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Matematica · Scuola Superiore · Biennio avanzato o avvio del secondo biennio
In breve
Un piano che attraversa un cubo non produce sempre un quadrato: può far comparire anche triangoli, rettangoli ed esagoni. Impariamo a ricostruire la sezione seguendo le facce, a distinguere il disegno dalle misure reali e a calcolare lati e aree con Pitagora. Il caso sorprendente è un esagono regolare nascosto al centro del cubo.
Prerequisiti: facce e spigoli del cubo, parallelismo e perpendicolarità nello spazio, Pitagora, radicali e area del triangolo equilatero. Le coordinate servono soltanto alla verifica facoltativa. Obiettivi: costruire tre sezioni, motivarne la forma, calcolarne misure e spiegare il limite di sei lati. Tempo proposto: 75 minuti, da adattare alla classe.
1. Che cosa significa sezionare
Una sezione piana è la figura ottenuta intersecando un solido con un piano: comprende la regione interna, non soltanto il contorno. Non è l’ombra del cubo e non è una sua faccia vista di sbieco. Questa definizione segue MathWorld, voce Cross Section, primo paragrafo [1].
Il piano lascia su ogni faccia attraversata una traccia rettilinea. Per ricostruire il contorno, individua i punti d’incontro con gli spigoli e unisci quelli che appartengono alla stessa faccia. Non collegare punti soltanto perché sembrano vicini nel disegno.
Consideriamo sezioni non degeneri, cioè con area positiva, e piani che non coincidono con una faccia. Il poligono è convesso e ha al massimo sei lati: ciascuna delle sei facce può contribuire al più un segmento. Una faccia quadrata è convessa, quindi la sua intersezione con una retta non può essere composta da due segmenti separati. Se il piano coincide con una faccia, la sezione è semplicemente un quadrato; un piano tangente può invece dare soltanto un segmento o un punto.
Regola di lettura delle figure: sono viste oblique, non disegni metrici. Segmenti uguali nello spazio possono apparire diversi sul foglio. Il righello sul disegno non dimostra né lunghezze né angoli.
2. Due sezioni costruite con Pitagora
Indichiamo con a > 0 lo spigolo del cubo.
Esempio svolto 1 — Un triangolo vicino a un vertice
Segna i punti medi L, M, N dei tre spigoli uscenti dallo stesso vertice. Il piano che li contiene incontra il cubo nel triangolo LMN. I suoi tre lati si trovano su tre facce diverse.
Ogni lato è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti a/2 e a/2. Dunque:
ℓ = √[(a/2)² + (a/2)²] = a/√2.
I tre lati sono uguali: la sezione è equilatera. Il suo perimetro è 3a/√2 e la sua area è (√3/4)ℓ² = √3·a²/8.
Con a = 4 cm: ℓ = 2√2 cm, perimetro = 6√2 cm, area = 2√3 cm². Non è un triangolo di lato a: i suoi vertici si trovano a metà degli spigoli.
Esempio svolto 2 — Un rettangolo diagonale
Chiama A, B, C, D i vertici consecutivi della base e E, F, G, H quelli corrispondenti della faccia superiore, con E sopra A. Il piano contiene le diagonali AC ed EG e gli spigoli verticali AE e CG. La sezione è ACGE.
Le diagonali delle facce sono parallele e lunghe a√2; gli spigoli verticali sono paralleli e lunghi a. Inoltre AE è perpendicolare al piano della base, quindi anche ad AC: la sezione è un rettangolo, non un rombo.
Dimensioni a e a√2; perimetro 2a(1 + √2); area a²√2. Per a = 4 cm, l’area è 16√2 cm². La diagonale di faccia a√2 non va confusa con la diagonale del cubo a√3.
3. Esempio svolto 3 — L’esagono nascosto
Considera il piano che passa per il centro O del cubo ed è perpendicolare alla diagonale spaziale AG. Esso incontra sei spigoli nei punti medi: P di BC, Q di CD, R di DH, S di HE, T di EF, U di FB. Segui il contorno nell’ordine P–Q–R–S–T–U–P. Ogni coppia consecutiva appartiene a una faccia. Il caso è descritto anche in MathWorld, voce Cube, figura “CubeHexagon” e paragrafo immediatamente successivo [2].
Su ogni faccia, un lato della sezione unisce i punti medi di due spigoli perpendicolari. Con Pitagora, PQ = QR = … = UP = a/√2. Ma sei lati uguali, da soli, non dimostrano la regolarità di un esagono.
