. Il criterio di Dirichlet può essere formulato per funzioni integrabili: primitive delle oscillazioni uniformemente limitate e moltiplicatore monotono tendente a zero.

Esempio con singolarità: ∫0^1 ln x dx. Si integra tra ε e 1: [x ln x−x]_ε^1=−1−ε ln ε+ε. Poiché ε ln ε→0, il valore è −1. La funzione non è limitata vicino a zero ma l’integrale converge. Per ∫^1 1/x dx, le due parti divergono; il valore principale simmetrico eventualmente definito non coincide con la convergenza impropria ordinaria.

Esercizi svolti. 1) ∫_2^∞ dx/x^{3/2}=2/√2=√2. 2) ∫_0^1 x^{-2/3}dx=3. 3) ∫_1^∞ dx/√x diverge perché p=1/2. 4) ∫_0^1 dx/(1−x) diverge per singolarità logaritmica. 5) ∫_1^∞ dx/(x²+x) converge per confronto con 1/x² e il suo valore è ln2.

Prima di applicare il teorema fondamentale su intervallo improprio, usare troncamenti e passare al limite. Un’antiderivata non rende automaticamente finito l’integrale: il limite agli estremi è decisivo. Gli integrali impropri hanno analogie con serie positive, ma i criteri e le variabili restano distinti.

11. Serie numeriche

Una serie Σa_n è per definizione il limite, se esiste finito, delle somme parziali S_N=Σ_{n=1}^N a_n. Convergenza assoluta significa Σ|a_n| converge; implica convergenza ordinaria. Convergenza condizionata significa convergenza ma non assoluta. Condizione necessaria: se la serie converge allora a_n→0; il viceversa è falso, come mostra la serie armonica Σ1/n.

Serie geometrica Σ_{n=0}∞ ar^n converge se |r|<1 e vale a/(1−r); diverge se |r|≥1, salvo caso banale a=0. Serie p Σ1/n^p converge esattamente per p>1. Questi esempi sono modelli per i test. Attenzione all’indice iniziale e al primo termine.

Confronto per termini non negativi: se 0≤a_n≤b_n e Σb_n converge, allora Σa_n converge; se a_n≥b_n≥0 e Σb_n diverge, anche Σa_n diverge. Confronto al limite se a_n,b_n>0 definitivamente e a_n/b_n→c∈(0,∞): stesso carattere. Esempio Σ1/(n²+1) converge per confronto con 1/n²; Σ1/√n diverge per confronto con p-serie p=1/2.

Criterio del rapporto: se lim |a_{n+1}/a_n|=L<1, convergenza assoluta; se L>1 divergenza; se L=1 è inconcludente. Criterio della radice: limsup n-esima radice di |a_n| minore di 1 dà convergenza assoluta, maggiore di 1 divergenza. Serie n! / n^n si esamina col rapporto; il risultato del rapporto non decide casi limite.

Criterio integrale: se f positiva, continua e decrescente su [1,+∞), la serie Σ f(n) e l’integrale improprio ∫1^∞f(x)dx hanno lo stesso carattere. Per 1/n^p recupera la soglia p=1. L’ipotesi di monotonia è essenziale alla forma standard. Il criterio alternato di Leibniz: se b_n≥0 è non crescente e tende a zero, Σ(−1)^{n}b_n converge; il resto dopo N termini in valore assoluto non supera b. Basta che la monotonia valga da un certo indice in poi, perché modificare finitissimi termini non cambia la convergenza; per la stima del resto si sceglie N entro la coda in cui la monotonia è già valida. La serie alternata armonica converge ma non assolutamente.

Serie telescopiche: Σ(a_n−a_{n+1})=a_1−lim a_{N+1}, se il limite esiste. Esempio Σ_{n=1}∞1/[n(n+1)] poiché il termine è 1/n−1/(n+1), la somma vale 1. Scomposizione in fratti semplici rivela la cancellazione.

Serie di potenze Σc_n(x−a)^n: esiste un raggio R tale che converge assolutamente per |x−a|R; ai bordi si esamina separatamente. Derivazione e integrazione termine a termine sono lecite all’interno del raggio, con cautela sui bordi. Per la serie geometrica 1/(1−x)=Σx^n vale per |x|<1. Integrando da 0 a x, ln(1−x)=−Σx^n/n per −1≤x<1, con il punto x=−1 incluso e x=1 divergente; la dimostrazione ai bordi richiede il criterio alternato o analisi specifica.

Esempi svolti. 1) Σ n/3^n: rapporto tende a 1/3, dunque converge assolutamente. 2) Σ(−1)^{n−1}/√n converge per Leibniz, non assolutamente perché la p-serie p=1/2 diverge. 3) Σ n/(n²+1) diverge per confronto asintotico con 1/n. 4) Σ(2/5)^n da n=0 vale 5/3. 5) Σ1/[n(n+2)]: decomponendo 1/2(1/n−1/(n+2)), le somme parziali lasciano i primi e gli ultimi termini; il limite è 3/4.

