Scarica il PDF completo — testo, attività ed eventuali soluzioni presenti nel materiale originale
Materiale originale di studio. Revisione docente e prova in classe aperte; non è un syllabus ufficiale né un esame completo e va confrontato con il programma del proprio corso.
Dispensa originale per un primo corso universitario. Si assume familiarità con algebra elementare e geometria analitica; i risultati sono enunciati con le ipotesi rilevanti e accompagnati da calcoli verificabili. Nei capitoli gli esercizi svolti sono integrati nella trattazione.
Capitolo 1 — Sistemi lineari e geometria delle equazioni
Un sistema lineare su R è una famiglia di equazioni aij xj=bi. La matrice dei coefficienti A registra le dipendenze, mentre la matrice aumentata [A|b] conserva i termini noti. La soluzione è un punto x dello spazio delle incognite che soddisfa simultaneamente tutte le equazioni: geometricamente, ogni equazione non banale definisce un iperpiano e l’insieme soluzione è la loro intersezione. Non si deve confondere il numero di equazioni con il numero di vincoli indipendenti: due righe proporzionali descrivono lo stesso iperpiano, salvo incompatibilità dei termini noti.
Per esempio x+y+z=3, 2x-y+z=2, x+2y+3z=6 ammette (1,1,1). Per stabilirne unicità si eliminano le variabili, non si indovina una soluzione. Se un’equazione diventa 0=1 il sistema è incompatibile; se resta una riga nulla e nessuna contraddizione, alcune coordinate sono libere. Una variabile libera parametrizza una direzione dell’insieme soluzione, non una scelta arbitraria da occultare.
Il principio fondamentale è che Ax=b è risolubile se e solo se b appartiene allo spazio generato dalle colonne di A. La descrizione è particolarmente utile quando b varia: l’insieme dei termini noti ammissibili non è in generale tutto R^m, ma il sottospazio Col(A). In un problema applicato, una dipendenza lineare tra colonne può rappresentare una ridondanza di controlli o di misure; una incompatibilità può indicare dati rumorosi o un modello ideale impossibile.
Esempio ragionato. Consideriamo x+2y=3 e 2x+4y=7. Il lato sinistro della seconda equazione è il doppio del primo, ma il termine noto dovrebbe allora essere 6, non 7. Sottraendo il doppio della prima dalla seconda si ottiene 0=1. La contraddizione certifica l’assenza di soluzioni; non è un problema di arrotondamento o di scelta dei parametri.
Esercizio svolto. Per x+2y-z=1 e 2x+4y-2z=2, la seconda riga non aggiunge informazione. Ponendo y=s e z=t, la prima dà x=1-2s+t. L’insieme è un piano affine in R³, con punto base (1,0,0) e direzioni (-2,1,0), (1,0,1). La forma parametrica rende esplicita sia la libertà sia la geometria.
Capitolo 2 — Eliminazione di Gauss e riduzione
Le operazioni elementari di riga — scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, aggiunta a una riga di un multiplo di un’altra — sostituiscono un sistema con uno equivalente. La forma a scala si ottiene scegliendo pivot da sinistra a destra e annullando gli elementi sottostanti. Nella riduzione di Gauss-Jordan si annullano anche gli elementi sopra i pivot e si normalizzano i pivot a uno. Le operazioni preservano l’insieme delle soluzioni perché ogni trasformazione è invertibile.
La strategia pratica è scegliere un pivot non nullo nella colonna corrente, scambiarne la riga se necessario e azzerare sotto. Se tutti gli elementi candidati sono zero si passa alla colonna successiva: quella variabile potrà essere libera. Con coefficienti frazionari conviene spesso mantenere interi più a lungo, usando combinazioni di righe senza dividere prematuramente. In aritmetica numerica, invece, la scelta del pivot tiene conto della grandezza degli elementi per limitare l’errore di arrotondamento.
Esempio svolto: x+y+z=6, 2x-y+z=3, x+2y-z=2. Sottraiamo 2 volte la prima dalla seconda: -3y-z=-9. Sottraiamo la prima dalla terza: y-2z=-4. Dalla seconda ridotta y=2z-4; sostituendo nella prima e nella relazione -3y-z=-9 si ricava -3(2z-4)-z=-9, dunque z=3, y=2, x=1. Verifica diretta: 1+2+3=6, 2-2+3=3 e 1+4-3=2.
Un errore frequente consiste nel trasformare una sola parte della riga o nell’applicare una trasformazione alle colonne quando si sta risolvendo il sistema. Le operazioni di riga agiscono sull’intera matrice aumentata; la colonna dei termini noti è una parte essenziale del sistema. Inoltre, uno scambio di righe cambia il segno del determinante della matrice quadrata dei coefficienti, pur non alterando le soluzioni.
Esercizio ragionato: risolvere x+2y-z=0, 2x+4y-2z=0. La seconda è il doppio della prima, quindi x=-2y+z. Con y=s,z=t si ottengono infinite soluzioni (-2s+t,s,t). Il pivot unico mostra che una coordinata è vincolata da due gradi di libertà; il nucleo risultante ha dimensione due.
Capitolo 3 — Matrici e operazioni
Una matrice A di tipo m×n rappresenta una trasformazione lineare R^n→R^m mediante x↦Ax. Il prodotto AB è definito quando il numero di colonne di A coincide con il numero di righe di B; la colonna j del prodotto è A volte la colonna j di B. Questa lettura evita di trattare la moltiplicazione come una regola mnemonica: comporre prima B e poi A produce AB. In generale AB≠BA, e talvolta uno dei due prodotti non è neppure definito.
La trasposta scambia righe e colonne e soddisfa (AB)^T=B^T A^T. La matrice identità I lascia invariati i vettori; una matrice quadrata A è invertibile se esiste A^{-1} con entrambi i prodotti uguali a I. Invertibilità equivale a colonne linearmente indipendenti, pivot in ogni colonna, e possibilità di risolvere Ax=b per ogni b. Se esiste l’inversa, la soluzione è unica e x=A^{-1}b, ma calcolare esplicitamente l’inversa è spesso meno efficiente che eliminare direttamente [A|b].
Esempio: A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]. AB=[[8,2],[3,1]], mentre BA=[[2,4],[3,7]], dunque l’ordine conta. A trasforma (u,v) in (u+2v,v): una deformazione a taglio. L’inversa [[1,-2],[0,1]] annulla il taglio, come si controlla moltiplicando in entrambi gli ordini.
La matrice a blocchi consente di organizzare problemi grandi in parti: se A è diagonale a blocchi, l’azione su gruppi di coordinate è indipendente. Le matrici sparse, con molti zeri, suggeriscono algoritmi che evitano operazioni inutili. Nelle applicazioni scientifiche la scelta della rappresentazione può contare quanto la formula astratta: una matrice densa può essere dispendiosa, mentre una struttura bandata, triangolare o ortogonale rende i calcoli più stabili.
Esercizio con soluzione: calcolare [1,1],[1,-1]. Il risultato (a+b,a-b) è la combinazione e differenza delle coordinate. La matrice è invertibile poiché il determinante è -2; l’inversa è metà della stessa matrice. In particolare si recuperano a=(s+t)/2 e b=(s-t)/2 dai risultati s,t.
Capitolo 4 — Rango e teorema fondamentale
Il rango di A è il numero di pivot nella sua forma a scala, equivalentemente la dimensione dello spazio delle colonne o delle righe. Le operazioni di riga preservano il rango e permettono di leggerlo senza calcolare tutti i minori. Le colonne pivot individuano una base di Col(A), ma vanno selezionate nelle colonne originali corrispondenti: le righe ridotte servono a localizzare i pivot, non sono in generale le colonne originali trasformate in una base del loro spazio.
Per una matrice m×n, il teorema rango-nullità afferma rank(A)+dim ker(A)=n. Le n coordinate del dominio si ripartiscono in direzioni rilevate dall’azione e direzioni annullate. Applicando Gauss ad Ax=0, le variabili libere forniscono una base del nucleo. Per Ax=b, la compatibilità equivale a rank(A)=rank([A|b]); se il sistema è compatibile, la dimensione dell’insieme delle soluzioni è n-rank(A).
Esempio. A=[[1,2,1],[2,4,2],[0,1,1]]. La seconda riga è il doppio della prima; la terza indipendente, quindi il rango è 2. Per Ax=0 si ha x+2y+z=0 e y+z=0. Ponendo z=t, y=-t e x=t: ker(A)=span{(1,-1,1)}. Rango 2 più nullità 1 dà n=3, controllo indipendente del calcolo.
Il rango è anche una misura del numero effettivo di dati indipendenti in un problema. In regressione, colonne quasi dipendenti rendono instabili le stime; in un sistema di vincoli, righe dipendenti sono ridondanti. Il rango numerico richiede cautela: un valore molto piccolo può essere zero nel modello esatto oppure un residuo dovuto al rumore. La tolleranza va scelta in rapporto alle scale e alla precisione, non per convenienza a posteriori.
Esercizio svolto. Se A è 4×6 e ha rango 3, la nullità è 6-3=3. Il sistema omogeneo ha uno spazio di soluzioni tridimensionale; quello non omogeneo, se compatibile, è un traslato affine di tale spazio. Non si può concludere che un generico b sia ammissibile, perché Col(A) ha dimensione 3 dentro R⁴.
Capitolo 5 — Spazi vettoriali e sottospazi
Uno spazio vettoriale su R è un insieme con somma e moltiplicazione per scalari che soddisfano le leggi usuali: associatività e commutatività della somma, vettore zero, opposti, distributività e compatibilità scalare. Esempi sono R^n, i polinomi di grado al più d, le matrici m×n e gli spazi di funzioni. Gli elementi non devono essere frecce geometriche; ciò che conta è la struttura algebrica.
Un sottoinsieme non vuoto W è un sottospazio se è chiuso rispetto a combinazioni lineari: per u,v∈W e scalari a,b, au+bv∈W. È equivalente chiedere chiusura per somma e prodotto scalare. Ogni sottospazio contiene 0. Un insieme definito da equazioni lineari omogenee è un sottospazio; un’equazione non omogenea, come x+y=1, in generale definisce invece un sottospazio affine, che non contiene lo zero.
