Scarica la lezione con attività e soluzioni (PDF, 7 pagine)
Scheda breve
Materia: Fisica · Livello: scuola secondaria di secondo grado, secondo biennio o quinto anno. Prerequisiti: temperatura, scambio di calore, grafici cartesiani, potenze ed esponenziali; i logaritmi servono soltanto per alcuni approfondimenti. Tempo indicativo: una lezione di 55–60 minuti per modello ed esercizi; un’ulteriore sessione per la prova sperimentale.
Una bevanda calda si raffredda più rapidamente all’inizio e più lentamente quando si avvicina alla temperatura della stanza. In condizioni abbastanza stabili, il modello di Newton descrive questo andamento con un’esponenziale. A diminuire della stessa frazione in intervalli uguali non è la temperatura letta sul termometro: è la differenza fra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente.
Obiettivi: distinguere temperatura e differenza di temperatura; leggere il significato della costante di tempo; stimare una temperatura futura; riconoscere quando i dati non sostengono il modello. La proposta include dati sintetici per lavorare senza strumenti e un protocollo facoltativo da svolgere con il docente.
1. La domanda giusta: quanti gradi sopra l’ambiente?
Immagina due tazze uguali nella stessa stanza: una contiene acqua a 50 °C, l’altra acqua a 30 °C. La stanza è a 20 °C. Non basta dire che entrambe sono più calde dell’aria: la prima ha uno scarto termico di 30 °C, la seconda di 10 °C. Se tutte le altre condizioni sono uguali e il modello di Newton è applicabile, la prima scambia inizialmente calore verso l’ambiente con una potenza circa tripla.
Indichiamo con T(t) la temperatura del corpo al tempo t, con Tₐ quella dell’ambiente e con θ(t) = T(t) − Tₐ lo scarto termico. Per un corpo inizialmente più caldo, θ è positivo e diminuisce. Una differenza di 10 °C corrisponde a una differenza di 10 K: nelle differenze i valori numerici coincidono, anche se lo zero delle due scale è diverso. Non vale invece l’uguaglianza fra le temperature assolute: 20 °C non sono 20 K.
Il riferimento all’ambiente è indispensabile. Un oggetto a 30 °C si raffredda in una stanza a 20 °C, ma si riscalda in un ambiente a 40 °C. Il verso dello scambio dipende dalla differenza, non dal valore isolato di T.
2. Il modello di Newton
Il modello assume che, in un dato intervallo di condizioni, la rapidità di variazione della temperatura sia proporzionale allo scarto termico, con verso opposto:
dT/dt = −k(T − Tₐ), con k > 0.
Se non hai ancora studiato le derivate, leggi dT/dt come «rapidità istantanea con cui cambia la temperatura». Il segno meno dice che una temperatura superiore a quella ambiente sta diminuendo. Il parametro k misura quanto velocemente avviene l’avvicinamento: si esprime in min⁻¹ se il tempo è in minuti, in s⁻¹ se il tempo è in secondi. Un valore di k non può essere usato cambiando unità del tempo senza convertirlo.
Con ambiente costante, la soluzione è:
T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ) · exp(−kt).
T₀ è la temperatura all’istante scelto come t = 0; exp(x) significa e elevato a x. In termini di scarto:
θ(t) = θ₀ · exp(−kt), con θ₀ = T₀ − Tₐ.
Il modello prevede una curva, non una retta. In intervalli di tempo uguali, θ si riduce della stessa frazione. I gradi persi, invece, diventano sempre meno. A parità di condizioni il rapporto θ(t + Δt)/θ(t) è exp(−kΔt), indipendente dall’istante di partenza.
Da dove arriva l’esponenziale? Un passaggio facoltativo
Poiché Tₐ è costante, dθ/dt = −kθ. Per θ diverso da zero si separano le variabili: dθ/θ = −k dt. Integrando si ottiene ln|θ| = −kt + C; usando θ(0) = θ₀ si ricava θ(t) = θ₀ exp(−kt). Lo scarto nullo è a sua volta una soluzione: se il corpo parte alla temperatura ambiente, il modello lo mantiene a quella temperatura.
3. La costante di tempo non è il tempo necessario per raffreddarsi del tutto
Si definisce τ = 1/k, la costante di tempo. La formula diventa:
T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ) · exp(−t/τ).
Dopo un intervallo pari a τ resta una frazione 1/e, circa il 36,8%, dello scarto iniziale. Dopo 2τ resta circa il 13,5%; dopo 3τ circa il 5,0%. Una τ più grande indica un avvicinamento più lento, quando le altre condizioni del confronto sono equivalenti.