Strategia di scelta. Verificare prima se il termine tende a zero. Per termini positivi, confrontare con p-serie o geometrica; per fattoriali e potenze, provare rapporto/radice; per segni alterni, isolare modulo e monotonia; per differenze, cercare telescopaggio. Un test con risultato inconcludente non è prova di divergenza né di convergenza: occorre un altro argomento.

Il resto R_N=Σ_{n>N}a_n misura l’errore della somma parziale. Per serie geometriche si calcola esattamente; per Leibniz è limitato dal primo termine omesso; per una serie positiva confrontata si può maggiorare il resto con la coda nota. Nelle applicazioni numeriche indicare tolleranza richiesta e il N sufficiente a garantirla.

12. Problemi misti e metodo di verifica

Questo capitolo raccoglie controlli che attraversano l’intero programma. Un problema articolato va scomposto in passaggi che dipendono gli uni dagli altri: dominio prima del limite; regolarità prima del teorema; convergenza prima del calcolo della somma o dell’integrale. Scrivere il nome del teorema non basta: verificare le sue ipotesi una per una.

Problema 1. Studiare lim_{x→0}(e^{2x}−1−2x)/x². Taylor di e^u con u=2x dà 1+2x+2x²+o(x²); numeratore è 2x²+o(x²), limite 2. Controllo: coefficiente quadratico e^{2x} è (2x)²/2=2x². L’uso del solo limite (e^u−1)/u non basta perché si sottrae anche il termine lineare.

Problema 2. Determinare natura di Σ n/(n³+1). Termini positivi; per n≥1, n/(n³+1)≤1/n², quindi converge per confronto. Non è necessario calcolare la somma. Il termine tende a zero ma questo da solo non decide; il confronto fornisce la prova.

Problema 3. Calcolare ∫_0^1 x/(1+x²)dx. Sostituzione u=1+x², du=2x dx, estremi 1 e 2: integrale = (1/2)ln2. Controllo differenziando la primitiva e verificando positività del valore.

Problema 4. Studiare x²e^{−x}, x≥0. Derivata e^{−x}(2x−x²)=xe^{−x}(2−x); cresce fino a 2 e decresce poi. Massimo assoluto e²·e^{-2}=4/e. Ai bordi f(0)=0 e limite all’infinito zero. Seconda derivata e^{−x}(x²−4x+2); i flessi corrispondono a 2±√2, entrambi nel dominio. L’analisi degli estremi considera anche il bordo.

Problema 5. Verificare convergenza di ∫_1^∞1/(x²+x)dx. Scomposizione 1/x−1/(x+1), integrale da 1 a R = ln R−ln(R+1)+ln2, limite ln2. Le primitive contengono logaritmi divergenti separatamente se si trattano i due integrali distinti: occorre mantenere il troncamento comune o usare confronto; la differenza tende a un valore finito. Ciò non autorizza cancellazioni in integrali impropri con divergenze indipendenti: qui l’integranda combinata è positiva e il limite è definito direttamente.

Controlli dimensionali. Se una lunghezza L dipende dal tempo t, derivata ha dimensione L/T; integrale rispetto al tempo dimensione funzione×T. Un’equazione che somma quantità di unità incompatibili segnala errore di modellazione o di formula. I numeri puri e le costanti dimensionali vanno distinti.

Controlli di segno e plausibilità. Un integrale di funzione positiva non può essere negativo. Un minimo assoluto deve essere non maggiore dei valori di prova. Se f′>0, la tabella di variazione deve mostrare crescita. Una probabilità ottenuta integrando una densità non negativa non può essere negativa. Un’approssimazione di Taylor senza stima del resto non offre automaticamente una precisione garantita.

Riepilogo delle dipendenze. Successioni introducono precisione ε-N; limiti di funzione estendono il comportamento locale; continuità connette limite e valore; derivata è limite di rapporti incrementali; monotonia e teoremi del valor medio sostengono lo studio; Taylor quantifica approssimazioni; integrale è limite di somme; il teorema fondamentale collega accumulo e derivazione; integrali impropri e serie richiedono test di convergenza. Confronti, stime e ipotesi sono il filo comune.

Checklist per una soluzione consegnabile: dichiarare dominio e intervalli; citare ipotesi rilevanti; mostrare il passaggio che gestisce la forma indeterminata; distinguere condizione necessaria da sufficiente; concludere in linguaggio preciso. Per i grafici, riportare asintoti, monotonia, estremi e concavità coerenti. Per serie e integrali impropri, nominare il criterio e verificare segni o monotonia richiesti. Per Taylor, dichiarare centro, ordine e forma del resto. Per integrazione, controllare il risultato derivando la primitiva.