Anche la distanza dal centro O a ciascun vertice misura a/√2: i due spostamenti perpendicolari sono a/2 e a/2. Perciò ogni triangolo OPQ, OQR, …, OUP ha tre lati uguali ed è equilatero. I sei angoli al centro sono di 60° e ogni angolo interno dell’esagono è di 120°. Abbiamo così dimostrato che la sezione è regolare.
Il perimetro è 6a/√2 = 3a√2. Sommando le aree dei sei triangoli equilateri:
Area = 6 · (√3/4) · (a/√2)² = 3√3·a²/4.
Per a = 4 cm: lato 2√2 cm, perimetro 12√2 cm, area 12√3 cm². Triangolo dell’esempio 1 ed esagono hanno lo stesso lato, ma non la stessa area.
Verifica facoltativa con le coordinate
Poni A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a,a,0), D = (0,a,0), con la faccia superiore a quota z = a. Il cubo è descritto da 0 ≤ x,y,z ≤ a. I sei punti medi sono:
P = (a,a/2,0); Q = (a/2,a,0); R = (0,a,a/2); S = (0,a/2,a); T = (a/2,0,a); U = (a,0,a/2).
Tutti soddisfano x + y + z = 3a/2, che descrive un piano e contiene anche O = (a/2,a/2,a/2). Questa uguaglianza verifica che i sei punti sono complanari: scegliere sei punti medi qualsiasi non sarebbe sufficiente. I piani dei primi due esempi sono, rispettivamente, x + y + z = a/2 e x = y.
4. Attività — Costruisci e difendi la tua sezione
Lavoro a coppie, 20 minuti. Occorrono fogli quadrettati, matita, righello e squadra. Si lavora solo su carta: non occorre tagliare oggetti né cibo.
- Disegnate un cubo in vista obliqua e assegnate A, B, C, D alla base ed E, F, G, H ai vertici superiori corrispondenti. Assumete a = 4 cm per i calcoli, non come misura da trasferire alla vista obliqua.
- Segnate P, Q, R, S, T, U sui sei spigoli indicati nell’esempio 3. Prima di tracciare ogni lato, scrivete la faccia che lo contiene: per esempio PQ appartiene alla base ABCD.
- Su un foglio distinto disegnate un quadrato di lato 4 cm in vera grandezza. Unite i punti medi di due lati consecutivi: ritrovate un lato della sezione e calcolatelo con Pitagora.
- Ricostruite l’esagono in vera forma, come unione di sei triangoli equilateri. Potete usare ℓ ≈ 2,83 cm per il disegno, conservando ℓ = 2√2 cm nei calcoli.
- Confrontate la vista obliqua con la figura in vera forma. Scrivete una spiegazione di tre righe: quali proprietà derivano dai calcoli e quali non si possono ricavare misurando la proiezione?
Consegna: un disegno con le sei facce associate ai lati, un calcolo esatto di lato e area, e una motivazione della regolarità. Un’altra coppia controlla che ogni lato rimanga sulla sua faccia e che non sia stato confuso uno spigolo con una diagonale.
Riscontro atteso: PQ sulla base, QR sulla faccia CDHG, RS sulla faccia DAEH, ST sulla faccia EFGH, TU sulla faccia ABFE, UP sulla faccia BCGF; lato 2√2 cm e area 12√3 cm². Sei triangoli equilateri spiegano gli angoli uguali: non basta contare sei lati.
Attenzione: esagonale non significa regolare
Spostando il piano centrale parallelamente a se stesso si possono ancora ottenere sei lati, ma di lunghezze diverse. La simmetria del piano centrale è essenziale. Il limite di sei lati riguarda il numero di facce, non la regolarità del poligono.
Domanda d’uscita: perché non può esistere una sezione del cubo con sette lati? Rispondi senza affidarti alla prospettiva.
Percorso suggerito (75 minuti): 10 minuti per definizione e previsione, 20 per gli esempi, 20 per l’attività, 20 per gli esercizi selezionati e 5 per il confronto finale. Gli altri esercizi possono essere assegnati a casa.
5. Esercizi — Prima prova da solo
Mantieni i radicali nei risultati esatti. Indica le unità di misura. Le soluzioni sono nella pagina successiva; le coordinate compaiono solo nell’approfondimento del n. 5.
