Principio di Archimede: perché si galleggia e che cosa misura il dinamometro

Fisica · Scuola superiore
Percorso introduttivo sui fluidi. Collocazione proposta: biennio, da adattare al programma della classe. Tempo indicativo: 50–60 minuti, più gli esercizi. Servono il concetto di forza, il peso, la densità e le conversioni di volume.

Per ripassare prima di iniziare: densità e misure indirette e pressione nei fluidi.

Scheda in breve

L’acqua esercita una spinta verso l’alto anche su un oggetto che affonda. Nel modello idrostatico, la spinta di Archimede ha intensità S = ρₗ g Vᵢ: dipende dalla densità del liquido e dal volume immerso, non direttamente dalla massa dell’oggetto. Per capire che cosa succede bisogna confrontarla con il peso e considerare le eventuali altre forze. Un corpo che galleggia fermo, senza appoggi o fili, riceve una spinta uguale al suo peso. Un dinamometro che sostiene un corpo immerso legge invece la tensione del filo: nel caso descritto sotto, T = mg − S.

Alla fine saprai: distinguere volume totale e volume immerso; calcolare una spinta e una lettura del dinamometro; prevedere quanto volume resta sott’acqua quando un corpo galleggia.

1. Una pietra non diventa più leggera

Prova a immaginare una pietra appesa a un filo. Prima la tieni fuori dall’acqua, poi la immergi senza farle toccare il fondo. La mano deve tirare meno. La pietra non ha perso materia e la gravità non si è indebolita: è comparsa una forza verso l’alto esercitata dall’acqua.

Quella forza c’è anche quando lasci andare la pietra e la vedi affondare. Affondare non significa non ricevere spinta: significa, nel modello iniziale senza altre forze rilevanti, che il peso supera la spinta.

In questa lezione consideriamo acqua o un altro liquido fermo, con densità uniforme, e g costante. Trascuriamo la spinta dell’aria, la tensione superficiale e la resistenza dovuta al movimento. I corpi sono rigidi, non assorbono acqua e non cambiano volume. Non studiamo oggetti appoggiati e sigillati sul fondo: il liquido deve poter esercitare la pressione sulla superficie immersa. Le cifre degli esercizi sono dati didattici assegnati, non misure raccolte in laboratorio.

2. Da dove arriva la spinta

La pressione di un liquido fermo cresce con la profondità. La parte inferiore di un corpo immerso riceve quindi una pressione maggiore di quella superiore. La somma delle forze di pressione produce una risultante verso l’alto.

Per vederlo senza formule complicate, pensa a un blocchetto rettangolare completamente immerso. La sua faccia orizzontale superiore ha area A; quella inferiore ha la stessa area ed è più in basso di h. Le spinte laterali si compensano. Tra sotto e sopra la differenza di pressione è ρₗgh; moltiplicandola per A ottieni:

S = (ρₗgh)A = ρₗgVᵢ, perché Ah è il volume immerso.

Il principio di Archimede estende il risultato oltre questo blocchetto: la spinta ha intensità uguale al peso del fluido spostato dal corpo. «Spostato» non vuol dire necessariamente versato fuori dal recipiente: è il liquido che occuperebbe lo spazio preso dalla parte immersa del corpo.

Nella formula:

Attenzione alla densità: qui entra quella del liquido, non quella del materiale del corpo. Controlla anche le unità: (kg/m³) × (m/s²) × m³ = kg·m/s² = N.

Per i calcoli useremo g = 9,8 m/s² e, quando si tratta di acqua, ρₗ = 1000 kg/m³, come approssimazioni didattiche. Ricorda: 1 L = 0,001 m³; 1 cm³ = 0,000001 m³.

3. Le forze vanno contate tutte

Disegna il corpo come un punto e aggiungi le frecce delle forze che agiscono su quel corpo.

• Corpo libero nel liquido: peso mg verso il basso; spinta S verso l’alto. Se parte da fermo, S < mg significa accelerazione iniziale verso il basso; S > mg significa accelerazione iniziale verso l’alto. Se S = mg e non ci sono altre forze, l’accelerazione è nulla: può restare fermo, ma l’uguaglianza da sola non impone una velocità nulla.
• Corpo fermo appeso a un filo verticale dall’alto: peso verso il basso; spinta e tensione T del filo verso l’alto. L’equilibrio richiede T + S − mg = 0, quindi T = mg − S. Stiamo considerando un corpo abbastanza denso da mantenere teso il filo, con mg > S.
• Corpo che galleggia fermo alla superficie: senza filo, carichi esterni o appoggi, S = mg. La spinta non è maggiore del peso: in equilibrio lo bilancia.

La risultante nulla non garantisce, da sola, che l’equilibrio sia stabile: per saperlo bisogna considerare che cosa succede dopo una piccola perturbazione.

Il dinamometro misura una forza, in newton. La sua lettura nel secondo caso viene chiamata peso apparente. La massa del corpo resta la stessa. Se una formula ti dà T negativa, non significa che il filo dall’alto spinga il corpo in basso: significa che l’equilibrio ipotizzato con quel filo teso non è possibile.