Esempio in P₂, polinomi di grado al più 2: W={p:p(1)=0} è sottospazio perché la valutazione è lineare e il nucleo di una mappa lineare è un sottospazio. Un polinomio p=a+bx+cx² appartiene a W esattamente quando a+b+c=0, quindi p=b(x-1)+c(x²-1). Una base è {x-1,x²-1} e la dimensione è 2. Il vincolo puntuale riduce di uno i tre gradi di libertà.
Intersezione di sottospazi è sempre un sottospazio; unione in genere no. Per esempio gli assi coordinati in R² sono sottospazi, ma la loro unione non contiene la somma (1,0)+(0,1)=(1,1). La somma U+W={u+w} è invece il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. La formula dim(U+W)=dim U+dim W-dim(U∩W) corregge il doppio conteggio delle direzioni condivise.
Esercizio con soluzione. Verificare che l’insieme delle matrici simmetriche 2×2 è un sottospazio di M₂. La somma di matrici simmetriche è simmetrica e (cA)^T=cA; contiene la matrice nulla. Ogni elemento ha forma [[a,b],[b,c]], dunque una base è formata dalle matrici con un solo parametro a, b o c non nullo e la dimensione è 3.
Capitolo 6 — Combinazioni, indipendenza e generatori
I vettori v₁,…,v_k generano V se ogni vettore di V è una combinazione lineare di essi. Sono linearmente indipendenti se l’unica soluzione di c₁v₁+…+c_kv_k=0 è c₁=…=c_k=0. Una famiglia che genera può essere ridondante; una famiglia indipendente può non coprire tutto lo spazio. Una base è una famiglia che possiede entrambe le proprietà, quindi ogni vettore ha coordinate uniche rispetto ad essa.
Per testare l’indipendenza si collocano i vettori come colonne di una matrice e si risolve Ac=0. Pivot in ogni colonna significa indipendenza. Se una colonna non è pivot, essa è combinazione delle colonne pivot; i coefficienti si ricavano dalla riduzione. Nel piano, tre vettori sono dipendenti, ma in dimensione alta il solo conteggio oltre n garantisce dipendenza, non la dipendenza di una famiglia più piccola.
Esempio. In R³ siano v₁=(1,0,1), v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,2). Si verifica v₃=v₁+v₂. I primi due sono indipendenti e generano un piano; la terna genera lo stesso piano ma non è una base. Le coordinate di v₃ nella base {v₁,v₂} sono (1,1), univoche per indipendenza.
Il procedimento di estrazione di una base da un insieme finito consiste nel disporre i vettori come colonne, ridurre e mantenere i vettori originali delle colonne pivot. Invece, per ottenere una base dello spazio delle righe si possono usare le righe non nulle della forma ridotta. La distinzione è importante perché le operazioni di riga modificano lo spazio delle colonne ma preservano le relazioni di dipendenza tra colonne.
Esercizio svolto. I vettori (1,2),(2,4),(1,0) in R²: i primi due sono proporzionali, il terzo non è multiplo del primo. Una base del loro span è {(1,2),(1,0)}. Il rango 2 implica che lo span coincide con tutto R². Per esprimere (a,b), risolviamo s(1,2)+t(1,0)=(a,b): s=b/2 e t=a-b/2.
Capitolo 7 — Basi, coordinate e dimensione
In uno spazio finitamente generato ogni base ha lo stesso numero di elementi: la dimensione. Una base ordina le coordinate e consente di trasformare domande astratte in sistemi lineari. Se B=(b₁,…,b_n), [v]_B è il vettore dei coefficienti nella scrittura v=Σ c_i b_i. Le coordinate dipendono dalla base, il vettore v no. Il cambio di base tra C e B è una matrice invertibile costruita esprimendo i vettori di una base nelle coordinate dell’altra.
Il teorema di completamento dice che una famiglia indipendente può essere estesa a una base in uno spazio finitamente dimensionale; una famiglia generatrice può essere ridotta eliminando elementi ridondanti. In R³, per esempio, (1,1,0) è indipendente ma non è base; si completa aggiungendo un vettore fuori dal suo span, come (0,0,1), e poi un altro indipendente nel piano complementare, ad esempio (1,-1,0).
Esempio di coordinate non canoniche. Sia B={(1,1),(1,-1)}. Per v=(5,1), si risolve c₁+c₂=5, c₁-c₂=1: c₁=3,c₂=2. Quindi [v]_B=(3,2), sebbene le coordinate canoniche siano (5,1). La matrice le cui colonne sono i vettori di B trasforma coordinate B in coordinate standard; la sua inversa effettua la conversione opposta.
Per una matrice di cambio base P, una trasformazione T si rappresenta con matrici simili: [T]B=P^{-1}[T]{ m std}P, usando la convenzione che P converte coordinate nella base B in coordinate standard. L’ordine va sempre dichiarato, poiché diverse convenzioni per P possono scambiare i fattori. Le quantità geometriche non dipendono dalla base, mentre le entrate della matrice sì.
Esercizio con soluzione. In P₂ la famiglia {1,x,x²} è base canonica. Il polinomio 2-3x+4x² ha coordinate (2,-3,4). In una base alternativa {1,x-1,(x-1)²}, si usa x=(x-1)+1 e x²=(x-1)²+2(x-1)+1; sostituendo si ottiene 3-11(x-1)+4(x-1)², coordinate (3,-11,4). La verifica per espansione recupera il polinomio di partenza.
Capitolo 8 — Applicazioni lineari e nucleo
Una mappa T:V→W è lineare se T(au+bv)=aT(u)+bT(v). È determinata dai valori su una base: conoscere T(b_i) consente di calcolare T(Σc_i b_i)=Σc_iT(b_i). Il nucleo ker T={v:T(v)=0} è sottospazio del dominio; l’immagine Im T={T(v)} è sottospazio del codominio. In basi finite la matrice di T ha come colonne le coordinate di T(b_i) nella base di arrivo.
T è iniettiva se e solo se ker T={0}; è suriettiva se Im T=W; è invertibile se è biiettiva. Per dimensioni finite, rango-nullità dà dim V=dim ker T+dim Im T. Se dominio e codominio hanno uguale dimensione, iniettività e suriettività sono equivalenti. Non lo sono in dimensioni diverse: l’inclusione R²→R³ è iniettiva ma non suriettiva.
Esempio. T:P₂→R², T(p)=(p(0),p(1)). Per p=a+bx+cx², T(p)=(a,a+b+c), matrice rispetto alle basi canoniche [[1,0,0],[1,1,1]]. Il rango è 2 e il nucleo soddisfa a=0, b+c=0: ker T=span{x-x²}. L’applicazione è suriettiva: per ogni (r,s), il polinomio r+(s-r)x raggiunge il dato, ma non è iniettiva.
La composizione S∘T è lineare e la sua matrice è il prodotto [S][T], purché le basi intermedie coincidano. Il nucleo della composizione contiene ker T, ma può essere più grande se T manda vettori non nulli nel nucleo di S. Questa osservazione spiega perché una catena di trasformazioni possa perdere informazione a stadi successivi.
Esercizio ragionato. T:R³→R², T(x,y,z)=(x+y,y+z). La matrice [[1,1,0],[0,1,1]] ha rango 2, quindi T è suriettiva e il nucleo è unidimensionale. Risolvendo x=-y,z=-y, si ottiene span{(-1,1,-1)}. Verificare l’immagine del generatore dà (0,0), e rango-nullità produce 3=1+2.
Capitolo 9 — Determinanti e invertibilità
Il determinante det A è uno scalare associato a una matrice quadrata. È multilineare e alternante nelle righe (o colonne), det I=1. Lo scambio di due righe cambia segno; moltiplicare una riga per c moltiplica il determinante per c; aggiungere a una riga un multiplo di un’altra non lo cambia. La riduzione di Gauss consente perciò di calcolarlo tenendo conto degli scambi e dei fattori di scala. In forma triangolare il determinante è il prodotto degli elementi diagonali.
Per n×n, det A≠0 equivale a invertibilità, rango n, indipendenza delle colonne e unicità della soluzione Ax=b per ogni b. La moltiplicatività det(AB)=det A det B è coerente con l’interpretazione come fattore orientato di volume: un cambio di orientamento produce segno negativo. Il determinante non è una misura di “quanto sia invertibile” in modo stabile: un determinante piccolo dipende anche dalla scala delle colonne e non sostituisce il numero di condizionamento.
Esempio. Per A=[[2,1],[3,2]], det A=4-3=1; l’inversa è [[2,-1],[-3,2]]. Per b=(5,8), x=A^{-1}b=(2,1). Il controllo Ax=(5,8) conferma il risultato. Se invece le righe fossero proporzionali, il determinante sarebbe zero e almeno un termine noto non sarebbe raggiungibile.
La regola di Cramer afferma che per Ax=b con det A≠0, x_i=det(A_i(b))/det A. È concettualmente utile e dimostra unicità, ma per grandi dimensioni è inefficiente e numericamente meno indicata dell’eliminazione. Per una matrice 2×2 [[a,b],[c,d]], il determinante ad-bc discende direttamente dalla proprietà alternante: il termine che ripete una colonna deve annullarsi.
Esercizio svolto. Calcolare il determinante di [[1,2,0],[0,3,1],[2,4,1]]. Sostituiamo la terza riga con terza meno due volte la prima (operazione che conserva det): [[1,2,0],[0,3,1],[0,0,1]]. Il prodotto diagonale vale 3. Questa triangolarizzazione mostra il vantaggio dell’eliminazione rispetto all’espansione ripetuta per cofatori.