1. Un taglio parallelo alla base. In un cubo di spigolo 6 cm, il piano è parallelo alla base e si trova a 3 cm da essa. Qual è la sezione? Calcola perimetro e area. Spiega perché non è un rettangolo con un lato di 3 cm.
2. Tre punti medi. In un cubo di spigolo 8 cm, il piano passa per i punti medi dei tre spigoli uscenti da un vertice. Trova lato, perimetro e area della sezione.
3. Il rettangolo diagonale. Per un cubo di spigolo 5 cm considera la sezione ACGE dell’esempio 2. Calcola dimensioni, perimetro e area. Spiega perché non è un quadrato.
4. L’esagono centrale. Per a = 4 cm calcola lato, perimetro e area dell’esagono centrale. Quale argomento dimostra che i suoi angoli sono tutti uguali?
5. Due affermazioni da giudicare. Sono vere o false? Motiva: (a) «Ogni sezione esagonale di un cubo è regolare»; (b) «Una sezione piana di un cubo può avere sette lati». Approfondimento facoltativo: nel cubo [0,a]³ considera x + y + z = 5a/4 e confronta due lati consecutivi.
6. Problema inverso. L’esagono centrale regolare ha lato 3 cm. Quanto misura lo spigolo del cubo? Calcola anche perimetro e area dell’esagono, senza confonderli con superficie e volume del cubo.
6. Soluzioni commentate
1. La sezione è un quadrato congruente alla base, di lato 6 cm: P = 24 cm, area = 36 cm². La quota di 3 cm indica dove si trova il piano, non una dimensione del quadrato. Un piano parallelo alla base, interno al cubo, attraversa le quattro facce laterali.
2. Ogni lato è l’ipotenusa con cateti 4 cm e 4 cm: ℓ = 4√2 cm. Quindi P = 12√2 cm, area = (√3/4)(4√2)² = 8√3 cm². Non usare 8 cm come lato del triangolo: 8 cm è lo spigolo del cubo.
3. Le dimensioni sono 5 cm e 5√2 cm. Ne seguono P = 10(1 + √2) cm e area = 25√2 cm². L’angolo retto viene dalla perpendicolarità dello spigolo verticale al piano della base; i lati adiacenti sono diversi, quindi non è un quadrato.
4. ℓ = 2√2 cm, P = 12√2 cm, area = 12√3 cm². Ogni raggio dal centro O a un vertice misura quanto il lato: i sei triangoli centrali sono equilateri. Due angoli di 60° formano ciascun angolo interno di 120°. Lati uguali da soli non basterebbero.
5. Entrambe false. (a) Un piano spostato rispetto al centro può dare sei lati senza renderli tutti uguali. Per verificarlo analiticamente, per x + y + z = 5a/4 prendi in ordine:
(a,a/4,0), (a/4,a,0), (0,a,a/4), (0,a/4,a), (a/4,0,a), (a,0,a/4).
Le distanze tra vertici consecutivi alternano 3a√2/4 e a√2/4: è un esagono non regolare. Il calcolo delle distanze su ciascuna faccia usa ancora Pitagora. (b) Ogni faccia può fornire al più un lato del contorno della sezione e le facce sono sei. Sette lati sono impossibili; i tratti disegnati all’interno non sono lati aggiuntivi.
6. Da ℓ = a/√2 segue a = ℓ√2 = 3√2 cm. Il perimetro dell’esagono è 18 cm e la sua area è 6·(√3/4)·3² = 27√3/2 cm². Sono misure della figura piana, non del solido: l’area va espressa in cm², non cm³.
Fonti per approfondire
Testo, figure, esempi e attività sono un’elaborazione originale. I riferimenti sostengono definizioni e proprietà; le figure non sono riprodotte dalle fonti.
[1] Eric W. Weisstein, MathWorld, “Cross Section”. Primo paragrafo: definizione come intersezione di un solido con un piano e distinzione dei possibili profili del cubo. https:/
[2] Eric W. Weisstein, MathWorld, “Cube”. Figura “CubeCutByPlanes” e tabella successiva (cubo unitario centrato nell’origine); figura “CubeHexagon” e paragrafo successivo sulla sezione esagonale regolare. Qui usiamo invece il cubo [0,a]³: le equazioni sono traslate e le misure scalate. https:/
[3] Eric W. Weisstein, MathWorld, “Regular Hexagon”. Formula (8), area in funzione del lato; formula (4), raggio circoscritto uguale al lato. https:/
Revisione docente e prova in classe: aperte