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Progressioni aritmetiche: contare i passi, trovare i termini, calcolare le somme

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Matematica · Scuola superiore
Prerequisiti: operazioni con numeri relativi e frazioni, equazioni di primo grado. Una proposta per il biennio o per il ripasso: la collocazione precisa dipende dal percorso di studi.

In una sala, la prima fila ha 14 posti. Ogni fila successiva ne ha 3 in più. Quanti posti ci sono nella dodicesima fila? E quanti in tutta la sala, se le file sono dodici? Le due domande si assomigliano, ma non chiedono la stessa cosa: una cerca un termine, l’altra una somma.

Scheda in breve

  • Una progressione aritmetica è una successione in cui, per passare da un termine al successivo, si aggiunge sempre lo stesso numero, chiamato ragione e indicato qui con d.
  • Partiamo dall’indice 1: a₁ è il primo termine, aₙ è quello in posizione n, con n intero positivo.
  • Regola passo per passo: aₙ₊₁ = aₙ + d, per n ≥ 1, insieme al valore iniziale a₁.
  • Termine generale: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
  • Somma dei primi n termini: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n − 1)d]/2.
  • Se d > 0 i termini crescono; se d < 0 diminuiscono; se d = 0 restano uguali.
  • Attenzione: aₙ è un solo termine; Sₙ è il totale dei primi n termini.

1. Che cosa deve restare uguale?

Considera la successione definita così: si parte da 6 e si aggiunge sempre 4. I primi termini sono:

6, 10, 14, 18, 22, …

Le differenze tra termini consecutivi valgono tutte 4: 10 − 6 = 4, 14 − 10 = 4, e così via per la regola assegnata. La progressione ha a₁ = 6 e d = 4. Non è necessario che i termini siano positivi o crescenti: anche 9, 6, 3, 0, −3, …, ottenuti sottraendo sempre 3, formano una progressione aritmetica.

Confronta ora i numeri 3, 6, 12, 24. Le differenze sono 3, 6, 12: cambiano. Questi quattro termini non formano una progressione aritmetica. Raddoppiare non significa aggiungere una quantità fissa.

Un limite da ricordare. Se conosci soltanto un elenco iniziale come 6, 10, 14, non puoi garantire che tutti i termini successivi seguiranno la stessa regola. Puoi riconoscere una differenza costante nel tratto mostrato; per estenderla serve una regola o l’ipotesi esplicita che la successione sia aritmetica. Definizione e notazione sono approfondite in [1, §9.2] e [2, §3].

2. Perché compare n − 1?

Dal primo al secondo termine fai un passo. Dal primo al terzo ne fai due. Dal primo al decimo ne fai nove. Ecco perché il termine in posizione n è:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Il controllo più rapido consiste nel mettere n = 1: ottieni a₁ + 0d = a₁, proprio ciò che deve succedere.

Esempio svolto: la dodicesima fila

Riprendiamo la sala: a₁ = 14 posti e d = 3 posti per ogni fila successiva. Per arrivare alla fila 12 ci sono 11 passaggi:

a₁₂ = 14 + (12 − 1) · 3 = 14 + 33 = 47 posti.

Il risultato 50, ottenuto facendo 14 + 12 · 3, conterebbe un aumento di troppo: sarebbe il numero di posti della tredicesima fila.

Esempio svolto: una progressione che scende

Una progressione ha a₁ = 25 e d = −4. Qual è l’ottavo termine?

a₈ = 25 + 7 · (−4) = 25 − 28 = −3.

Controlliamo scrivendo i primi otto termini: 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1, −3. Il segno negativo non è un errore: la progressione numerica continua anche sotto zero. In un problema concreto, invece, dovremmo chiederci se valori negativi abbiano senso.

3. Quando non conosci il primo termine

Se sai che la successione è aritmetica e conosci due termini, puoi contare i passaggi fra le loro posizioni. In generale:

a_q − a_p = (q − p)d, per p e q interi positivi con q > p.

Supponiamo che a₄ = 11 e a₉ = 31. Fra la posizione 4 e la posizione 9 ci sono 5 passaggi, non 9:

d = (31 − 11)/(9 − 4) = 20/5 = 4.

Per risalire dal quarto termine al primo togli tre volte la ragione:

a₁ = 11 − 3 · 4 = −1.