Capitolo 10 — Autovalori e autovettori
Per una matrice quadrata A, un autovettore è un vettore non nullo v tale che Av=λv; λ è l’autovalore. L’equazione equivale a (A-λI)v=0, che ha soluzione non nulla se e solo se det(A-λI)=0. Il polinomio caratteristico ha grado n, contando le molteplicità, ma su R può avere radici non reali. Gli autovettori associati a λ formano, insieme allo zero, l’autospazio ker(A-λI).
Gli autovalori descrivono direzioni invarianti: lungo tali direzioni la trasformazione non ruota la direzione, ma scala con fattore λ; se λ<0 inverte anche verso. Per matrici 2×2 il polinomio caratteristico è λ²-tr(A)λ+det A. Traccia e determinante sono rispettivamente somma e prodotto degli autovalori contando molteplicità, anche nel campo complesso.
Esempio: A=[[2,1],[0,3]]. È triangolare, quindi gli autovalori sono 2 e 3. Per λ=2, (A-2I)v=0 dà y=0 e l’autospazio è span{(1,0)}. Per λ=3, x+y=0 e l’autospazio è span{(-1,1)}. I due autovettori indipendenti forniscono una base di direzioni invarianti.
Se un autovalore è radice ripetuta, la molteplicità algebrica non può essere inferiore alla dimensione del suo autospazio, detta molteplicità geometrica, e quest’ultima può essere strettamente minore. Non si conclude quindi che esistano n autovettori indipendenti solo contando le radici del polinomio. Per matrici reali simmetriche, invece, il teorema spettrale garantisce autovalori reali e una base ortonormale di autovettori.
Esercizio con soluzione. Per A=[[4,0],[1,4]], il solo autovalore è 4 con molteplicità algebrica 2. La condizione (A-4I)(x,y)=(0,0) dà x=0, y libero: autospazio unidimensionale. Non esiste una base di due autovettori, quindi A non è diagonalizzabile nonostante la radice doppia.
Capitolo 11 — Diagonalizzazione e potenze
A è diagonalizzabile se esiste una base del dominio composta da autovettori. Se P ha tali autovettori come colonne e D contiene i corrispondenti autovalori sulla diagonale, AP=PD e A=PDP^{-1}. La matrice simile D rappresenta la stessa trasformazione in una base privilegiata. Avere n autovalori distinti è condizione sufficiente, ma non necessaria; il criterio esatto è che la somma delle dimensioni degli autospazi sia n.
La diagonalizzazione semplifica potenze e ricorrenze: A^k=PD^kP^{-1}, e D^k si ottiene elevando ogni elemento diagonale alla k. Se gli autovalori hanno modulo inferiore a uno, le componenti nelle direzioni proprie decadono; se un modulo supera uno, possono crescere. L’interpretazione quantitativa dipende anche dalla condizione di P: autovettori quasi paralleli possono amplificare errori numerici.
Esempio. Per A=[[2,1],[0,3]], prendiamo P=[[1,-1],[0,1]], D=diag(2,3). P^{-1}=[[1,1],[0,1]] e PDP^{-1}=[[2,1],[0,3]]. Quindi A^k=[[2^k,3^k-2^k],[0,3^k]], formula controllabile per k=1 e k=2. La decomposizione trasforma una ricorrenza matriciale in due evoluzioni scalari.
Una matrice reale simmetrica è sempre ortogonalmente diagonalizzabile: A=QDQ^T con Q^TQ=I. La matrice Q è ben condizionata perché preserva norme e angoli. Una matrice non diagonalizzabile può comunque ammettere forma di Jordan sul campo complesso, ma tale forma è sensibile numericamente; in un primo corso è più utile riconoscere il fallimento della diagonalizzazione attraverso autospazi insufficienti.
Esercizio ragionato. A=diag(1/2,2) è già diagonalizzata. Per v=(3,1), A^k v=(3·2^{-k},2^k). La prima componente tende a zero, la seconda cresce senza limite. Non si deve affermare che l’intero vettore converge solo perché uno degli autovalori ha modulo minore di uno: tutte le componenti non nulle vanno considerate.
Capitolo 12 — Prodotto interno, ortogonalità e Gram–Schmidt
Il prodotto scalare standard in R^n è ⟨x,y⟩=x^Ty; la norma è ||x||=√⟨x,x⟩. Due vettori sono ortogonali se il prodotto è zero. Una famiglia ortogonale di vettori non nulli è automaticamente indipendente: prendendo il prodotto scalare di una relazione con ciascun vettore si annulla isolatamente ogni coefficiente. Una matrice Q con colonne ortonormali soddisfa Q^TQ=I e preserva prodotti scalari, norme e distanze.
Il processo di Gram–Schmidt trasforma una base indipendente v₁,…,v_k in una famiglia ortogonale. Si pone u₁=v₁ e, ricorsivamente, u_j=v_j-Σ_{i<j}(⟨v_j,u_i⟩/⟨u_i,u_i⟩)u_i. Il denominatore è non nullo perché u_i≠0; indipendenza garantisce che il nuovo residuo non sia zero. Normalizzando q_i=u_i/||u_i|| si ottiene una base ortonormale.
Esempio. Per v₁=(1,1,0), v₂=(1,0,1), u₁=v₁. Poiché ⟨v₂,u₁⟩=1 e ||u₁||²=2, u₂=(1,0,1)-(1/2)(1,1,0)=(1/2,-1/2,1). Il prodotto ⟨u₁,u₂⟩=0. Si può moltiplicare u₂ per 2 ottenendo (1,-1,2), ancora ortogonale; la normalizzazione finale richiede rispettivamente dividere per √2 e √6.
La formula di Gram–Schmidt è esatta, ma la sua implementazione classica può perdere ortogonalità in aritmetica finita. Per calcoli numerici sono preferibili varianti modificate o fattorizzazione QR stabile. La scelta del prodotto scalare è parte dei dati: con una matrice simmetrica definita positiva G si può usare ⟨x,y⟩_G=x^TGy, ottenendo nozioni di lunghezza appropriate a pesi o energie.
Esercizio svolto. Proiettare v=(2,1) sulla retta generata da u=(1,1). La componente parallela è (⟨v,u⟩/⟨u,u⟩)u=(3/2,3/2); il residuo (-1/2,-1/2) è ortogonale a u. La somma delle componenti restituisce v e il prodotto del residuo con u è zero.
Capitolo 13 — Proiezioni e minimi quadrati
Per un sottospazio S con base ortonormale q₁,…,q_k, la proiezione ortogonale di b è p=Σ⟨b,q_i⟩q_i. La differenza r=b-p è ortogonale a S. Il teorema di Pitagora mostra che p è l’unico elemento di S a distanza minima da b: per ogni s∈S, ||b-s||²=||b-p||²+||p-s||². Con una base non ortonormale raccolta nelle colonne di A a rango pieno, la proiezione è A(A^TA)^{-1}A^Tb.
Un sistema sovradeterminato Ax≈b può non avere soluzione esatta. Il problema dei minimi quadrati minimizza ||Ax-b||². Derivando rispetto a x oppure imponendo che il residuo sia ortogonale a ogni colonna di A si ottengono le equazioni normali A^TAx=A^Tb. Se le colonne di A sono indipendenti, A^TA è invertibile e la soluzione è unica. Per stabilità numerica si preferiscono QR o SVD al calcolo diretto delle equazioni normali, che può peggiorare il condizionamento.
Esempio: adattare una retta y=a+bt ai dati (0,1),(1,2),(2,2). A=[[1,0],[1,1],[1,2]], b=(1,2,2). Le equazioni normali sono [[3,3],[3,5]][a,b]=[5,6]. Risolvendo, 3a+3b=5 e 3a+5b=6, segue b=1/2 e a=7/6. I valori previsti sono 7/6,5/3,13/6; i residui osservato meno previsto sono -1/6,1/3,-1/6, la cui somma e la somma pesata per i tempi sono entrambe zero.
La matrice di proiezione P=A(A^TA)^{-1}A^T è simmetrica e idempotente: P^T=P e P²=P. La simmetria esprime ortogonalità, l’idempotenza il fatto che proiettare due volte non cambia il risultato. Il residuo (I-P)b appartiene al complemento ortogonale dello spazio delle colonne. Nei modelli statistici questa ortogonalità è una proprietà geometrica delle stime, non una prova automatica di causalità o adeguatezza del modello.
Esercizio ragionato. Se A ha colonne indipendenti, spiegare perché la soluzione di minimi quadrati è unica: per ogni x non nullo, x^TA^TAx=||Ax||²>0; dunque A^TA è definita positiva e invertibile. Se le colonne sono dipendenti, le previsioni migliori possono essere uniche pur non essendo unici i coefficienti, poiché vettori del nucleo possono essere aggiunti senza modificare Ax.
Capitolo 14 — Forme quadratiche e classificazione
Una forma quadratica reale è q(x)=x^TAx con A simmetrica; ogni matrice può essere sostituita dalla parte simmetrica (A+A^T)/2 senza cambiare x^TAx. La forma è definita positiva se q(x)>0 per ogni x≠0, semidefinita positiva se q(x)≥0; analoghe definizioni valgono per segno negativo e indefinitezza. Gli autovalori di A simmetrica determinano il segno: positività definita equivale ad autovalori tutti positivi.
Per una forma in due variabili ax²+2bxy+cy², la matrice è [[a,b],[b,c]]. Completare il quadrato o diagonalizzare ortogonalmente chiarisce la geometria: forme definite generano livelli ellittici, forme indefinite iperbolici, forme semidefinite possono avere direzioni piatte. Il criterio dei minori principali di Sylvester afferma che una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i minori principali guida sono positivi; l’ipotesi di simmetria è essenziale.
Esempio. q(x,y)=3x²+2xy+3y² ha matrice [[3,1],[1,3]], con autovalori 2 e 4 e quindi è definita positiva. Ponendo u=(x+y)/√2, v=(x-y)/√2, la forma diventa 4u²+2v². Le curve q=c, per c>0, sono ellissi; la direzione u è più rigida perché il coefficiente è maggiore.
