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Matematica · Scuola Superiore · Secondo biennio
In breve
Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot, permette di trovare un lato di un triangolo conoscendo gli altri due e l’angolo compreso. Letto al contrario, permette di ricavare un angolo dai tre lati. È un’estensione di Pitagora: funziona anche quando il triangolo non è rettangolo. Imparerai a scegliere l’angolo giusto, controllare se i dati descrivono davvero un triangolo e interpretare il risultato prima di affidarti alla calcolatrice.
1. Il problema che Pitagora non risolve da solo
Due sentieri partono dallo stesso punto e formano un angolo di 60°. Conoscere la lunghezza dei due percorsi non basta per usare direttamente Pitagora sulla distanza fra i loro estremi: manca l’angolo retto. Serve una relazione che tenga conto di quanto i sentieri sono aperti.
Consideriamo un triangolo ABC. Chiamiamo a = BC, b = CA, c = AB. Ogni lettera minuscola indica il lato opposto al vertice con la stessa lettera maiuscola. Scriveremo A anche per la misura dell’angolo al vertice A: è l’angolo compreso fra b e c, non quello fra a e b.
Per un triangolo non degenere vale:
a² = b² + c² − 2bc cos A.
Per gli altri vertici basta rispettare la stessa corrispondenza:
b² = a² + c² − 2ac cos B; c² = a² + b² − 2ab cos C.
Il termine −2bc cos A corregge la somma dei quadrati. Non è un’aggiunta facoltativa. Il teorema e le tre forme sono riportati in [1, riquadro “Law of Cosines”] e [2, p. 4.6.2, “2. The cosine rule”].
Prima di cominciare. Servono Pitagora, distanza fra punti, seno e coseno e i loro segni fra 0° e 180°. Usa lunghezze positive nella stessa unità e angoli interni compresi strettamente fra 0° e 180°. Per i calcoli di questa lezione imposta la calcolatrice su DEG.
2. Perché funziona: una dimostrazione in coordinate
Mettiamo A nell’origine e AB sull’asse orizzontale. Allora A = (0, 0), B = (c, 0). Poiché AC ha lunghezza b e forma l’angolo A con l’asse, il punto C ha coordinate (b cos A, b sin A).
La differenza orizzontale fra B e C è c − b cos A; quella verticale è b sin A. La formula della distanza dà:
a² = (c − b cos A)² + (b sin A)²
Sviluppiamo il quadrato e raccogliamo b²:
a² = c² − 2bc cos A + b²(cos² A + sin² A).
L’identità cos² A + sin² A = 1 elimina la parentesi. Rimane proprio a² = b² + c² − 2bc cos A. Non abbiamo supposto che A sia acuto: se è ottuso, la coordinata orizzontale di C è negativa, ma la formula della distanza continua a funzionare. Il percorso segue la costruzione in coordinate di [1, “Using the Law of Cosines to Solve Oblique Triangles”, Figure 2].
3. Il segno racconta la forma
Se A = 90°, cos A = 0: il termine correttivo scompare e ritroviamo Pitagora. Se A è acuto, il coseno è positivo e a² < b² + c². Se A è ottuso, il coseno è negativo: sottrarre un numero negativo fa aumentare il risultato, quindi a² > b² + c².
Queste relazioni classificano l’angolo A. Per classificare l’intero triangolo basta fare il confronto rispetto al lato più lungo, che si trova di fronte all’angolo maggiore. Non basta trovare un angolo acuto per concludere che tutti lo siano.
4. Due domande, due procedure
Cerchi un lato? Conosci due lati e il loro angolo compreso. Calcola prima il quadrato del lato mancante, poi prendi la radice positiva: una lunghezza non è negativa.
Cerchi un angolo? Conosci i tre lati. Controlla che il maggiore sia minore della somma degli altri due; con lati positivi questa condizione garantisce un triangolo non degenere. Isola quindi:
cos A = (b² + c² − a²)/(2bc)
A = arccos[(b² + c² − a²)/(2bc)].