Nel modello ideale il corpo non raggiunge esattamente Tₐ in un tempo finito: ci si avvicina sempre di più. Un termometro reale, invece, ha risoluzione e incertezza finite; a un certo punto può mostrare lo stesso valore della stanza. «Indistinguibile con questo strumento» non significa «uguaglianza matematica esatta».
Un altro tempo utile è quello di dimezzamento dello scarto, t½ = τ ln 2, circa 0,693τ. Non si dimezza la temperatura in °C: si dimezza T − Tₐ.
4. Un esempio guidato
Consideriamo un modello con Tₐ = 20 °C, T₀ = 50 °C e τ = 10 min. Dopo 10 min:
T(10) = 20 + 30 · exp(−1) ≈ 31,0 °C.
Lo scarto è passato da 30 °C a circa 11,0 °C. Non si calcola 50 · exp(−1), perché quel calcolo dimenticherebbe l’ambiente. Dopo altri 10 min:
T(20) = 20 + 30 · exp(−2) ≈ 24,1 °C.
Nei primi dieci minuti si perdono circa 19,0 °C; nei dieci successivi circa 7,0 °C. La frazione residua dello scarto è uguale nei due intervalli, ma i gradi persi non lo sono.
5. Quando il modello è ragionevole, e quando no
Il modello richiede una temperatura del corpo abbastanza uniforme da poter essere rappresentata da un solo valore e un ambiente la cui temperatura cambi poco. Occorre inoltre che il parametro k resti approssimativamente costante durante la prova. In un liquido questo può richiedere un rimescolamento dolce e ripetibile; il sensore non deve appoggiarsi alla parete o al fondo.
In un modello termico concentrato semplice, la potenza termica ceduta si scrive P = hA(T − Tₐ). Se la capacità termica complessiva C è costante, C dT/dt = −P e quindi τ = C/(hA). Qui h è un coefficiente di scambio termico, A una superficie efficace e C si misura in J/K. Solo quando il contenitore è trascurabile e il corpo ha calore specifico c costante si può porre C = mc. Non è necessario conoscere h per stimare τ da misure di temperatura.
Una tazza aperta non è un sistema perfetto: conduzione attraverso il contenitore, convezione nell’aria, evaporazione e irraggiamento possono contribuire allo scambio. Un singolo k può descriverne approssimativamente l’effetto complessivo in un intervallo limitato; non è una proprietà universale dell’acqua. Cambiare quantità d’acqua, recipiente, coperchio o ventilazione può cambiare la curva.
Se la stanza cambia temperatura, un ventilatore si accende, l’acqua evapora sensibilmente o il sensore non segue subito la temperatura, una sola esponenziale può non descrivere bene tutti i dati. Non si deve obbligare l’esperimento ad aderire alla formula: si discutono gli scarti e si rivedono le ipotesi. Il modello qui presentato non descrive un passaggio di stato.
6. Attività con dati sintetici: trova la regola, non soltanto il numero
Questi dati sono costruiti per l’attività: non sono misure raccolte in classe. Si assume Tₐ = 20,0 °C costante. Le temperature sono arrotondate al decimo di grado.
| t (min) | T (°C) |
|---|---|
| 0 | 50,0 |
| 4 | 40,1 |
| 8 | 33,5 |
| 12 | 29,0 |
| 16 | 26,1 |
| 20 | 24,1 |
- Aggiungi una colonna con θ = T − 20,0 °C.
- Calcola i gradi persi in ciascun intervallo di quattro minuti. Sono costanti?
- Calcola i rapporti fra scarti consecutivi. Quale regolarità noti?
- Rappresenta T in funzione di t. Disegna anche la retta orizzontale T = 20 °C. Un modello lineare può essere estrapolato per molto tempo?
- Usando soltanto inizio e fine, stima τ con la formula τ = t / ln(θ₀/θ(t)). Spiega perché il risultato non è esattamente 10 min.
- Approfondimento: riporta in grafico ln[θ(t)/θ₀] contro t. Se il modello funziona, che forma e pendenza ti aspetti? Il rapporto dentro il logaritmo è adimensionale.
7. Prova facoltativa con il docente
Servono un recipiente stabile e resistente al calore, poca acqua tiepida, un termometro adatto al liquido, un secondo termometro per la stanza, un cronometro e un vassoio. Il docente prepara e versa l’acqua, indicativamente a 40–45 °C; niente acqua bollente, fiamme o apparecchi collegati alla rete vicino ai liquidi. Non bere l’acqua della prova. Se strumenti o condizioni non sono adatti, si usa soltanto l’attività cartacea.
Prima di iniziare, il docente controlla integrità e idoneità degli strumenti. Mantieni il recipiente lontano dal bordo del banco ed evita movimenti bruschi; se si versa acqua, interrompi la prova e avvisa subito il docente, che mette in sicurezza e asciuga l’area.