Dominio e classificazione: laboratorio

Una buona soluzione inizia dalla funzione effettivamente assegnata, non da una forma semplificata. Consideriamo f(x)=√((x−2)/(x+1)). Il quoziente deve essere non negativo e x≠−1. Dallo schema dei segni con punti −1 e 2 otteniamo (−∞,−1)∪[2,+∞). Al punto x=2 la radice è zero ed è ammessa; a −1 il denominatore si annulla. Se invece la radice fosse al denominatore, il quoziente dovrebbe essere strettamente positivo: il punto 2 sarebbe escluso. La posizione della radice cambia il dominio.

Per f(x)=ln(1−e^x), serve 1−e^x>0. Poiché exp è strettamente crescente, e^x<1 equivale a x<0. La composizione è continua sul dominio, ma tende a −∞ per x→0−. Il comportamento al bordo non contraddice la continuità nei punti interni.

Per f(x)=arcsin(2x−1), si richiede −1≤2x−1≤1, perciò 0≤x≤1. Le funzioni inverse trigonometriche hanno restrizioni di immagine scelte in modo da essere funzioni. L’arcoseno assume valori in [−π/2,π/2]. La derivata interna dell’arcoseno coinvolge 1/√(1−u²) e non è finita ai bordi u=±1.

Esercizio: determinare il dominio di ln(x²−4)/(x−3). Il logaritmo impone x²−4>0, cioè x<−2 o x>2; il denominatore esclude 3. Risulta (−∞,−2)∪(2,3)∪(3,+∞). Il segno del logaritmo non è vincolo per il dominio: solo il suo argomento deve essere positivo.

Stime e limiti: tecniche di trasformazione

La tecnica del confronto dipende dall’essere capaci di costruire una stima semplice. Per x vicino a zero, |sin x|≤|x|; quindi |sin x|^p≤|x|^p per p>0. Se si studia x² sin(1/x), il fattore oscillante non ha limite, ma il prodotto tende a zero perché il modulo è ≤x². Non serve determinare il comportamento di sin(1/x).

Razionalizzazione: lim_{x→a}(√(x+c)−√(a+c))/(x−a) si trasforma moltiplicando per la somma delle radici e diventa 1/(√(x+c)+√(a+c)), se i radicandi sono ammessi; il limite è 1/(2√(a+c)) quando a+c>0. È un caso di derivata della radice, ma la trasformazione evita di invocare una formula non ancora dimostrata.

Per forme ∞−∞, mettere a denominatore comune o raccogliere il termine dominante: √(x²+x)−x per x→+∞ diventa x(√(1+1/x)−1), poi razionalizzando tende a 1/2. Per x→−∞ invece √(x²+x)=|x|√(1+1/x)=−x√(1+1/x), perciò la differenza con x cresce come −2x. Il valore assoluto cambia il risultato: assumere √(x²)=x è errato quando x<0.

Per forme esponenziali, si può prendere il logaritmo quando l’espressione è positiva. Se f(x)=u(x)^{v(x)}>0, ln f=v ln u. Il limite di f si ricostruisce esponenziando il limite del logaritmo quando quest’ultimo è finito; se tende a ±∞, f tende a ∞ o zero. Per (1+x)^{1/x}, x→0, il logaritmo tende a 1 e quindi il limite è e.

Continuità e localizzazione degli zeri

Il teorema dei valori intermedi è anche un algoritmo teorico di localizzazione. Se f continua e f(a)f(b)<0, la bisezione divide l’intervallo a metà e conserva un sottointervallo con cambio di segno. Dopo n passi la lunghezza è (b−a)/2^n; se si sceglie il punto medio come approssimazione, errore ≤(b−a)/2^{n+1}. Il metodo converge indipendentemente dalla derivata, ma richiede continuità e un cambio di segno. Radici di molteplicità pari possono non produrre cambio di segno.

Esempio: trovare un intervallo di ampiezza inferiore a 0.01 per una radice di cos x−x su [0,1]. La funzione è continua e cambia segno agli estremi. Servono n con 1/2^n<0.01; n=7 dà lunghezza 1/128<0.01. Le valutazioni ai punti medi determinano il sottointervallo specifico; il numero di iterazioni garantisce la precisione senza bisogno del valore esatto.

La bisezione non prova da sola unicità; se f′ mantiene segno, allora f è strettamente monotona e la radice è unica. Questa combinazione dà esistenza, unicità e approssimazione certificata. Newton può convergere più rapidamente ma è meno robusto globalmente; una strategia ingegneristica può mantenere un intervallo di bisezione e usare Newton solo quando la proposta rimane nell’intervallo.

Derivate: interpretazione locale e globale

La derivata rappresenta la pendenza del grafico nel punto e il tasso istantaneo per unità indipendente. Per una legge y=f(t), un errore Δt piccolo produce variazione f′(t)Δt al primo ordine. La propagazione dell’errore è approssimata, non esatta; se f′ è grande, piccole incertezze di ingresso possono amplificarsi. In prossimità di f′=0 la linearizzazione può essere poco informativa al secondo ordine, e serve Taylor.