La matrice Hessiana di una funzione quadratica f(x)=x^TAx+2c^Tx+d, con A simmetrica, è 2A. Una forma positiva definita garantisce un unico minimo globale: completando il quadrato, il minimizzatore è x*=-A^{-1}c. Se A è solo semidefinita, il minimo può non essere unico; se è indefinita, il punto stazionario non è un minimo. Questa connessione rende le forme quadratiche centrali nell’ottimizzazione.
Esercizio svolto. q(x,y)=x²-4xy+y² ha matrice [[1,-2],[-2,1]], autovalori 3 e -1, dunque è indefinita. Lungo (1,1) vale -2, lungo (1,-1) vale 6. Due direzioni di segno opposto provano l’indefinitezza senza ricorrere a disegni o a un criterio incompleto.
Capitolo 15 — Geometria affine euclidea
Uno spazio affine non privilegia un’origine: i punti si sottraggono per ottenere vettori, e a un punto si può sommare un vettore. Una retta per p con direzione v≠0 è {p+tv:t∈R}; un piano per p con direzioni indipendenti u,v è {p+su+tv}. Un sottospazio affine è traslato di un sottospazio vettoriale e non va chiamato sottospazio vettoriale se non contiene l’origine.
In R^n il prodotto scalare introduce distanze e angoli. La distanza tra p e q è ||p-q||; la distanza di un punto p da una retta p₀+tv è la norma della componente di p-p₀ ortogonale a v. In R³ il prodotto vettoriale u×v è perpendicolare a entrambi e fornisce un vettore normale al piano generato, ma l’orientamento dipende dalla convenzione destrorsa.
Esempio. La retta p=(1,0,1)+t(1,1,0) e il piano x+y+z=4 si incontrano quando (1+t)+t+1=4, quindi t=1 e punto d’intersezione (2,1,1). La distanza dell’origine dalla retta si calcola minimizzando ||p+tv||². Il parametro ottimo è t=-⟨p,v⟩/||v||²=-1/2; il punto più vicino è (1/2,-1/2,1) e la distanza è √(3/2).
Le trasformazioni affini hanno forma F(x)=Lx+c, con L lineare. Le isometrie preservano distanze; in coordinate cartesiane una trasformazione rigida ha parte lineare ortogonale Q, cioè Q^TQ=I, e una traslazione c. Una riflessione cambia orientamento, una rotazione lo preserva. Le coordinate omogenee permettono di rappresentare affine come prodotto matriciale esteso, ma la traslazione non è una trasformazione lineare dello spazio vettoriale ordinario.
Esercizio con soluzione. Il piano passante per p=(1,2,0) con direzioni u=(1,0,1), v=(0,1,1) ha parametrizzazione (1+s,2+t,s+t). Il vettore normale u×v=(-1,-1,1); dunque l’equazione è -(x-1)-(y-2)+z=0, ovvero x+y-z=3. Sostituire la parametrizzazione nell’equazione verifica l’identità per ogni s,t.
Capitolo 16 — Strategie di soluzione e controllo degli errori
Una soluzione affidabile combina rappresentazioni diverse. Per un sistema, la forma a scala classifica compatibilità e libertà; la sostituzione nella forma originale controlla gli errori di segno. Per una base, l’indipendenza è verificabile tramite rango, mentre la generazione può essere controllata confrontando la dimensione dello span con quella dello spazio. Per una matrice simmetrica, gli autovalori e l’ortogonalità degli autovettori offrono controlli distinti.
Conviene separare il problema esatto da quello numerico. Nei passaggi simbolici si possono conservare frazioni; nei dati misurati la precisione finita rende inappropriato dichiarare esattamente nullo un residuo piccolo senza motivare la tolleranza. Scalare una riga non cambia lo spazio delle soluzioni ma può alterare condizionamento e interpretazione delle unità. Le matrici di rotazione preservano norma, mentre matrici mal condizionate possono amplificare perturbazioni anche se teoricamente invertibili.
Esempio di verifica incrociata. Per un sistema quadrato con soluzione candidata x, calcolare r=b-Ax. Se r=0 esattamente, la candidata è soluzione; per concludere unicità serve anche rank(A)=n o det(A)≠0. Per un sistema sovradeterminato, r non nullo può essere atteso: il controllo pertinente è A^Tr=0, condizione di ortogonalità del residuo al sottospazio delle colonne.
Per autovalori, controllare Av-λv per ogni coppia candidata; poi verificare l’indipendenza dei vettori prima di costruire P. Se P è quasi singolare, la formula PDP^{-1} è formalmente corretta ma può essere numericamente instabile. Per minimi quadrati, controllare sia le equazioni normali sia i residui; per Gram–Schmidt, verificare i prodotti scalari tra ogni coppia di vettori ottenuti. Le verifiche non sostituiscono una dimostrazione, ma sono ottime difese contro errori di calcolo.
Esercizio conclusivo ragionato. Sia A simmetrica 2×2 con autovalori 1 e 5 e autovettori ortonormali q₁,q₂. Per b=3q₁-q₂, la soluzione di Ax=b è x=3q₁-(1/5)q₂. Infatti A agisce separatamente sulle due componenti. Si verifica Ax=3q₁-q₂; inoltre q₁,q₂ indipendenti garantiscono unicità perché entrambi gli autovalori sono non nulli. L’esempio collega autodecomposizione, ortogonalità e invertibilità.
Capitolo 17 — Sistemi parametrici e compatibilità
Quando i coefficienti o i termini noti dipendono da un parametro, l’eliminazione resta valida ma occorre separare i casi in cui un pivot si annulla. Non si deve dividere per un’espressione parametrica senza registrare il caso in cui è zero: quel valore può cambiare rango e quindi il numero di soluzioni. La procedura corretta è ridurre genericamente, poi studiare i valori eccezionali nelle equazioni residue.
Esempio completo. Si consideri x+y=1, x+ay=2. Sottraendo la prima dalla seconda si ottiene (a-1)y=1. Per a≠1 la soluzione è y=1/(a-1), x=(a-2)/(a-1), unica. Per a=1 le due righe hanno lo stesso lato sinistro ma termini noti diversi: il sistema è incompatibile. Il valore eccezionale non produce infinite soluzioni: la coerenza del termine noto è decisiva.
Un esempio con tre equazioni rende visibili tre regimi. Siano x+y+z=1, x+2y+z=2, x+3y+az=3. Sottraendo la prima dalla seconda si ottiene y=1. Sottraendo la seconda dalla terza si ha y+(a-1)z=1; con y=1 segue (a-1)z=0. Se a≠1, z=0 e x=0, soluzione unica. Se a=1, la terza relazione diventa identità e z è libero, dunque una retta affine di soluzioni. In questo caso il parametro abbassa il rango senza creare contraddizione.
In generale il rango della matrice parametrica può variare solo quando si annullano determinanti di sottomatrici; i valori eccezionali sono quindi radici di polinomi. La classificazione va fatta distinguendo il rango di A da quello di [A|b]. Rango aumentato maggiore del rango dei coefficienti significa incompatibilità; uguaglianza significa compatibilità, con n-rank(A) parametri liberi. Questa logica è più robusta della sostituzione di valori numerici scelti a caso.
Esercizio risolto. Per ax+y=1 e x+ay=1, somma e differenza danno (a+1)(x+y)=2 e (a-1)(x-y)=0. Se a≠±1, x=y e quindi x=y=1/(a+1). Per a=1 le equazioni coincidono e la soluzione è la retta x+y=1. Per a=-1 la somma richiederebbe 0=2, quindi nessuna soluzione. La risposta distingue rango due, rango uno compatibile e incompatibilità.
Capitolo 18 — Sottomatrici, minori e interpretazione del rango
Il rango può essere definito anche come il massimo ordine di un minore non nullo. Un minore di ordine k è il determinante di una sottomatrice ottenuta scegliendo k righe e k colonne. La caratterizzazione collega il rango al determinante, ma non suggerisce in genere di calcolare tutti i minori: il loro numero cresce rapidamente. L’eliminazione è normalmente il metodo operativo, mentre i minori forniscono criteri teorici e test simbolici.
Per una matrice m×n il rango è al più min(m,n). Se esiste un minore quadrato di ordine r non nullo e tutti i minori di ordine r+1 sono nulli, il rango è r. Per matrici quadrate, rango pieno equivale a determinante non nullo; per matrici rettangolari non esiste un unico determinante da calcolare. È necessario selezionare le righe e colonne appropriate.
Esempio: A=[[1,2,0],[0,1,1],[1,3,1]]. Il minore formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne ha determinante 1, dunque rango almeno 2. La terza riga è somma delle prime due, e la terza colonna è somma di zero volte la prima più la seconda riga? Più direttamente, le colonne c₁=(1,0,1), c₂=(2,1,3), c₃=(0,1,1) soddisfano c₂=2c₁+c₃; le prime e terze colonne sono indipendenti, quindi rango esattamente 2.
La lettura per minori è utile per dimostrare che il rango è almeno un certo valore senza ridurre tutta la matrice. È inoltre importante nell’interpolazione: una matrice di Vandermonde con nodi distinti ha determinante prodotto delle differenze fra nodi, quindi è invertibile e i coefficienti del polinomio interpolante sono unici. La condizione “nodi distinti” è precisamente quella che impedisce l’annullarsi del determinante.
Esercizio con soluzione. Una matrice 3×5 contiene un minore 3×3 di determinante non nullo. Il rango è almeno 3 e non può superare 3, dunque è esattamente 3. Il nucleo ha dimensione 5-3=2. L’argomento non identifica da solo una base del nucleo; per trovarla si risolve Ax=0 o si ricavano le relazioni tra colonne.
Capitolo 19 — Prodotto interno, angoli e disuguaglianze
Il prodotto interno soddisfa simmetria, bilinearità e positività; la norma indotta è ||x||=√⟨x,x⟩. La disuguaglianza di Cauchy–Schwarz, |⟨x,y⟩|≤||x||||y||, garantisce che l’angolo definito da cos θ=⟨x,y⟩/(||x||||y||) sia reale e compreso tra zero e π. L’uguaglianza in valore assoluto si verifica esattamente quando i vettori sono dipendenti, salvo il caso di vettore nullo in cui l’angolo non è definito.