La funzione arccos restituisce l’unico angolo geometrico compatibile fra 0° e 180° [1, Example 2, “Analysis”; 2, p. 4.6.2, esempio risolto]. Non indica il reciproco del coseno. Un rapporto fuori da [−1, 1] richiede un controllo dei dati o del calcolo; ±1 corrisponde a un caso degenere, non a un triangolo valido.
5. Esempi svolti
Esempio 1 · Due lati e l’angolo compreso
Un triangolo ha b = 7 cm, c = 10 cm e A = 60°. Troviamo a.
Scelta. L’angolo noto è proprio fra i due lati conosciuti: possiamo applicare il teorema direttamente. Poiché cos 60° = 1/2:
a² = 7² + 10² − 2 · 7 · 10 · (1/2)
a² = 49 + 100 − 70 = 79 cm².
Dunque a = √79 cm ≈ 8,89 cm.
Commento. Non abbiamo sottratto 140: quel prodotto va ancora moltiplicato per il coseno. La lunghezza ottenuta è compresa fra 10 − 7 = 3 e 10 + 7 = 17 cm, come richiede un triangolo. Inoltre 79 < 149, coerentemente con l’angolo acuto di 60°. Usiamo il valore esatto √79 nei passaggi successivi, non quello già arrotondato.
Esempio 2 · Tre lati per trovare un angolo
Sono dati a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm. Quanto misura A?
Esistenza. Il lato più lungo misura 9 cm e 9 < 7 + 8 = 15: il triangolo esiste. Ricaviamo il coseno dell’angolo opposto al lato da 7 cm:
cos A = (8² + 9² − 7²)/(2 · 8 · 9)
cos A = (64 + 81 − 49)/144 = 96/144 = 2/3.
Sulla calcolatrice inseriamo arccos(2/3), in gradi:
A ≈ 48,19°.
Commento. Il coseno è positivo e l’angolo è acuto. Il risultato è plausibile anche perché A è opposto al lato più corto. Non serve trovare prima gli altri due angoli e non bisogna arrotondare 2/3 a 0,7: si perderebbe precisione inutilmente.
Controllo autonomo. Nel primo esempio puoi mettere B = (10, 0) e C = (7/2, 7√3/2). La distanza al quadrato vale (13/2)² + (7√3/2)² = (169 + 147)/4 = 79. È un modo diverso di verificare lo stesso risultato, non un nuovo dato da memorizzare.
Esempio 3 · Una distanza non percorribile direttamente
Da un punto O si osservano due punti A e B oltre una zona non attraversabile. Si conoscono OA = 120 m, OB = 80 m e l’angolo interno AOB = 110°. Assumiamo un modello piano e dati esatti per l’esercizio. Quanto distano A e B?
I segmenti di lunghezza nota partono entrambi da O; il lato cercato AB è opposto all’angolo di 110°. Quindi:
AB² = 120² + 80² − 2 · 120 · 80 · cos 110°
AB² = 20 800 − 19 200 cos 110° ≈ 27 366,79 m².
Prendendo la radice senza arrotondare prima il valore in memoria:
AB ≈ 165,43 m.
Commento. Il coseno di 110° è negativo: la distanza è maggiore di quella che avremmo con un angolo retto. È comunque minore di 120 + 80 = 200 m e maggiore di 120 − 80 = 40 m. Questi controlli non sostituiscono il calcolo, ma possono far scoprire un errore di segno.
6. Gli errori da prevenire
L’angolo sbagliato. Se conosco b e c, nella formula del lato a deve comparire A, l’angolo fra b e c. Un angolo non compreso non permette la stessa sostituzione diretta; può richiedere un’altra procedura.
La svolta scambiata per l’angolo interno. Se percorro OA e poi, arrivato in A, devio di 30° rispetto alla prosecuzione del cammino, l’angolo del triangolo OAB al vertice A misura 150°, non 30°. Il raggio AO punta all’indietro rispetto al cammino precedente. Nell’esercizio 8 renderai visibile questa differenza con uno schizzo.
Il quadrato scambiato per una lunghezza. Se trovi a² = 79 cm², il lato non misura 79 cm: devi estrarre la radice positiva.