La derivata unilaterale al bordo si può definire usando incrementi ammessi. Per f(x)=√x su [0,+∞), il rapporto incrementale in zero è √h/h=1/√h→+∞: non c’è derivata destra finita, benché f sia continua. In altri testi si parla di derivata infinita; per il calcolo differenziale standard la derivata reale finita non esiste.

La derivabilità non implica che la derivata sia continua. Esistono funzioni derivabili con derivata discontinua; nelle applicazioni elementari spesso le funzioni sono più regolari, ma le ipotesi dei teoremi vanno comunque lette. Se f′ è continua, si dice f di classe C¹; se possiede derivate continue fino all’ordine k, C^k. Questa gerarchia è centrale per Taylor e metodi numerici.

Esercizio: f(x)=x² sin(1/x²) per x≠0, f(0)=0. La continuità in zero segue dal modulo ≤x². Il rapporto incrementale è h sin(1/h²), che tende a zero: f′(0)=0. Per x≠0 si calcola la derivata con prodotto e catena; il termine −2 cos(1/x²)/x oscilla senza limite vicino a zero. Quindi la funzione è derivabile in zero, ma la derivata non è continua lì. L’esempio separa derivabilità e continuità della derivata.

Studio di funzione: casi con dominio spezzato

Per funzioni con dominio disconnesso, ogni studio di monotonia è condotto sulle singole componenti. f(x)=ln x/x ha dominio (0,+∞); f′=(1−ln x)/x², positiva fino a e e negativa dopo. Il massimo è 1/e. Ai bordi, f→−∞ per x→0+? In realtà ln x/x tende a −∞: ponendo t=1/x, la quantità è −t ln t, che diverge a −∞. Per x→∞, ln x/x→0. L’analisi dei due bordi chiarisce che il massimo è globale.

f(x)=1/(x²−1) ha dominio in tre componenti, ma i punti esclusi sono ±1. La derivata −2x/(x²−1)² è positiva per x<0 e negativa per x>0; il punto critico x=0 è massimo locale sulla componente (−1,1), con valore −1. Sulle componenti esterne la funzione tende a zero all’infinito e diverge vicino ai poli. Non esiste massimo globale perché vicino a ±1 dall’esterno cresce senza limite.

Un grafico qualitativo va costruito con dati indipendenti: dominio e segno; limiti ai bordi; monotonia; curvatura. Un’informazione non sostituisce l’altra. Due funzioni possono avere stessi zeri e monotonia ma asintoti diversi. Le tabelle di segno devono rispettare punti esclusi e punti critici, senza unire intervalli attraverso singolarità.

Taylor: ordine, resto e affidabilità

Quando un limite presenta cancellazioni, l’ordine dello sviluppo deve superare il grado dei termini cancellati. Se si vuole valutare (e^x−cos x−x)/x², sviluppare e^x=1+x+x²/2+o(x²), cos x=1−x²/2+o(x²); sottraendo 1 e x, il numeratore è x²+o(x²), limite 1. Se ci si fermasse al primo ordine, non si potrebbe decidere.

Il resto di Lagrange richiede che la derivata di ordine n+1 esista e sia continua (o soddisfi le condizioni del teorema) sul segmento fra centro e punto. Per exp, la derivata è exp; su |x|≤r il modulo della derivata è ≤e^r. Questa maggiorazione fornisce un bound esplicito. Per una funzione con derivata di ordine superiore non limitata nell’intervallo, non si può usare lo stesso bound senza ulteriore analisi.

La serie di Taylor può avere raggio finito anche quando la funzione è definita su un insieme più ampio. Per 1/(1+x), la serie centrata in zero è Σ(−x)^n e converge per |x|<1, benché la funzione sia definita per x≠−1. Il raggio è determinato dalla convergenza della serie, non dall’intero dominio reale della funzione. Fuori dal disco di convergenza l’identità non è ottenibile da quella serie.

La stima asintotica o(x^n) è qualitativa: esprime che il rapporto per |x|^n tende a zero, ma non dà una costante uniforme immediata. Una stima con resto di Lagrange è quantitativa se si dispone di bound sulle derivate. In un calcolo numerico con tolleranza prefissata, cercare il bound, non soltanto l’ordine simbolico.

Integrale: somme, segno e modelli

L’integrale definito non è sempre area geometrica positiva. Per un moto che cambia verso, ∫v è spostamento netto, mentre ∫|v| è distanza. Per il grafico y=x su [−1,1], integrale netto zero, ma area geometrica totale è 1. La distinzione è rilevante per bilanci di massa o carica: flussi con segno possono annullarsi pur in presenza di passaggio di materia.

Le somme di Riemann rendono esplicita l’approssimazione: si divide l’intervallo in celle, si prende un valore rappresentativo e lo si moltiplica per la larghezza. Per f continua, le differenze fra somme superiori e inferiori tendono a zero quando il passo massimo tende a zero. Con funzione crescente e partizione uniforme, somme sinistre sottostimano e somme destre sovrastimano. Questa proprietà offre un controllo numerico grezzo.