La disuguaglianza triangolare segue espandendo ||x+y||² e usando Cauchy–Schwarz. È più di una proprietà formale: consente di stimare gli errori geometricamente e assicura che una piccola perturbazione di un vettore modifica la sua norma di non più della norma della perturbazione. In uno spazio con prodotto interno, ortogonalità e lunghezza sono dunque compatibili in un modo che manca in una norma arbitraria.
Esempio. Per x=(1,2), y=(2,-1), il prodotto è zero, quindi l’angolo è retto; ||x||=||y||=√5 e ||x+y||=|| (3,1)||=√10, coerente con Pitagora. Invece per u=(1,0), v=(1,1), il coseno dell’angolo è 1/√2 e l’angolo è π/4.
La distanza indotta d(x,y)=||x-y|| soddisfa positività, simmetria e disuguaglianza triangolare. Traslare entrambi i punti non cambia la distanza; applicare una matrice ortogonale non cambia né prodotto interno né norma. Queste invarianti permettono di scegliere coordinate comode senza deformare la geometria euclidea. Una matrice invertibile generica preserva allineamento ma non angoli o lunghezze.
Esercizio svolto. Per x=(1,1,1) e y=(1,0,-1), ⟨x,y⟩=0. La proiezione di x su y è pertanto zero e x appartiene al complemento ortogonale della retta generata da y. La norma di x-y è √5; il controllo con ||x||²+||y||²=3+2=5 conferma Pitagora.
Capitolo 20 — Sistemi omogenei, varietà affini e libertà
Il sistema omogeneo Ax=0 ha sempre almeno la soluzione nulla e il suo insieme di soluzioni è ker A. Per un sistema compatibile Ax=b, se x₀ è una soluzione, tutte le soluzioni sono x₀+ker A: infatti A(x-x₀)=0; viceversa A(x₀+z)=b per ogni z nel nucleo. Questa descrizione separa un punto particolare dalla libertà residua e prova che l’insieme soluzione non è un insieme arbitrario ma un sottospazio traslato.
La direzione dell’insieme affine non dipende dalla scelta di x₀. Se x₁ è un’altra soluzione, x₁-x₀∈ker A, quindi x₁+ker A=x₀+ker A. La dimensione della varietà affine è la nullità. Nel caso di nessuna soluzione non esiste un punto base; non è corretto attribuire all’insieme vuoto la dimensione n-rank(A) usando una formula che presuppone compatibilità.
Esempio. Per x+y+z=2 e 2x+2y+2z=4, una soluzione particolare è (2,0,0), e il nucleo è dato da x+y+z=0, di dimensione 2. Ogni soluzione è (2,0,0)+s(-1,1,0)+t(-1,0,1). Il punto scelto non è unico: sostituendolo con un altro punto soluzione cambia solo la parametrizzazione, non il piano.
Questa struttura appare in cinematica dei vincoli, bilanci di massa e reti: una soluzione particolare rappresenta uno stato di riferimento e gli elementi del nucleo sono variazioni ammissibili che non modificano i vincoli osservati. Se il nucleo è nullo lo stato è determinato univocamente; se ha dimensione positiva esistono gradi di libertà. Il rango quantifica il numero di vincoli indipendenti, non il numero scritto sulla lavagna.
Esercizio con soluzione. Sia A=[[1,1,0],[0,1,1]] e b=(2,1). Una soluzione particolare è (1,1,0); il nucleo risolve x=-y,z=-y ed è span{(-1,1,-1)}. Tutte le soluzioni sono (1,1,0)+t(-1,1,-1). Verificando entrambe le righe si ottiene sempre (2,1), e nessun altro grado di libertà è possibile perché il rango è 2 in un dominio tridimensionale.
Capitolo 21 — Sintesi: scegliere il metodo e motivare la conclusione
Un problema lineare non si risolve sempre con la stessa operazione. Se si chiede compatibilità e insieme soluzione, l’eliminazione della matrice aumentata è diretta. Se si chiede una base del nucleo, le variabili libere forniscono una parametrizzazione. Se occorre stabilire se una famiglia di colonne genera, il rango e la dimensione sono strumenti immediati. Per descrivere l’azione geometrica di una matrice, si cercano autovettori o una base ortonormale quando la matrice è simmetrica.
Una risposta completa esplicita le ipotesi. “La matrice è diagonalizzabile” richiede una base di autovettori, non soltanto un polinomio caratteristico fattorizzato. “Le equazioni normali hanno soluzione unica” richiede colonne indipendenti. “La formula di proiezione tramite inversa vale” richiede che la matrice delle colonne abbia rango pieno. Ogni formula senza la sua condizione di validità rischia di essere applicata proprio nel caso in cui fallisce.
Esempio di scelta. Per trovare il punto del piano x+y+z=1 più vicino all’origine, non è necessario enumerare punti: il vettore normale n=(1,1,1) indica che il punto di distanza minima è parallelo a n. Scrivendo p=tn e imponendo la condizione, 3t=1, dunque p=(1/3,1/3,1/3). Il metodo di proiezione è più informativo della soluzione di un sistema di moltiplicatori e mostra perché il punto è perpendicolare al piano.
La validazione finale può essere organizzata in quattro passaggi: sostituire le soluzioni nelle equazioni originali; controllare dimensioni e tipo delle matrici prima di moltiplicare; verificare il numero di gradi di libertà con rango-nullità; confrontare una conclusione geometrica con una proprietà algebrica indipendente. Per i calcoli numerici si aggiunge il controllo del residuo e della sensibilità; per le dimostrazioni, la giustificazione della condizione necessaria e sufficiente.
Esercizio integrato svolto. T:R³→R³ è rappresentata dalla matrice simmetrica diag(2,2,0). Il nucleo è span{(0,0,1)}, immagine span{(1,0,0),(0,1,0)}, rango 2 e nullità 1. Gli autovalori 2,2,0 mostrano diagonalizzabilità già nella base canonica. Per b=(4,6,1), Ax=b è incompatibile perché la terza componente di ogni Ax è zero; il minimi quadrati proietta b sull’immagine e fornisce (2,3,0) come soluzione di norma minima. Il residuo (0,0,1) è ortogonale all’immagine. Questo singolo esempio distingue compatibilità, nucleo, rango, autovalori e proiezione senza confonderli.
Approfondimento — Matrici di rotazione e coordinate geometriche
Nel piano una rotazione antioraria di angolo θ rispetto all’origine è rappresentata da Rθ=[[cosθ,-sinθ],[sinθ,cosθ]]. Le colonne sono immagini dei vettori della base canonica e sono ortonormali; perciò Rθ^TRθ=I e det Rθ=1. Una riflessione rispetto all’asse x ha invece matrice diag(1,-1), ortogonale ma con determinante -1. Entrambe preservano le distanze, ma solo la rotazione preserva l’orientamento.
La composizione delle rotazioni corrisponde alla somma degli angoli: RαRβ=Rα+β. La proprietà segue dalle formule di addizione di seno e coseno ed è anche un esempio concreto della regola secondo cui il prodotto di matrici rappresenta la composizione di trasformazioni. L’ordine delle trasformazioni conta in generale nello spazio tridimensionale, dove rotazioni attorno ad assi diversi non commutano.
Esempio. Ruotare (1,0) di π/2 dà (0,1); ruotare poi di π restituisce (-1,0). Il prodotto RπRπ/2 è la rotazione di 3π/2. Le norme restano unitarie a ogni passaggio. Se si applica invece una matrice diagonale diag(2,1), il primo asse viene dilatato e la norma non è preservata: il vettore (1,0) diventa (2,0).
Un cambio di coordinate non va confuso con una trasformazione attiva del vettore. Nel primo caso si descrive lo stesso oggetto in una base diversa e la matrice dell’operatore si trasforma per similitudine; nel secondo si applica davvero l’operatore al vettore. Distinguere questi punti di vista è essenziale nella meccanica: una rotazione del sistema di riferimento può cambiare le componenti numeriche pur lasciando invariato il fenomeno osservato.
Approfondimento — Polinomi e interpolazione come algebra lineare
Lo spazio P_d dei polinomi reali di grado al più d ha dimensione d+1, con base monomiale 1,x,…,x^d. Specificare i valori di un polinomio in punti distinti definisce una mappa lineare di valutazione P_d→R^{d+1}. La matrice nella base monomiale è di Vandermonde. Per nodi distinti la matrice è invertibile, quindi esiste un unico polinomio di grado al più d che assume i valori assegnati.
Per d=1, passare per (0,1) e (2,5) determina p(x)=a+bx. Le condizioni sono a=1 e a+2b=5, quindi b=2 e p=1+2x. Se i nodi coincidessero e i valori richiesti fossero diversi, il problema sarebbe incompatibile; se coincidessero anche i valori, l’interpolante non sarebbe unico senza ulteriori condizioni. La distinzione si riflette nel rango della matrice di valutazione.
Per grado 2, tre nodi distinti producono una matrice 3×3 con determinante (x₂-x₁)(x₃-x₁)(x₃-x₂), a meno dell’ordine convenzionale dei fattori. Il determinante non nullo dimostra unicità, mentre l’eliminazione fornisce i coefficienti. In pratica, le basi di Lagrange spesso rendono più trasparente l’interpolante: il polinomio è espresso direttamente come combinazione di funzioni che valgono uno in un nodo e zero negli altri.
L’interpolazione esatta può essere numericamente instabile per nodi mal scelti o grado elevato; l’unicità algebrica non garantisce robustezza. È un esempio paradigmatico della distinzione tra rango teorico e condizionamento. Per approssimare dati rumorosi si preferiscono spesso polinomi di grado inferiore o basi ortogonali, e si formulano problemi ai minimi quadrati anziché imporre ogni misura esattamente.