La calcolatrice usata senza controlli. Verifica DEG prima di cos e arccos; mantieni tutte le cifre fino al risultato finale. In questa lezione le lunghezze finali sono arrotondate al centesimo dell’unità indicata, gli angoli al centesimo di grado, salvo valori esatti.
Un triangolo inventato da tre numeri. Tre lunghezze qualsiasi non sono necessariamente lati di un triangolo. Controlla prima il maggiore: se è uguale alla somma degli altri due hai una figura appiattita; se è maggiore, il triangolo non esiste.
7. Esercizi
Disegna e nomina il triangolo prima di calcolare. Dove non sono indicate unità diverse, tutte le lunghezze sono in centimetri. Mostra la formula, il termine correttivo e almeno un controllo del risultato. Usa DEG; arrotonda soltanto alla fine.
1 · Il primo lato
Nel triangolo ABC, b = 6, c = 8, A = 60°. Trova a in forma esatta e al centesimo. Spiega perché a² è minore di b² + c².
2 · Il segno meno non basta
Sono dati b = 5, c = 9, A = 120°. Trova a. Spiega perché il termine contenente il coseno fa aumentare a².
3 · L’angolo nascosto
Un triangolo ha a = 13, b = 7, c = 8. Verifica l’esistenza e trova A senza arrotondamenti. È l’angolo maggiore? Giustifica.
4 · Classificare senza arccos
Per ciascuna terna (a, b, c), stabilisci se l’angolo A è acuto, retto o ottuso, confrontando i quadrati: (8, 6, 7), (10, 6, 8), (12, 6, 8). Perché in questi tre casi il confronto permette anche di classificare il triangolo intero?
5 · Fermarsi prima della formula
Uno studente vuole costruire un triangolo con lati a = 2, b = 3, c = 6. Può farlo? Indica il controllo decisivo e spiega perché non ha senso cercarne gli angoli.
6 · Trova l’errore autentico
Con b = 7, c = 8 e A = 60°, una studentessa scrive: «a² = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 cos 60° = 49 + 64 − 112 = 1, quindi a = 1». Individua il passaggio scorretto, correggi il risultato e usa la disuguaglianza triangolare per smascherare anche il valore 1.
7 · Un isoscele, due strade
Un triangolo ha b = c = 9 e A = 40°. Trova a, poi B e C. Controlla il lato dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli mediante l’altezza dal vertice A.
8 · Cammino e distanza non coincidono
Da O cammini per 4 km fino ad A; poi prosegui per 6 km fino a B, deviando di 30° rispetto alla prosecuzione rettilinea di OA, sempre nello stesso piano. Disegna la svolta e l’angolo interno OAB. Trova la distanza in linea retta OB e confrontala con i chilometri percorsi.
8. Soluzioni commentate · Esercizi 1–4
1 · Un angolo acuto riduce il quadrato
a² = 6² + 8² − 2 · 6 · 8 · (1/2) = 100 − 48 = 52.
Quindi a = √52 = 2√13 cm ≈ 7,21 cm. Il quadrato è minore di 100 perché cos 60° è positivo e sottraiamo 48. La lunghezza rispetta 8 − 6 < a < 8 + 6, cioè 2 < a < 14. Il valore 52 è un’area in cm², non la misura del lato.
2 · Sottrarre un numero negativo
Poiché cos 120° = −1/2:
a² = 5² + 9² − 2 · 5 · 9 · (−1/2)
a² = 25 + 81 + 45 = 151.
Dunque a = √151 cm ≈ 12,29 cm. Il termine correttivo aumenta il quadrato: l’angolo ottuso apre maggiormente i due lati. Controlliamo 9 − 5 < a < 9 + 5, cioè 4 < a < 14. Un risultato inferiore a √106 sarebbe incoerente con l’angolo di 120°.
3 · Prima l’esistenza, poi l’inversa
Il lato maggiore è 13 e 13 < 7 + 8 = 15, quindi il triangolo esiste. Per l’angolo opposto:
cos A = (7² + 8² − 13²)/(2 · 7 · 8)
cos A = (49 + 64 − 169)/112 = −56/112 = −1/2.