Valore medio integrale: per f continua su [a,b], esiste c nell’intervallo con ∫_a^b f=f(c)(b−a). Il valore medio è quindi un valore effettivamente assunto. Non va confuso con la media aritmetica dei campioni senza ipotesi. Esempio, media di x² su [0,2] è (1/2)∫_0^2x²dx=4/3, valore assunto in c=√(4/3), che appartiene all’intervallo.

Per volumi, il metodo dei gusci e quello dei dischi sono scelte geometriche. Una rotazione attorno all’asse y può rendere più semplice usare gusci verticali; l’asse x favorisce spesso dischi orizzontali, ma non è una regola assoluta. Un disegno della sezione trasversale e l’identificazione di raggio e altezza sono la difesa migliore contro formule applicate a memoria.

Tecniche d’integrazione: decisioni e limiti

Non ogni integrale elementare possiede una primitiva esprimibile con funzioni elementari. Per esempio, ∫e^{−x²}dx non ha primitiva elementare; ciò non impedisce di definire l’integrale definito o valutarlo numericamente. Non trasformare un integrale non riconosciuto in un errore: si può lasciare in forma integrale, usare una funzione speciale o una quadratura.

Scelta pratica: riconoscere prima una derivata composta; se compare razionale, fattorizzare e considerare frazioni parziali; se vi è prodotto di polinomio e exp/trig/log, provare per parti; per radici quadratiche, completare il quadrato e considerare sostituzioni trigonometriche. Talvolta serve combinare metodi. Ogni scelta è una proposta, non una regola universale. Dopo la sostituzione, controllare estremi e segni; dopo per parti, verificare che il nuovo integrale sia più semplice.

Integrali impropri: confronto e assolutezza

Per integrali con oscillazione, convergenza assoluta è una proprietà più forte: se ∫|f| converge, allora ∫f converge, perché i troncamenti soddisfano il criterio di Cauchy controllato dalla coda assoluta. Il viceversa non vale, come mostra ∫ sin x/x. La distinzione influenza la stabilità rispetto a perturbazioni: integrali assolutamente convergenti sono meno sensibili a cancellazioni.

Confronto asintotico vicino a zero: se f(x) è equivalente a c x^{−p}, c>0, allora ∫_0^1 f ha lo stesso carattere di ∫_0^1x^{−p}; quindi converge per p<1. All’infinito, se f(x) è equivalente a c x^{−p}, la soglia è p>1. L’equivalenza f/g→1 è più forte del necessario, mentre rapporto che tende a costante strettamente positiva basta. Il segno deve essere definitivamente positivo.

Esempio: ∫2^∞ dx/[x(ln x)^p]. Sostituendo u=ln x si ottiene ∫du; converge per p>1 e diverge altrimenti. Questo modello mostra che potenze di logaritmi possono cambiare il carattere quando il fattore principale è al bordo p=1. Il criterio p per x da solo non decide in quel caso.}^∞u^{−p

Se ci sono due estremi problematici, separare l’integrale in un punto regolare. Per ∫_0^∞ e^{−x}x^{−1/2}dx, studiare vicino a zero con confronto a x^{−1/2}; all’infinito, l’esponenziale domina ogni potenza. Entrambi i tratti convergono. La separazione esplicita evita che una parte divergente sia mascherata dall’altra.

Serie: stime di coda e casi limite

Il criterio del rapporto inconcludente a limite uno è frequente. Per Σ1/n diverge e per Σ1/n² converge, ma in entrambi i casi il rapporto dei termini tende a uno. È sbagliato interpretare il risultato L=1 come convergenza “al limite”: significa semplicemente che il test non decide.

La condensazione di Cauchy: se a_n è positiva e decrescente, Σa_n converge se e solo se Σ2^k a_{2^k} converge. Per a_n=1/n^p si ottiene una geometrica di rapporto 2^{1−p}, ritrovando p>1. Per a_n=1/(n ln n) (n≥2), i termini condensati sono circa 1/k e la serie diverge. Il criterio richiede decrescenza, da controllare.

Coda alternata: per Σ(−1)^{n−1}b_n con b_n decrescente a zero, una somma parziale con N termini ha errore ≤b_{N+1}. Per garantire errore inferiore a 10^{−4} basta scegliere il primo termine omesso inferiore alla tolleranza. Questo bound può essere molto più efficiente che stimare la coda con valori assoluti, che diverge nell’esempio armonico alternato.

Riordinamenti: per serie assolutamente convergenti, ogni riordinamento conserva la somma; per serie condizionatamente convergenti, esistono riordinamenti che cambiano la somma o rendono la serie divergente. Per questo la manipolazione degli addendi di una serie non assoluta richiede cautela. La dimostrazione del fenomeno è oltre il percorso introduttivo, ma la conclusione è importante per non trasferire automaticamente le proprietà delle somme finite alle somme infinite.