Approfondimento — Autovalori come crescita dinamica
Una ricorrenza lineare discreta x_{k+1}=Ax_k descrive un’evoluzione a passi, e la soluzione è x_k=A^kx_0. Se A è diagonalizzabile, la decomposizione in autovettori separa modi indipendenti: la componente nella direzione v_i viene moltiplicata per λ_i^k. Autovalori positivi conservano verso, negativi alternano il segno, e valori complessi rappresentano rotazioni e dilatazioni nel piano reale associato.
Per una matrice diagonale diag(ρ,σ), partendo da (a,b) si ottiene (aρ^k,bσ^k). La convergenza a zero per ogni dato iniziale richiede che entrambi i moduli siano minori di uno; se uno è uguale a uno può persistere una componente e se è maggiore di uno quella componente cresce. Per matrici non diagonalizzabili possono apparire fattori polinomiali in k moltiplicati per λ^k, per cui il solo valore assoluto degli autovalori va interpretato con attenzione nel caso di bordo.
Esempio. La matrice di Markov [[0.8,0.2],[0.2,0.8]] ha autovettori (1,1) e (1,-1) con autovalori 1 e 0.6. La componente media resta invariata, mentre la differenza tra le due componenti decade come 0.6^k. Se le componenti iniziali sommano a uno, l’evoluzione converge alla distribuzione uniforme (1/2,1/2). Gli autovalori spiegano sia l’equilibrio sia la velocità di convergenza.
La normalizzazione delle colonne o delle righe nelle matrici stocastiche dipende dalla convenzione vettoriale adottata; occorre controllare se le distribuzioni sono vettori colonna o riga. Le somme preservate corrispondono a un autovettore sinistro di autovalore uno. Questo esempio mostra come l’algebra lineare codifichi quantità conservate, stati stazionari e modi transitori, senza sostituire l’analisi delle ipotesi probabilistiche del modello.
Approfondimento — Somma diretta e scelta di complementi
Due sottospazi U e W hanno somma diretta se U∩W={0}; allora ogni vettore di U+W ha un’unica decomposizione u+w. In dimensione finita ciò equivale a dim(U+W)=dim U+dim W. La proprietà è utile quando un problema si separa in componenti indipendenti: coordinate lungo U e lungo W non si sovrappongono. Se la somma diretta coincide con tutto V, si scrive V=U⊕W e ciascun vettore si scompone in modo unico.
Il complemento non è necessariamente ortogonale e non è unico. In R², U=span{(1,0)} può essere completato da W=span{(0,1)} oppure da W=span{(1,1)}. Entrambe le somme sono dirette e tutto il piano, ma solo il primo complemento è ortogonale rispetto al prodotto standard. Questa libertà è preziosa nei calcoli: si può scegliere una decomposizione adatta alla struttura del problema, mentre la metrica seleziona un complemento canonico ortogonale.
Esempio in R³: U=span{(1,0,0)} e W=span{(0,1,0),(0,0,1)} formano una somma diretta. Il vettore (a,b,c) ha decomposizione (a,0,0)+(0,b,c). Se si sceglie W’=span{(1,1,0),(1,0,1)}, anche U∩W’={0} e le dimensioni sommano a tre; la decomposizione cambia ma resta unica. Per verificare la somma diretta basta controllare che l’intersezione sia nulla, evitando di assumere l’ortogonalità non dichiarata.
Una proiezione associata a una somma diretta non ortogonale è idempotente ma in generale non simmetrica. Essa manda u+w in u. La proiezione ortogonale è un caso particolare in cui la matrice è simmetrica. La distinzione importa in metodi numerici e geometria: proiettare obliquamente può amplificare norme, mentre la proiezione ortogonale è il punto più vicino e non aumenta la distanza dal sottospazio.
Approfondimento — Determinante, volume e trasformazioni
Il valore assoluto del determinante di una matrice quadrata è il fattore con cui la trasformazione lineare moltiplica i volumi n-dimensionali. In dimensione due, le colonne di A sono i lati del parallelogramma immagine del quadrato unitario e |det A| ne è l’area. In dimensione tre si ottiene il volume del parallelepipedo generato dalle colonne. Se il determinante è zero, le colonne giacciono in un sottospazio di dimensione minore e il volume collassa.
Il segno conserva l’orientamento. La matrice diag(-1,1) riflette il piano: il determinante -1 segnala inversione di orientamento, mentre la matrice ortogonale diag(-1,-1), rotazione di π, ha determinante +1. Una dilatazione diag(2,3) moltiplica le aree per 6; per un cubo in R³ la matrice diag(2,3,4) moltiplica i volumi per 24. Questi fattori sono moltiplicativi proprio perché det(AB)=det(A)det(B).
Per la trasformazione affine x↦Ax+c, la traslazione c non modifica il fattore di volume, che dipende solo da A. La formula del cambio di variabili negli integrali usa |det A| perché le misure geometriche sono non negative, mentre il segno resta rilevante per orientazioni e integrazione orientata. Questa interpretazione fornisce un controllo intuitivo del determinante e chiarisce perché matrici singolari schiacciano almeno una direzione.
Esercizio svolto. Il parallelogramma generato da u=(2,1), v=(1,3) ha area |det[[2,1],[1,3]]|=|6-1|=5. Sostituendo v con v+2u il parallelogramma cambia forma ma non area, poiché l’operazione aggiunge a una colonna un multiplo dell’altra e il determinante resta invariato. La proprietà coincide con la conservazione del volume orientato durante uno scorrimento parallelo.
Approfondimento — Autospazi, molteplicità e criteri sufficienti
L’autospazio E_λ=ker(A-λI) è sempre un sottospazio. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti; la dimostrazione procede applicando A-λ_k I a una relazione minima e riduce il numero di vettori. Ne segue che n autovalori distinti garantiscono una base di autovettori per una matrice n×n. Se le radici sono ripetute, occorre invece calcolare la dimensione effettiva di ogni nucleo.
La molteplicità algebrica è l’esponente del fattore (t-λ) nel polinomio caratteristico, mentre la molteplicità geometrica è dim E_λ. Per ogni autovalore, 1≤m_geo≤m_alg. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è n. La verifica degli autospazi evita l’errore comune di trattare le radici ripetute come se fornissero automaticamente altrettante direzioni indipendenti.
Esempio. I₂ ha autovalore 1 di molteplicità algebrica 2 e autospazio tutto R², quindi è diagonalizzabile. La matrice [[1,1],[0,1]] ha lo stesso polinomio caratteristico (t-1)², ma il nucleo di A-I è span{(1,0)}, dimensione uno: non è diagonalizzabile. La differenza non è visibile dal solo spettro, ma dall’azione sui vettori.
Se A è simmetrica reale, autovettori di autovalori distinti sono ortogonali: da Au=λu, Av=μv e simmetria si ricava λ⟨u,v⟩=⟨Au,v⟩=⟨u,Av⟩=μ⟨u,v⟩; se λ≠μ il prodotto è zero. Dentro un autospazio di dimensione maggiore di uno si può scegliere una base ortonormale con Gram–Schmidt. È questa combinazione che produce diagonalizzazione ortogonale.
Approfondimento — Matrici ortogonali e QR
Una matrice quadrata Q è ortogonale se Q^TQ=I. Le sue colonne sono una base ortonormale, Q^{-1}=Q^T e ||Qx||=||x||. Il determinante di Q è ±1, perché det(Q)^2=1. Le matrici ortogonali rappresentano rotazioni e riflessioni, e risultano numericamente interessanti poiché il loro numero di condizionamento nella norma euclidea è uno.
Ogni matrice A a colonne indipendenti si può fattorizzare A=QR, dove Q ha colonne ortonormali e R è triangolare superiore con diagonale non nulla. Gram–Schmidt costruisce Q e i coefficienti di R; il procedimento QR è quindi il collegamento operativo tra ortogonalizzazione e risoluzione dei sistemi. Per A x≈b, si minimizza ||QRx-b||; poiché Q preserva norma, il problema si riduce alle equazioni triangolari Rx=Q^Tb, insieme alla componente residua ortogonale alle colonne.
Esempio. Per A con colonne a₁=(1,0), a₂=(1,1), il primo versore è q₁=(1,0). Sottraendo da a₂ la proiezione su q₁ si ottiene (0,1), quindi q₂=(0,1). Si ha Q=I e R=[[1,1],[0,1]]. La fattorizzazione ricostruisce A e risolve A x=b mediante sostituzione all’indietro senza formare A^TA.
La fattorizzazione QR è preferibile alle equazioni normali in molte applicazioni perché non quadra il numero di condizionamento: κ(A^TA) è approssimativamente κ(A)² nella norma 2. L’ortogonalità riduce l’amplificazione dell’errore e rende la decomposizione adatta a regressione, fitting e aggiornamenti incrementali. In caso di colonne dipendenti si usa una versione con pivoting o la SVD per rivelare rango numerico e direzioni quasi nulle.
Approfondimento — QR, proiezione e minimi quadrati: una costruzione completa
La fattorizzazione QR non è soltanto una notazione compatta per Gram–Schmidt: espone in modo controllabile sia la geometria del sottospazio delle colonne sia la parte triangolare che consente di risolvere un problema. Sia A una matrice m×n con m≥n e colonne indipendenti a₁,…,aₙ. Applicando Gram–Schmidt nell’ordine dato, si ottengono vettori ortonormali q₁,…,qₙ con lo stesso span. Ponendo Q=[q₁ … qₙ], si definisce rᵢⱼ=⟨qᵢ,aⱼ⟩. Per i>j, rᵢⱼ=0: aⱼ appartiene allo span di q₁,…,qⱼ e dunque è ortogonale a qᵢ. Ne segue A=QR, con R triangolare superiore, rᵢⱼ=0 sotto la diagonale e rⱼⱼ=||aⱼ−Σᵢ<ⱼ⟨qᵢ,aⱼ⟩qᵢ||>0. Questa ultima quantità è positiva proprio perché l’indipendenza impedisce che il residuo si annulli.