Registra temperatura dell’acqua e della stanza all’inizio e poi ogni minuto per 15–20 minuti. Scegli e annota una procedura di rimescolamento dolce, identica per tutte le letture. Tieni fisso il sensore, senza contatto con le pareti; annota quando inizi a contare il tempo e quanto è stabile la prima lettura. Non attribuire al termometro più cifre di quante ne consenta la sua risoluzione.
Prepara le colonne t, T acqua, T ambiente e θ. Se la stanza varia sensibilmente, non applicare automaticamente la soluzione con Tₐ costante. Se θ diventa confrontabile con l’incertezza delle temperature, i rapporti e i logaritmi diventano poco affidabili: non calcolare ln di valori nulli o negativi e non cancellare dati senza motivazione.
Confronta la curva ottenuta con il modello. Se possibile stima τ su un intervallo e controlla su un punto successivo non usato per la stima. Consegna grafico, parametri con unità, descrizione degli scarti e almeno un limite della prova. Un buon risultato non è necessariamente una curva perfetta: è un confronto motivato tra previsione e osservazione.
8. Esercizi
1. Quale grandezza diminuisce esponenzialmente?
Una tazza è inizialmente a 44 °C in una stanza a 20 °C. Dopo un certo intervallo lo scarto termico si dimezza. Qual è la nuova temperatura? Spiega perché non è 22 °C.
2. Previsione con la costante di tempo
Un corpo parte da 45 °C in un ambiente a 25 °C, con τ = 8 min. Calcola T dopo 4 min e dopo 16 min. Usa il medesimo modello in entrambi i casi.
3. Ricavare τ da due letture
In una stanza a 20 °C un corpo passa da 60 °C a 40 °C in 6 min. Supponendo valido il modello, determina τ e k in min⁻¹. Quanto varrebbe k in s⁻¹?
4. Quanto bisogna aspettare?
Per il corpo dell’esercizio 3, quanto tempo complessivo occorre dall’inizio per raggiungere 25 °C? Usa la forma t = τ ln[(T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ)].
5. Il modello vale anche per riscaldarsi?
Un oggetto a 10 °C viene posto in un ambiente a 22 °C. La costante di tempo è 5 min. Calcola T dopo 5 min e indica il segno di dT/dt all’inizio. Il modello prevede un superamento dei 22 °C?
6. Due curve, due tempi
Due sistemi partono da 50 °C nella stessa stanza a 20 °C. Il primo ha τ = 5 min, il secondo τ = 15 min. Confronta le temperature dopo 5 min. Puoi concludere, soltanto da questi valori di τ, che il secondo materiale ha calore specifico maggiore?
7. Un andamento sospetto
Una tabella dichiara, in una stanza a 20 °C: 50 °C a t = 0 min, 40 °C a 5 min, 30 °C a 10 min e 20 °C a 15 min. È coerente esattamente con un solo modello di Newton con k costante? Giustifica usando i rapporti degli scarti e discuti l’ultimo valore senza confondere misura e previsione ideale.
8. Controllo di una formula
Uno studente propone T(t) = T₀ exp(−t/τ) per una stanza a 20 °C. Trova due controlli che rivelano il problema. La stessa scrittura potrebbe essere corretta per una grandezza diversa da T?
9. Soluzioni commentate
Attività con dati sintetici
Gli scarti sono 30,0; 20,1; 13,5; 9,0; 6,1; 4,1 °C. Le perdite successive sono 9,9; 6,6; 4,5; 2,9; 2,0 °C: diminuiscono. I rapporti fra scarti consecutivi sono circa 0,670; 0,672; 0,667; 0,678; 0,672. Sono vicini a exp(−4/10) ≈ 0,670; le piccole differenze dipendono dall’arrotondamento.
Il grafico della temperatura scende e si appiattisce verso 20 °C. Una retta con pendenza negativa costante finirebbe sotto l’ambiente e non descriverebbe l’avvicinamento all’equilibrio in queste condizioni. Dai valori iniziale e finale si ottiene τ = 20/ln(30/4,1) ≈ 10,05 min: il dato finale è stato arrotondato. Il grafico di ln[θ/θ₀] in funzione del tempo è approssimativamente una retta passante per l’origine, con pendenza −1/τ, qui circa −0,10 min⁻¹. Con misure reali non ci si aspetta un allineamento perfetto.
1. Si dimezza lo scarto
All’inizio θ₀ = 44 − 20 = 24 °C. Dopo il dimezzamento θ = 12 °C, quindi T = 20 + 12 = 32 °C. Il risultato 22 °C dimezzerebbe la lettura Celsius invece della differenza rispetto alla stanza.
2. Due previsioni
Lo scarto iniziale è 20 °C. Si ottiene T(4) = 25 + 20 exp(−0,5) ≈ 37,1 °C e T(16) = 25 + 20 exp(−2) ≈ 27,7 °C. Il secondo valore è più vicino a 25 °C, senza scendere al di sotto dell’ambiente.