Per serie di potenze, il rapporto tra termini può dare R=lim |c_n/c_{n+1}| quando il limite esiste, con i casi degeneri gestiti separatamente. Alternativamente R^{-1}=limsup |c_n|^{1/n}. Per x al bordo, occorre testare la serie numerica risultante: ad esempio Σx^n/n converge a x=−1 per alternanza e diverge a x=1 come armonica.

Esercizi integrati con soluzioni ragionate

  1. Sia f(x)=x²−4x+3. Fattorizzando si trovano zeri 1 e 3; f′=2x−4, quindi decresce fino a 2 e cresce dopo, con minimo −1. Il completamento del quadrato (x−2)²−1 conferma il risultato. La derivata seconda 2 è positiva ovunque.

  2. Calcolare lim_{x→0}[ln(1+x)−sin x]/x². Gli sviluppi al secondo ordine sono ln(1+x)=x−x²/2+o(x²), sin x=x+o(x²) perché il termine quadratico è nullo. Differenza −x²/2+o(x²); limite −1/2. Verificare che la cancellazione dei termini lineari rende necessario il secondo ordine.

  3. Stabilire convergenza di Σ1/(n(n+1)). La decomposizione telescopica 1/n−1/(n+1) dà somme parziali 1−1/(N+1), che tendono a 1. La serie è positiva e assolutamente convergente.

  4. Calcolare ∫_0^1 (1−x)e^x dx. Una primitiva è (2−x)e^x, poiché la derivata è (1−x)e^x. Il valore è e−2. L’integranda è non negativa sull’intervallo, ma e−2 è positivo.

  5. Determinare esistenza e unicità dello zero di x³+x+1 in [−1,0]. Ai bordi i valori sono −1 e 1, quindi esistenza per valori intermedi. La derivata 3x²+1 è positiva, quindi stretta crescita e unicità.

  6. Serie Σ (−1)^n n/(n²+1). I moduli n/(n²+1) tendono a zero e sono decrescenti da un certo punto, quindi la serie alternata converge. La serie assoluta è confrontabile asintoticamente con 1/n e diverge: convergenza condizionata. La monotonia si può verificare trattando g(x)=x/(x²+1), con g′=(1−x²)/(x²+1)²<0 per x>1.

  7. ∫_0^1 x ln x dx è improprio. Per parti su [ε,1], primitiva x² ln x/2−x²/4; al limite ε→0, ε² ln ε→0, risultato −1/4. Il segno è coerente con ln x≤0.

  8. Stima di e^{0.2} usando grado 2. Il polinomio vale 1+0.2+0.02=1.22. Per resto Lagrange, su [0,0.2], |R₂|≤e^{0.2}(0.2)^3/6, circa 0.00163. Questa stima garantisce accuratezza dell’approssimazione ma non afferma il segno dell’errore senza ulteriore informazione.

  9. Sia a_n=√(n²+2n)−n. Razionalizzazione dà 2n/(√(n²+2n)+n)=2/(√(1+2/n)+1)→1. Si evita la sottrazione di quantità grandi, che numericamente può causare perdita di cifre significative.

  10. Per f(x)=1/(1+x²), calcolare ∫_0^∞f. Troncando a R si ottiene arctan R; limite π/2. L’integrale converge per confronto a 1/x² all’infinito e l’integranda è regolare all’origine.

Errori ricorrenti e diagnostica

Errore: cancellare fattori e dimenticare il dominio originario. Correzione: annotare prima gli zeri del denominatore e conservarli anche dopo semplificazione. Errore: sostituire direttamente in una forma 0/0 e concludere che il limite è zero. Correzione: la forma è indeterminata; trasformare o usare un teorema ammesso. Errore: derivare un prodotto moltiplicando le derivate. Correzione: scrivere esplicitamente f′g+fg′.

Errore: dedurre convergenza della serie da a_n→0. Correzione: è condizione necessaria, non sufficiente; confrontare con armonica o geometriche. Errore: usare il criterio del rapporto quando il limite è uno e dichiarare convergenza. Correzione: test inconcludente. Errore: integrare impropriamente una funzione e cancellare due divergenze separate. Correzione: definizione tramite limiti indipendenti, singolarità interna spezzata in due lati.

Errore: chiamare minimo un punto con f′=0 senza classificazione. Correzione: analizzare il segno della derivata o usare un test con ipotesi. Errore: invocare Taylor come uguaglianza infinita. Correzione: il teorema fornisce polinomio finito più resto; per serie serve dimostrare che il resto tende a zero. Errore: usare il teorema di Weierstrass su intervallo aperto. Correzione: continuità su compatto chiuso e limitato è condizione centrale.

Errore: dimenticare che in trigonometria i limiti notevoli assumono radianti. Errore: confondere area geometrica con integrale con segno. Errore: scrivere ∫f senza differenziale o senza estremi in un integrale definito. Errore: scegliere sostituzione senza trasformare i limiti. Questi controlli di notazione fanno parte della matematica, non sono dettagli estetici.