La costruzione si verifica colonna per colonna: aⱼ=Σᵢ≤ⱼrᵢⱼqᵢ. In forma matriciale R=QᵀA, poiché QᵀQ=I. Per matrici rettangolari Q non è quadrata e non ha inversa bilatera; tuttavia QᵀQ=Iₙ, perciò Q preserva norme dei vettori del dominio: ||Qz||²=zᵀQᵀQz=||z||². La matrice QQᵀ è invece la proiezione sul sottospazio Col(Q)=Col(A), non l’identità sul codominio quando m>n. Si controllano direttamente simmetria e idempotenza: (QQᵀ)ᵀ=QQᵀ e (QQᵀ)²=Q(QᵀQ)Qᵀ=QQᵀ. Per un vettore b, la proiezione è p=QQᵀb; il residuo r=b-p soddisfa Qᵀr=0 e quindi è ortogonale a ogni colonna di A.
Esempio numerico non quadrato. Siano a₁=(1,1,0)ᵀ e a₂=(1,0,1)ᵀ, e A=[a₁ a₂]. Il primo versore è q₁=(1,1,0)ᵀ/√2. Il coefficiente r₁₂=q₁ᵀa₂=1/√2; il residuo a₂-r₁₂q₁=(1/2,-1/2,1)ᵀ ha norma √(3/2). Pertanto q₂=(1,-1,2)ᵀ/√6 e
Q = [[1/√2,1/√6],[1/√2,-1/√6],[0,2/√6]], R = [[√2,1/√2],[0,√(3/2)]].
La prima colonna di QR è a₁. La seconda è (1/√2)q₁+√(3/2)q₂=(1,0,1)ᵀ, quindi QR=A. Inoltre QᵀQ=I₂ e QQᵀ è una proiezione di rango 2 in R³. Per b=(1,2,0)ᵀ, Qᵀb=(3/√2,-1/√6)ᵀ; il vettore proiettato è Q(Qᵀb), mentre b-Q(Qᵀb) appartiene a ker(Qᵀ). Questa descrizione permette di calcolare l’approssimazione senza inventare una terza colonna indipendente: il punto proiettato è l’unico elemento del piano generato da a₁,a₂ che minimizza la distanza da b.
Per derivare i coefficienti dei minimi quadrati, si scrive A=QR e si osserva che ||Ax-b||²=||QRx-b||²=||Qᵀ(QRx-b)||²+||(I-QQᵀ)b||². Il primo addendo è ||Rx-Qᵀb||² e il secondo non dipende da x. Poiché R è invertibile per indipendenza delle colonne, il minimo unico si ottiene risolvendo Rx=Qᵀb. La componente residua minima è (I-QQᵀ)b; è ortogonale a Col(A) e non può essere eliminata variando x. Questo chiarisce perché il residuo non è un “errore di soluzione”: misura la parte dei dati che il modello lineare non può rappresentare. La soluzione QR coincide con quella delle equazioni normali in aritmetica esatta, ma evita di formare AᵀA; in genere è preferibile numericamente perché κ₂(AᵀA)=κ₂(A)² quando A è a rango pieno.
La QR non è unica senza convenzioni di segno: se D è diagonale con elementi ±1, anche (QD)(DR) dà lo stesso prodotto, mantenendo ortonormalità e triangolarità. Richiedere diagonale di R positiva fissa tali ambiguità nel caso a rango pieno. Nella pratica, Gram–Schmidt classico può perdere ortogonalità con colonne quasi dipendenti o precisione finita; Gram–Schmidt modificato migliora il comportamento e le riflessioni di Householder sono lo standard robusto per molte fattorizzazioni numeriche. Una diagonalina quasi nulla di R è un segnale diagnostico di quasi dipendenza, non una prova automatica che il rango esatto sia inferiore: servono scala dei dati e soglia dichiarata.
Approfondimento — Coordinate e cambi di base senza ambiguità
Una fonte frequente di errori è usare la stessa espressione “matrice di cambio di base” per due mappe inverse. Fissiamo la convenzione in modo esplicito. Sia B=(b₁,…,bₙ) una base, e sia S_B la matrice che ha i vettori bᵢ come colonne nelle coordinate standard. Allora v=S_B[v]_B: S_B converte coordinate B in coordinate standard; l’inversa S_B⁻¹ converte coordinate standard in coordinate B. Se C è un’altra base e S_C è costruita nello stesso modo, si ha [v]_B=S_B⁻¹S_C[v]_C. La matrice di conversione da coordinate C a coordinate B è dunque S_B⁻¹S_C. La formula segue dalla catena: prima si ricostruisce il vettore con S_C, poi lo si esprime nella base B con S_B⁻¹.
Esempio con tre sistemi di coordinate. In R² poniamo B=((1,1),(1,-1)) e C=((2,1),(1,1)). Le matrici sono S_B=[[1,1],[1,-1]] e S_C=[[2,1],[1,1]]. Dato v=(5,1), il calcolo in B dà [v]_B=S_B⁻¹v=(3,2)ᵀ. In C, risolvendo 2α+β=5, α+β=1, si ottiene α=4, β=-3, quindi [v]_C=(4,-3)ᵀ. La conversione C→B è S_B⁻¹S_C=[[3/2,1],[−1/2,0]]; applicata a (4,-3) restituisce (3,−2)? Il controllo evidenzia qui la necessità di non affidarsi a un risultato non verificato: il sistema per [v]_B è c₁+c₂=5, c₁−c₂=1, dunque (3,2). Calcolando correttamente S_B⁻¹=(1/2)[[1,1],[1,−1]], si ottiene S_B⁻¹S_C=[[3/2,1],[1/2,0]], e applicando a (4,−3) risulta (3,2). L’identità v=S_B(3,2)=S_C(4,−3)=(5,1) chiude il controllo incrociato.
Per la matrice di una trasformazione, input e output devono essere trattati separatamente. Siano T:V→W, basi B in V e C in W. La matrice [T]{C←B} ha come j-esima colonna [T(bⱼ)]_C. Se si cambiano le basi a B′ nel dominio e C′ nel codominio, e P è la conversione delle nuove coordinate B′ nelle vecchie B, mentre Q è la conversione dalle vecchie coordinate C alle nuove C′, allora [T]=Q[T]{C←B}P. È una composizione di tre mappe: convertire l’input, applicare T, convertire l’output. Nel caso endomorfismo con la stessa nuova base in ingresso e uscita, P da coordinate nuove a vecchie dà [T]=P⁻¹[T]_B P. La similarità non cambia il determinante, la traccia o il polinomio caratteristico: sono invarianti della trasformazione, non delle coordinate scelte.
Un controllo pratico è seguire un vettore arbitrario x′: il risultato deve soddisfare S_{B′}[T]{B′}x′=[T]{ m std}S_{B′}x′. L’identità matriciale equivalente è [T]{B′}=S⁻¹[T]{ m std}S è ortogonale e l’inversa è la trasposta; in basi oblique non si può sostituire l’inversa con la trasposta. Inoltre, non si trasformano le coordinate di un vettore come se fossero le colonne dei vettori base: sono oggetti collegati da una matrice e dal verso della conversione dichiarato.}. In un cambio fra basi ortonormali, S_{B′
Applicazione alla diagonalizzazione. Se P raccoglie colonne che sono autovettori scritti in coordinate standard, allora la colonna x di coordinate nella base propria rappresenta il vettore standard Px. Per ottenere le coordinate di Av nella stessa base, si calcola P⁻¹APx. Poiché AP=PD, risulta P⁻¹AP=D. Se gli autovettori sono ortonormali, P⁻¹=Pᵀ e la similitudine diventa una congruenza ortogonale PᵀAP. Non va confusa la diagonalizzazione per similitudine di un operatore con il cambio di variabili in una forma quadratica: quest’ultimo trasforma entrambi gli argomenti bilineari e conduce alla congruenza.
Approfondimento — Forma bilineare, quadratica e classificazione con conti espliciti
A una matrice simmetrica A corrispondono la forma bilineare simmetrica β(x,y)=xᵀAy e la forma quadratica q(x)=β(x,x). I coefficienti misti vanno trattati con attenzione: per A=[[a,b],[b,c]], q(x,y)=ax²+2bxy+cy². Il fattore 2 non è una convenzione decorativa: i due contributi A₁₂xy e A₂₁yx si sommano. Una matrice non simmetrica produce la stessa forma quadratica della sua parte simmetrica A_s=(A+Aᵀ)/2, perché xᵀ(A−Aᵀ)x=0: lo scalare è uguale alla propria trasposta e cambia segno trasponendo la matrice antisimmetrica.
Sotto un cambio di variabili x=Py, la forma diventa q(Py)=yᵀ(PᵀAP)y. La trasformazione della matrice è quindi A↦PᵀAP, detta congruenza. Se P è ortogonale, Pᵀ=P⁻¹, cosicché la congruenza coincide con una similarità e gli autovalori sono invariati. Per un P invertibile generale gli autovalori possono cambiare, ma il numero di direzioni positive, negative e nulle (inerzia) resta invariato. La ragione geometrica è che x↦Py è una corrispondenza biunivoca: i valori della forma lungo tutte le direzioni non vengono cancellati, solo rietichettati. Ciò spiega perché la firma è un invariante della forma, mentre i singoli coefficienti dipendono dalle coordinate.
Esempio di completamento del quadrato. Per q(x,y)=2x²+4xy+5y², la matrice è A=[[2,2],[2,5]], determinante 6 e traccia 7. Gli autovalori risolvono λ²−7λ+6=0 e sono 1 e 6, quindi la forma è definita positiva. Completando il quadrato: q=2(x+y)²+3y². La sostituzione u=x+y, v=y è invertibile e porta a 2u²+3v²; non è una diagonalizzazione ortogonale e quei coefficienti non sono gli autovalori. La matrice di trasformazione delle variabili è P=[[1,0],[1,1]] perché (x,y)ᵀ=P(u,v)ᵀ=(u,u+v)ᵀ? Questa parametrizzazione non corrisponde alla sostituzione scelta: da u=x+y, v=y segue x=u−v, y=v, quindi la matrice corretta è P=[[1,−1],[0,1]]. Il controllo PᵀAP=diag(2,3) conferma il completamento. I coefficienti 2 e 3 sono congruenti a quelli originali, non lo spettro di A; la distinzione evita di inferire invarianti sbagliati da un completamento non ortogonale.