La formula è quindi aₙ = −1 + 4(n − 1). Due controlli: per n = 4 ritrovi 11; per n = 9 ritrovi 31. Il metodo non richiede che il primo termine sia positivo.

4. La somma: il trucco è scriverla due volte

Torniamo alla sala con 12 file. Sapere che l’ultima fila ha 47 posti non basta: dobbiamo sommare i posti di tutte le file.

Scriviamo una somma aritmetica nei due ordini:

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁

Sommando in colonna, ogni coppia vale a₁ + aₙ. Infatti, quando un termine aumenta di d, il suo compagno diminuisce di d. Le coppie sono n, ma abbiamo contato due volte la somma:

2Sₙ = n(a₁ + aₙ), dunque Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

La dimostrazione funziona anche se n è dispari: non stiamo dividendo un singolo elenco in coppie; stiamo affiancando due copie dell’elenco. Sostituendo aₙ = a₁ + (n − 1)d ottieni l’altra forma:

Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2.

La derivazione completa e le due forme equivalenti si trovano in [2, §4, pp. 5–6].

Esempio svolto: tutti i posti della sala

Ora conosciamo il primo termine, l’ultimo e il numero di file:

S₁₂ = 12 · (14 + 47)/2 = 6 · 61 = 366 posti.

Un controllo concreto: i posti della prima e dell’ultima fila fanno 61; anche quelli della seconda e della penultima fanno 17 + 44 = 61. Le 12 file si possono raggruppare in 6 coppie, quindi 6 · 61 = 366.

Tre errori da fermare prima del risultato

Usare n aumenti anziché n − 1. Disegna quattro posizioni: fra loro ci sono tre intervalli.

Confondere un termine con il totale. Nella sala, 47 è il numero di posti dell’ultima fila; 366 è la capienza complessiva.

Arrotondare una posizione. Gli indici sono interi positivi. Se un’equazione restituisce n = 8,5, quel valore non identifica un termine. Può servire a risolvere una domanda di soglia, ma non prova l’appartenenza alla successione. Se d ≠ 0, un numero L è un termine esattamente quando n = 1 + (L − a₁)/d è intero positivo. Se d = 0, tutti i termini valgono a₁: L compare solo se L = a₁.

5. Prova tu

Per ogni esercizio scrivi i dati, la formula scelta e almeno un controllo. Negli esercizi 2–7 le successioni sono dichiarate aritmetiche. Puoi svolgere i calcoli senza calcolatrice; il PDF lascia spazio per i passaggi.

1. Riconoscere. Quali dei seguenti elenchi finiti sono progressioni aritmetiche? Indica la ragione quando esiste.
A: 12, 8, 4, 0.
B: 2, 6, 18, 54.
C: −3, −3, −3, −3.

2. Trovare un termine. Se a₁ = −5 e d = 3, calcola a₁₇.

3. Frazioni. Se a₁ = 7/2 e d = −1/2, calcola a₁₀. Poi verifica che a₉ + d = a₁₀.

4. Due posizioni note. Sai che a₃ = 8 e a₈ = 28. Trova d, a₁ e a₁₂.

5. Una somma. Calcola la somma dei primi 15 termini della progressione con a₁ = 4 e d = 3.

6. C’è davvero quel termine? Nella progressione aₙ = 5 + 6(n − 1), verifica separatamente se compaiono 77 e 80. Se un numero compare, indica la posizione.

7. Quanto metti da parte? Marta mette in una scatola 8 euro nella prima settimana, poi ogni settimana versa 2 euro in più della precedente. Non toglie denaro. Quanto versa nella decima settimana? Quanto ha accumulato alla fine delle dieci settimane? Sono dati inventati per l’esercizio: non ci sono interessi o altri versamenti.

8. Trova l’errore. Una progressione è definita da a₁ = 4 e d = 5. Luca scrive: «aₙ = 4 + 5n, quindi a₁ = 9». Correggi la formula e spiega da dove viene l’errore.

6. Soluzioni commentate

1. Conta le differenze, non i rapporti

A è aritmetica, con d = −4: 8 − 12 = −4, 4 − 8 = −4, 0 − 4 = −4. B non è aritmetica: le differenze valgono 4, 12 e 36. C è aritmetica, con d = 0: un elenco costante è un caso valido, non un’eccezione da scartare. Per A e C la conclusione riguarda gli elenchi finiti dati; un eventuale proseguimento richiederebbe una regola.