Glossario essenziale

Accumulo: quantità ottenuta integrando una densità o un tasso. Asintoto: retta la cui distanza verticale dal grafico tende a zero in un limite pertinente. Cauchy: successione i cui termini diventano arbitrariamente vicini tra loro in coda. Continuità: limite nel punto uguale al valore. Derivabilità: esistenza finita del limite del rapporto incrementale. Dominio: insieme degli argomenti ammessi. Estremo superiore: minimo dei maggioranti di un insieme. Forma indeterminata: sostituzione dei limiti non determina da sola il limite dell’espressione.

Integrabilità: esistenza del limite delle somme di Riemann nella formulazione elementare. Integrale improprio: limite di integrali su intervalli troncati o lontano da singolarità. Limite: valore approssimato dalla funzione o successione secondo quantificatori di precisione e vicinanza. Monotonia: ordine conservato o invertito dalla funzione. O-piccolo: r(x)=o(g(x)) quando r/g→0. Primitiva: funzione derivabile con derivata assegnata. Serie: limite delle somme parziali. Taylor: polinomio locale determinato dalle derivate in un centro.

Convergenza assoluta: convergenza della serie dei moduli; implica convergenza. Convergenza condizionata: convergenza senza assoluta. Punto critico: punto interno al dominio dove derivata zero o non esiste, secondo la convenzione usata. Valore medio: un valore assunto dalla funzione che uguaglia la media integrale sotto continuità. Zeri: soluzioni dell’equazione f(x)=0 appartenenti al dominio.

Appendice didattica 1: allenamento cumulativo — scelta del metodo e controesempi

Questa serie è dedicata a scegliere uno strumento e a distinguere ipotesi necessarie da conclusioni. Gli esercizi non ripetono i calcoli modello già svolti nei capitoli: ciascuno mira a una decisione diversa.

  1. Ricorsione e punto fisso. Sia a₀=0, aₙ₊₁=√(2+aₙ). Dimostrare per induzione 0≤aₙ≤2 e monotonia crescente: se 0≤aₙ≤2, allora aₙ₊₁≤2; inoltre √(2+aₙ)≥aₙ equivale a 2+aₙ≥aₙ², vera su [0,2]. Converge per monotonia e limitatezza. Il limite non negativo soddisfa L²=L+2, quindi L=2. Il controllo dell’intervallo è ciò che rende le trasformazioni lecite.

  2. Uniformità del criterio sequenziale. Per confutare l’esistenza di lim_{(x,y)→(0,0)} xy/(x²+y²), confrontare y=x e y=−x: i valori costanti sono rispettivamente 1/2 e −1/2. Non c’è limite. Il test usa due cammini; non è corretto dedurre l’esistenza di un limite bidimensionale da un numero finito di cammini concordi.

  3. Continuità senza derivabilità e viceversa della cautela. f(x)=|x| è continua in 0 ma le derivate laterali differiscono. Per f(x)=x² sin(1/x²) (f(0)=0), il rapporto incrementale in 0 è x sin(1/x²)→0, ma per x≠0 f′(x)=2x sin(1/x²)−2cos(1/x²)/x: la derivata non è continua in 0. Quindi derivabilità non implica continuità della derivata.

  4. Metodo di Newton e bisezione. Per f(x)=x³−2x+2, Newton può dipendere fortemente dal dato iniziale e non va presentato come prova di convergenza; per certificare uno zero usare prima un intervallo [a,b] con cambio di segno e continuità, poi bisezione. Dopo n dimezzamenti la lunghezza è (b−a)/2ⁿ. Una stima dell’errore va riferita alla lunghezza dell’intervallo, non alle cifre mostrate dalla calcolatrice.

  5. Errore di quadratura per Simpson. La regola composta standard richiede un numero pari di sottointervalli e funzione sufficientemente regolare; la precisione osservata su un esempio non è una stima d’errore. Se f⁽⁴⁾ è limitata da M, l’errore ha bound proporzionale a M(b−a)h⁴; senza ipotesi sulla quarta derivata non si può rivendicare quel bound.

Appendice didattica 2: allenamento cumulativo — integrali e decisioni di convergenza

Questa appendice allena la distinzione tra calcolo formale e definizione tramite limiti, non replica i precedenti esercizi di integrali p.

  1. Singolarità interna e mancata cancellazione. ∫{−1}^1 dx/x non converge impropriamente: si separa in ∫^0 e ∫_0^1, e ciascun limite unilatero diverge. Il valore principale simmetrico può essere zero, ma è una nozione diversa e non autorizza la convergenza ordinaria.

  2. Confronto a un punto singolare. Per ∫_0^1 (1−cos x)/x^{3/2} dx, usare 0≤1−cos x≤x²/2: l’integranda è ≤(1/2)x^{1/2} vicino a zero, quindi converge. Il controllo è locale; sull’intervallo lontano da zero la funzione è continua.