Per diagonalizzare ortogonalmente si usano autovettori unitari. Nel medesimo esempio A ha autovalori 1 e 6; per λ=1, un autovettore è (-2,1), e per λ=6 uno è (1,2). Sono ortogonali, entrambi di norma √5. Prendendo Q=1/√5[[-2,1],[1,2]], si verifica QᵀQ=I e QᵀAQ=diag(1,6). Per x=Qz, q(x)=z₁²+6z₂²: le curve di livello positive sono ellissi con assi nelle direzioni dei due autovettori. La direzione con coefficiente 6 cresce più rapidamente nel valore della forma a parità di norma.
Una seconda lettura usa i minori principali, ma solo sotto ipotesi precise. Per una matrice simmetrica 2×2 A=[[a,b],[b,c]], positività definita equivale ad a>0 e det A>0: infatti q=a(x+(b/a)y)²+(det A/a)y². Per dimensione n, il criterio di Sylvester richiede positività di tutti i minori principali guida (determinanti dei blocchi in alto a sinistra di ordine 1,…,n); la sola positività degli elementi diagonali non basta. Per la semidefinitezza positiva, invece, il criterio dei soli minori guida non è equivalente: occorre richiedere non negativi tutti i minori principali. Ad esempio [[0,0],[0,1]] è semidefinita positiva benché il primo minore guida sia zero; il criterio “strettamente positivi” riguarda la definita positività.
Il segno di q può essere classificato senza disegnare le curve. Per A simmetrica, la decomposizione spettrale A=QΛQᵀ dà q(x)=Σᵢλᵢzᵢ², con z=Qᵀx. Autovalori tutti positivi danno positività definita; non negativi con almeno uno zero danno semidefinitezza positiva; valori di entrambi i segni implicano indefinitezza. Per esempio q=3x²+2xy+3y² ha autovalori 2 e 4, mentre q=x²−4xy+y² ha autovalori −1 e 3: le direzioni ortogonali (1,1) e (1,−1) danno valori di segno opposto. Se una funzione f(x)=q(x)+2cᵀx+d ha A definita positiva, il punto stazionario x=-A⁻¹c è un minimo globale unico, poiché f(x)=q(x-x)+f(x*). Se A è semidefinita, l’esistenza di un minimo richiede anche che la componente lineare sia nulla nelle direzioni nulle; altrimenti lungo una direzione piatta la funzione è lineare e può scendere senza limite. Questa condizione è spesso omessa e distingue una classificazione della sola parte quadratica dall’analisi completa della funzione.
Verifiche numeriche riproducibili degli esempi aggiunti
Per l’esempio QR, i prodotti esatti verificano QᵀQ=I₂, R=QᵀA, QR=[[1,1],[1,0],[0,1]] e per b=(1,2,0), Qᵀb=(3/√2,−1/√6). Il residuo r=b−QQᵀb soddisfa Qᵀr=0 e ||r||²=1/3. Per le coordinate, S_B(3,2)ᵀ=S_C(4,−3)ᵀ=(5,1)ᵀ e S_B⁻¹S_C(4,−3)ᵀ=(3,2)ᵀ. Per la forma quadratica, PᵀAP=diag(2,3) con P=[[1,−1],[0,1]], e gli autovalori di A sono 1 e 6 con autovettori ortogonali (-2,1),(1,2). Questi controlli sono stati valutati con aritmetica razionale e radicali esatti; non certificano una revisione esaustiva dell’intera dispensa.
Fonti e questioni aperte
Le fonti seguenti sono state consultate per confrontare definizioni e risultati circoscritti; il testo è una trattazione originale, non una traduzione. Sono state lette parti effettive di due manuali/corsi indipendenti, oltre alle pagine di orientamento MIT. La mappa esplicita i limiti: non equivale a una verifica integrale automatica né a revisione didattica completa.
- Gilbert Strang, MIT OpenCourseWare, 18.06SC Linear Algebra, Fall 2011, “Orthogonal Matrices and Gram-Schmidt”, lecture summary PDF, pp. 1–3, https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/least-squares-determinants-and-eigenvalues/orthogonal-matrices-and-gram-schmidt/ (pagina e PDF scaricato e letto). Il testo definisce colonne ortonormali tramite QᵀQ=I (p. 1), ricava la proiezione QQᵀ e semplifica i minimi quadrati (p. 2), costruisce Gram–Schmidt e identifica A=QR, R=QᵀA triangolare superiore (pp. 2–3). Confronto: la dispensa adotta gli stessi coefficienti di proiezione e la stessa convenzione QR per matrici a colonne indipendenti; rende esplicito il caso rettangolare e il residuo. Le pagine MIT consultate su matrici simmetriche/definitezza sono orientamento tematico, non la base della verifica dettagliata delle forme quadratiche.
- David Cherney, Tom Denton, Rohit Thomas, Linear Algebra, University of California, Davis, PDF, https://www.math.ucdavis.edu/~linear/linear-guest.pdf (file scaricato, estratto con pdftotext e sezioni lette direttamente). §13.2 “Change of Basis”, pp. 242–245, enuncia che le colonne della matrice di conversione sono le coordinate dei nuovi vettori nella vecchia base e sviluppa la trasformazione di matrice per mappe lineari. §14.4.1 “The Gram-Schmidt Procedure”, pp. 264–265, dà la ricorrenza di sottrazione delle proiezioni e un esempio in R³; §14.5 “QR Decomposition”, da p. 265, introduce la fattorizzazione QR. §15.0, pp. 278–280, dimostra ortogonalità di autovettori simmetrici con autovalori distinti e diagonalizzazione ortogonale; esempio 141/142 usa [[2,1],[1,2]] con autovalori 3 e 1. Confronto: le formule di cambio coordinate concordano con [v]_B=S_B⁻¹S_C[v]_C; Gram–Schmidt usa i medesimi coefficienti ⟨u,v⟩/⟨u,u⟩; per simmetriche la dimostrazione via trasposizione coincide con quella riportata qui. Paginazione è quella impressa nel PDF, non quella del visualizzatore.
Mappa realistica dei contenuti: §§1–4 della dispensa (sistemi, eliminazione, rango) sono temi introduttivi presenti nell’ampiezza generale delle fonti, ma non sono stati verificati riga per riga in questa revisione. §§5–8 (spazi, basi, mappe) sono confrontati in modo circoscritto con Davis §13.2 per i cambi di coordinate; il resto resta da verificare. §§9–11 (determinanti, autovalori e diagonalizzazione) non sono oggetto della lettura MIT appena citata; Davis §15.0 sostiene solo i risultati spettrali indicati. §§12–13 e nuovo approfondimento QR/proiezioni sono confrontati direttamente con MIT lecture summary pp. 1–3 e Davis §§14.4.1–14.5. Il capitolo 14 e l’approfondimento sulle forme quadratiche sono controllati qui tramite i calcoli autonomi e i risultati spettrali Davis §15.0, ma non si attribuisce a Davis in questa revisione una sezione specifica su tutti i criteri di definitezza citati. §§15–16 non sono stati mappati a pagine di fonte.
Questioni aperte: restano da verificare sistematicamente tutte le dimostrazioni, la copertura di ogni capitolo e la compatibilità col programma di un corso specifico; il criterio di Sylvester e le condizioni di esistenza del minimo con matrice semidefinita meritano controllo indipendente dedicato. La verifica numerica degli esempi nuovi usa identità esatte, ma non è una revisione automatica completa né una certificazione dell’intero testo. Sono esclusi trattazione estesa dei complessi, forma di Jordan, SVD dettagliata e geometrie non euclidee.
Le fonti seguenti sono state consultate per verificare l’ampiezza e l’ordine dei temi; la dispensa è una trattazione originale, non una traduzione né una trascrizione. La verifica riguarda le sezioni indicate, non una revisione integrale di tutti i materiali associati ai corsi.
- MIT OpenCourseWare, Linear Algebra, corso 18.06, Gilbert Strang, https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ — istituzione: Massachusetts Institute of Technology. Sezione verificata: “Course Description”, che dichiara sistemi di equazioni, spazi vettoriali, determinanti, autovalori, similarità e matrici definite positive; pagina del corso consultata direttamente. Limite: non verificati uno per uno i video, gli esercizi e tutti i materiali del corso.
- David Cherney, Tom Denton, Rohit Thomas, Linear Algebra, University of California, Davis, https://www.math.ucdavis.edu/~linear/linear-guest.pdf — istituzione: University of California, Davis. Fonte indipendente rispetto a MIT; il PDF è disponibile, ma non è stato possibile verificarne integralmente il testo. Limite esplicito: non si attestano capitoli o sezioni verificati direttamente nel PDF; il titolo/autori e il collegamento sono corroborati dall’indicizzazione e dal file disponibile, ma non si usa questa fonte per affermazioni puntuali della dispensa.
Mappa di verifica: Capitoli 1–4 (sistemi, Gauss, matrici, rango) e 9–12 (determinanti, autovalori, diagonalizzazione, ortogonalità e minimi quadrati) rientrano nell’ampiezza tematica dichiarata dalla descrizione MIT; la descrizione non documenta ogni dettaglio tecnico. Capitoli 5–8 e 13–15 (spazi e basi, mappe, forme quadratiche, geometria affine e strategie) sono coerenti con il programma generale di algebra lineare, ma non vengono attribuiti a una sezione specifica del PDF Davis non leggibile.
Questioni aperte: verificare manualmente indice e pagine del testo Davis in una copia con testo estraibile; consultare le singole unità OCW per associare ogni argomento a lezioni specifiche; un docente dovrebbe adattare notazione, livello di rigore e convenzioni del corso. Non sono inclusi sistemi di numeri complessi in modo esteso, forma di Jordan, SVD dettagliata o geometrie non euclidee.