Ne segue A = 120°, esattamente. È l’angolo maggiore perché è opposto al lato più lungo. Il segno negativo era già sufficiente a riconoscerlo come ottuso; arccos ne determina la misura.
4 · Il confronto fra quadrati
- (8, 6, 7): a² = 64 < 36 + 49 = 85. L’angolo A è acuto.
- (10, 6, 8): a² = 100 = 36 + 64. L’angolo A è retto.
- (12, 6, 8): a² = 144 > 36 + 64 = 100. L’angolo A è ottuso.
Tutte le terne definiscono triangoli: il maggiore è rispettivamente minore di 13, 14 e 14. In ciascuna terna a è anche il lato maggiore: A è quindi l’angolo maggiore. I triangoli sono rispettivamente acutangolo, rettangolo e ottusangolo. Se il lato esaminato non fosse il maggiore, trovare un angolo acuto non basterebbe a classificare l’intera figura.
9. Soluzioni commentate · Esercizi 5–8
5 · Nessun triangolo
Il lato maggiore misura 6, ma 2 + 3 = 5 < 6. Gli altri due segmenti non riescono a congiungerne gli estremi: il triangolo non esiste. Non ci sono angoli interni da calcolare; una formula non può rendere compatibili dati impossibili.
6 · Il coseno è stato dimenticato
La formula iniziale è corretta, la valutazione del prodotto no: 2 · 7 · 8 · cos 60° = 112 · (1/2) = 56, non 112. Allora a² = 113 − 56 = 57, quindi a = √57 cm ≈ 7,55 cm. Il valore proposto a = 1 produrrebbe 1 + 7 = 8: un caso degenere, non un triangolo con angolo di 60°. Il risultato corretto soddisfa 1 < a < 15.
7 · La simmetria offre un controllo
a² = 9² + 9² − 2 · 9 · 9 cos 40° = 162(1 − cos 40°), da cui a ≈ 6,16 cm. I lati b e c sono uguali, quindi B = C = (180° − 40°)/2 = 70°. L’altezza dall’apice A divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli e dimezza l’angolo di 40°. Per ciascuna metà, a/2 = 9 sin 20°; dunque a = 18 sin 20° ≈ 6,16 cm. I due procedimenti concordano.
8 · Usa l’angolo interno
La svolta è 30°, ma OAB = 180° − 30° = 150°. Dunque OB² = 4² + 6² − 2 · 4 · 6 cos 150° = 52 + 24√3. Otteniamo OB = √(52 + 24√3) km ≈ 9,67 km, minore dei 10 km camminati. Per controllare, scegli OA orizzontale: B ha coordinate (4 + 6 cos 30°, 6 sin 30°) = (4 + 3√3, 3). La distanza dall’origine ha quadrato (4 + 3√3)² + 3² = 52 + 24√3. Sostituire 30° nella formula standard dei lati del triangolo darebbe la configurazione sbagliata.
Fonti per approfondire
[1] OpenStax, Precalculus 2e, §8.2, “Non-right Triangles: Law of Cosines”. Riquadro “Law of Cosines” e Figure 3: enunciato; “Using the Law of Cosines to Solve Oblique Triangles”, Figure 2: dimostrazione in coordinate; Example 2, “Solving for an Angle of a SSS Triangle”, e “Analysis”: inversione e unicità; Example 4: distinzione fra svolta e angolo interno. Leggi la sezione.
[2] mathcentre, Engineering Maths First Aid Kit, “4.6 The sine rule and cosine rule”, © Pearson Education Ltd 2000. Introduzione a p. stampata 4.6.1 (PDF p. 1): dati necessari; “2. The cosine rule”, p. stampata 4.6.2 (PDF p. 2): tre formule e esempio di ricavo degli angoli da tre lati. Apri il PDF della fonte.
Le due fonti sono indipendenti. Esempi, consegne e soluzioni di questa lezione sono originali; i controlli di esistenza e il confronto acuto/retto/ottuso sono esplicitati come deduzioni geometriche della trattazione.
Revisione docente: APERTA. Prova in classe: APERTA.