  3. Assoluta contro condizionata. ∫_1^∞ sin x/x dx converge per Dirichlet: le primitive di sin sono limitate e 1/x decresce a zero. Non converge assolutamente perché sugli intervalli [kπ+π/6,kπ+5π/6], |sin x| è uniformemente positivo e la somma dei contributi è confrontabile con l’armonica. Dichiarare solo “oscilla” non costituisce prova.

  4. Valore medio integrale. Per f(x)=x² su [−1,2], valore medio integrale = (1/3)∫_{−1}^2x²dx=1. La continuità garantisce almeno un c con f(c)=1; in questo caso c=±1 e entrambi appartengono all’intervallo. Il teorema garantisce esistenza, non unicità.

  5. Modello ingegneristico con unità. Se la portata q(t)=3t² litri/minuto per 0≤t≤2 minuti, il volume accumulato è ∫₀²q(t)dt=8 litri. Se si cambia t in secondi senza convertire l’unità della portata, il numero cambia di fattore 60: la dimensionalità è parte del modello, non un controllo ornamentale.

  6. Scelta della primitiva. ∫₀¹ x/(1+x²) dx si calcola con u=1+x² e vale (1/2)ln2. La derivata dell’antiderivata restituisce l’integranda; la positività dell’integranda controlla il segno. La sostituzione sugli integrali definiti trasforma anche gli estremi.

Appendice didattica 3: allenamento cumulativo — serie, stime e bordi

Gli esercizi seguenti riguardano test inconcludenti, code e bordi di serie di potenze; non ripropongono la classificazione della serie alternata armonica già svolta.

  1. Rapporto inconcludente in entrambi i sensi. Per Σ1/n e Σ1/n² il rapporto |aₙ₊₁/aₙ| tende a 1; eppure la prima diverge e la seconda converge. Il valore 1 non decide: usare rispettivamente confronto/serie armonica e p-serie.

  2. Criterio integrale, ipotesi esplicite. f(x)=1/[x(ln x)^p], x≥2, è positiva e decrescente per p>0. Sostituendo u=ln x, l’integrale improprio diventa ∫{ln2}^∞u^{−p}du: converge se e solo se p>1. Il criterio integrale trasferisce il carattere alla serie Σ1/[n(ln n)^p] perché f è continua, positiva e decrescente.

  3. Serie di potenze, estremi distinti. Σ xⁿ/n² ha raggio 1 per rapporto o radice. A x=1 converge per la p-serie p=2; a x=−1 converge assolutamente perché i moduli sono 1/n². Gli endpoint si testano separatamente e non sono determinati dal solo raggio.

  4. Controllo del resto geometrico. Per Σ_{n=0}∞(−1/3)ⁿ, S=3/4 e il resto dopo N termini è (−1/3)^{N+1}/(1+1/3), dunque modulo (3/4)·3^{−(N+1)}. Questo valore esatto è più informativo del solo limite aₙ→0.

  5. Coda da confronto. Per Σ_{n=1}∞1/n², l’errore dopo N termini è ≤∫_N^∞ dx/x²=1/N, usando decrescenza e confronto integrale. Per garantire errore ≤10⁻³ basta N≥1000; è una garanzia, non una previsione dell’errore effettivo.

  6. Selezione di un test per fattoriali. In Σ n!/3ⁿ, il rapporto dei moduli è (n+1)/3: da un certo indice supera 1 e i termini non tendono a zero; perciò la serie diverge. Il test necessario sul termine, prima di applicare rapporti in modo meccanico, risolve già il problema.

Fonti e questioni aperte

Dispensa originale: i riferimenti seguenti sono usati per riscontro indipendente dell’ambito e dei risultati standard; non sono stati copiati testi. La mappatura indica supporto tematico, non verifica puntuale di ogni frase o prova.

  • MIT OpenCourseWare, 18.01SC Single Variable Calculus, Syllabus: https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/pages/syllabus/ — prerequisiti, limiti/continuità, differenziazione, integrali, impropri, serie e Taylor.
  • MIT OpenCourseWare, 18.01 Single Variable Calculus, Lecture Notes: https://ocw.mit.edu/courses/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/pages/lecture-notes/ — lezioni 1–7 funzioni/limiti/derivate; 9–16 applicazioni e valor medio; 18–25 integrali; 34–37 L’Hôpital, impropri, serie e Taylor.
  • OpenStax, Calculus Volume 1, OpenStax: https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 — volume comprende funzioni, limiti, derivate e integrazione; indice e descrizione del volume consultati.

Questioni aperte: il riscontro OpenStax consultato è la pagina panoramica del volume, non le singole sezioni dell’intero libro; perciò la corrispondenza specifica di serie numeriche, successioni e talune formulazioni non è verificata indipendentemente su OpenStax. MIT syllabus e note danno riscontro tematico ampio per derivate, integrali, impropri, serie e Taylor; non è stata verificata ogni derivazione, esempio o dettaglio tecnico contro le note complete. Le appendici di esercizi sono originali e non sottoposte a revisione umana indipendente. Si raccomanda revisione disciplinare prima di uso valutativo.