3. Dimezzamento e unità
Lo scarto passa da 40 °C a 20 °C: sei minuti sono il tempo di dimezzamento. Perciò τ = 6/ln 2 ≈ 8,66 min e k = ln 2/6 ≈ 0,1155 min⁻¹. Poiché un minuto contiene 60 secondi, k ≈ 0,001925 s⁻¹. La costante di tempo equivale a circa 519 s. Non si moltiplica k per 60: il suo valore per secondo deve essere più piccolo.
4. Tre dimezzamenti
A 25 °C lo scarto è 5 °C. Dallo scarto iniziale di 40 °C occorre una riduzione a un ottavo: t = (6/ln 2) ln 8 = 18 min. Si può ragionare anche con tre dimezzamenti successivi, ciascuno di sei minuti. Dalla lettura intermedia a 40 °C restano invece 12 minuti.
5. Avvicinamento dal basso
Lo scarto iniziale è −12 °C. Quindi T(5) = 22 − 12/e ≈ 17,6 °C. All’inizio dT/dt = −(1/5)(10 − 22) = +2,4 °C/min: la temperatura aumenta. La formula rimane sempre inferiore a 22 °C per ogni tempo finito e non prevede un superamento dell’ambiente. Il segno negativo dello scarto non rende negativo l’esponenziale.
6. Confrontare senza attribuire cause arbitrarie
Dopo 5 min il primo sistema è a 20 + 30/e ≈ 31,0 °C; il secondo a 20 + 30 exp(−1/3) ≈ 41,5 °C. Il secondo si avvicina più lentamente all’ambiente. Non basta per assegnargli un calore specifico maggiore: τ dipende anche da massa, contenitore, superficie e condizioni di scambio. Per isolare l’effetto del materiale occorre controllare queste variabili.
7. Una retta non è l’esponenziale richiesta
Gli scarti sono 30, 20, 10 e 0 °C. Nei primi due intervalli i rapporti sono 20/30 = 2/3 e 10/20 = 1/2: non coincidono. La tabella non corrisponde esattamente a un unico k costante. Inoltre uno scarto esattamente nullo non si raggiunge in un tempo finito nel modello ideale, partendo da uno scarto non nullo. Una lettura strumentale pari alla temperatura ambiente può però riflettere arrotondamento o incertezza: da sola non dimostra né confuta il modello. In una prova vera si valutano precisione e scarti complessivi, non soltanto l’ultima cifra.
8. Condizioni iniziali e limite
La formula proposta dà correttamente T(0) = T₀, ma per tempi molto grandi tende a 0 °C anziché a 20 °C: questo controllo basta a respingerla per l’ambiente indicato. Inoltre, se T₀ = 20 °C, prevede un raffreddamento mentre il corpo dovrebbe restare all’equilibrio. La forma θ(t) = θ₀ exp(−t/τ) è invece corretta per lo scarto termico, nelle ipotesi del modello. La stessa forma per T sarebbe possibile con ambiente a zero nella scala utilizzata, ma non nel caso proposto.
10. Fonti per approfondire
La spiegazione e gli esercizi sono una rielaborazione originale; le tabelle didattiche sono sintetiche. Le seguenti fonti sono indipendenti fra loro e sostengono il modello, il significato di τ e il confronto sperimentale.
- St. Lawrence University, Department of Physics, Heat Flow: Newton’s Law of Cooling, revisione del 25 agosto 2021. Testo online. Localizzatori: Introduction, Theory (decadimento esponenziale dello scarto, definizione del tempo al 37%), Experiment, punti 1–2 (acqua e ambiente misurati separatamente), Analysis, punti 1–2, e Report, secondo punto (discussione degli scarti iniziali).
- Professor McCarthy, Mat 501, BMCC — CUNY Academic Commons, Newton’s Law of Cooling, versione web senza numero d’edizione o data generale dichiarati; esempi sperimentali del 2018, nota di verifica dei servizi R aggiornata a marzo 2022. Testo online. Localizzatori: Model e derivazione fino a «We arrive at Newton’s Law of Cooling» (equazione e soluzione); Warning (limiti dell’approssimazione); Note sul riscaldamento; Finding k (stima tramite logaritmi).
- Vernier Science Education, Physics with Vernier, esperimento 30: Newton’s Law of Cooling, estratto pubblico online, edizione del singolo protocollo non specificata. Presentazione dell’esperimento. Localizzatori: Introduction, equazioni e ultimo capoverso; Objectives. L’estratto è stato consultato come confronto didattico supplementare, non come accesso al manuale integrale.
Revisione docente e prova in classe: aperte