2. Sedici aumenti

a₁₇ = −5 + 16 · 3 = −5 + 48 = 43.
Controllo: a₁₆ = −5 + 15 · 3 = 40; aggiungendo ancora 3 ottieni 43. Partire da un termine negativo non cambia la formula.

3. Mantieni le frazioni fino alla fine

a₁₀ = 7/2 + 9 · (−1/2) = (7 − 9)/2 = −1.
Il termine precedente è a₉ = 7/2 − 8/2 = −1/2. Quindi a₉ + d = −1/2 − 1/2 = −1. Anche qui il passaggio attraverso lo zero è del tutto lecito.

4. Prima la ragione, poi il primo termine

Tra il terzo e l’ottavo termine ci sono 5 passaggi:

d = (28 − 8)/(8 − 3) = 20/5 = 4.
a₁ = a₃ − 2d = 8 − 8 = 0.
a₁₂ = 0 + 11 · 4 = 44.

Controllo alternativo dell’ultimo risultato: dall’ottavo al dodicesimo termine ci sono 4 passaggi, quindi 28 + 4 · 4 = 44.

5. Trova l’ultimo termine prima di sommare

a₁₅ = 4 + 14 · 3 = 46.
S₁₅ = 15 · (4 + 46)/2 = 15 · 25 = 375.

Per controllare senza riutilizzare la stessa formula, separa il termine centrale, a₈ = 25. I rimanenti 14 termini formano 7 coppie da 50: 7 · 50 + 25 = 375. Il numero dispari di termini non è un problema.

6. Un indice non si arrotonda

Per 77 risolvi 5 + 6(n − 1) = 77: ottieni 6(n − 1) = 72, quindi n = 13. Il numero compare: a₁₃ = 77.

Per 80 ottieni 6(n − 1) = 75, quindi n = 27/2 = 13,5. Non è un intero: 80 non compare. Infatti a₁₃ = 77 e a₁₄ = 83; non c’è un termine fra quelle due posizioni.

7. Versamento e denaro accumulato sono due quantità diverse

Il versamento della decima settimana è:

a₁₀ = 8 + 9 · 2 = 26 euro.

Il denaro accumulato dopo dieci settimane è invece:

S₁₀ = 10 · (8 + 26)/2 = 5 · 34 = 170 euro.

Controllo diretto: 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 = 170. Rispondere soltanto «26 euro» alla domanda sul totale significherebbe dimenticare le prime nove settimane.

8. Il primo termine c’è già

La formula corretta è aₙ = 4 + 5(n − 1). Luca ha contato n aumenti invece di n − 1. Con la sua formula, il valore iniziale 4 si troverebbe all’indice 0, mentre l’esercizio stabilisce che si parte dall’indice 1. Controllo: per n = 1 la formula corretta dà 4; per n = 2 dà 9.

Prima di chiudere il quaderno

Sai spiegare perché nella formula del termine compare n − 1? Sai distinguere aₙ da Sₙ senza guardare gli esempi? Riesci a controllare un risultato usando il termine precedente, una somma diretta o le coppie di estremi? Se una risposta è incerta, torna al passaggio corrispondente: serve più di un risultato giusto per aver capito il meccanismo.

Fonti per approfondire

[1] OpenStax, College Algebra 2e, §9.2, “Arithmetic Sequences”. In particolare: “Finding Common Differences”, “Using Recursive Formulas for Arithmetic Sequences”, “Using Explicit Formulas for Arithmetic Sequences” e “Finding the Number of Terms in a Finite Arithmetic Sequence”. Definizione, ricorrenza, termine generale e conteggio dei termini. Leggi il capitolo.

[2] mathcentre, Arithmetic and geometric progressions, fascicolo mcTY-apgp-2009-1. §3 “Arithmetic progressions”, pp. 4–5: definizione e termine generale; §4 “The sum of an arithmetic series”, pp. 5–6: dimostrazione e formule della somma. I numeri indicano le pagine stampate del fascicolo. Leggi il PDF della fonte.

Le spiegazioni e gli esercizi di questa lezione sono originali; le fonti servono a controllare i concetti e le formule, non sono la provenienza dei dati inventati degli esercizi.

Revisione docente: APERTA. Prova in classe: APERTA.