4. Esempio svolto: immerso, ma ancora sostenuto

Un corpo rigido ha massa 0,60 kg e volume 200 cm³. È completamente immerso in acqua e resta fermo, appeso a un dinamometro. Non tocca il recipiente. Quanto legge lo strumento?

Prima il volume: 200 cm³ = 0,000200 m³. Poiché il corpo è completamente immerso, tutto questo volume sposta acqua.

Poi la spinta: S = 1000 × 9,8 × 0,000200 = 1,96 N.

Il peso: mg = 0,60 × 9,8 = 5,88 N.

Infine l’equilibrio: T = 5,88 − 1,96 = 3,92 N, circa 3,9 N con due cifre significative.

Lo strumento legge meno che in aria, dove nel nostro modello leggerebbe circa 5,88 N. Se tagliassi il filo, il corpo inizierebbe a scendere: il peso supera la spinta. Questo conferma anche che l’ipotesi del filo teso dall’alto è coerente.

5. Quanto resta sott’acqua?

Un corpo meno denso del liquido può galleggiare con una parte emersa. Quando è fermo, senza altre forze verticali, vale:

ρₗgVᵢ = mg.

Se V è il volume totale del corpo, la sua densità media è ρ_c = m/V. Sostituendo m = ρ_cV e semplificando g otteniamo:

Vᵢ/V = ρ_c/ρₗ.

A sinistra c’è una frazione di volume, non automaticamente una frazione di altezza. Le due frazioni coincidono, per esempio, per un blocco a sezione orizzontale costante che galleggia senza inclinarsi. Non coincidono in generale per una sfera.

La relazione riguarda il galleggiamento libero in equilibrio. Se ρ_c/ρₗ supera 1, richiederebbe più volume immerso del volume disponibile: quel corpo non può galleggiare libero alla superficie nelle condizioni considerate. Se le densità sono uguali, il corpo completamente immerso è in equilibrio indifferente rispetto alla profondità nel modello uniforme.

Per un corpo cavo, bisogna riferire massa e volume allo stesso insieme: pareti, contenuto e spazio chiuso che non viene invaso dal liquido. Non basta confrontare la densità del solo materiale delle pareti con quella dell’acqua.

Esempio svolto: un blocco che galleggia

Un blocco omogeneo ha volume 500 cm³ e densità 600 kg/m³. Galleggia liberamente in acqua.

La frazione immersa è 600/1000 = 0,60, cioè il 60% del volume. Quindi Vᵢ = 0,60 × 500 = 300 cm³. Restano emersi 200 cm³, il 40%.

Verifichiamo con le forze: la massa è 600 × 0,000500 = 0,300 kg; il peso è 2,94 N. Il volume immerso sposta acqua per 0,000300 m³, che produce S = 1000 × 9,8 × 0,000300 = 2,94 N. I due risultati si incontrano: è un buon controllo.

Esempio svolto: aggiungiamo un piccolo carico

Un contenitore rigido e chiuso galleggia in acqua. Aggiungiamo sopra un carico di 0,15 kg, senza sommergere completamente il contenitore né inclinarlo. Il carico resta fuori dall’acqua. Quanto volume in più deve immergersi?

Il sistema «contenitore più carico» deve ricevere una spinta aggiuntiva uguale al peso aggiunto:

ρₗgΔVᵢ = Δmg, quindi ΔVᵢ = Δm/ρₗ.

ΔVᵢ = 0,15/1000 = 0,000150 m³ = 150 cm³.

Non abbiamo calcolato una nuova altezza di immersione: per farlo occorrerebbe conoscere la geometria. Il risultato vale solo finché c’è volume disponibile, il contenitore resta chiuso e l’equilibrio resta stabile.

6. Attività: una previsione e una prova semplice

Prima ragiona sui dati

Un piccolo oggetto rigido viene appeso a un dinamometro. In aria lo strumento legge 2,45 N. Lo immergiamo del tutto in acqua: legge 1,47 N. Il corpo è fermo e non tocca il recipiente.

1. Disegna le forze sul corpo immerso.
2. Ricava la spinta dalla differenza delle letture.
3. Calcola il volume del corpo e la sua massa.
4. Spostandolo più in basso, sempre completamente immerso, ti aspetti una lettura diversa?

Questi sono dati simulati, scelti per rendere il calcolo leggibile. Non sono il resoconto di un esperimento già effettuato.

Se lavori in laboratorio

Con l’insegnante, usa un dinamometro, un piccolo corpo compatto impermeabile, un filo e un recipiente di plastica con acqua a temperatura ambiente. Scegli un corpo che affondi, entro la portata dello strumento. Non usare elettricità, oggetti taglienti o recipienti di vetro.

Annota la lettura in aria; immergi completamente il corpo, elimina eventuali bolle aderenti e aspetta che sia fermo. Il filo deve restare verticale e il corpo non deve toccare né fondo né pareti. Registra la lettura e la risoluzione dello strumento; ripeti tre volte senza cambiare corpo. Asciuga subito eventuali schizzi.

Confronta la diminuzione della lettura con la spinta prevista da S = ρₗgVᵢ, se conosci il volume da una misura separata. Se i valori non coincidono esattamente, non correggere i dati per farli tornare: controlla contatti, bolle, oscillazioni, conversioni e risoluzione. La prova illustra il modello; non è una procedura di misura di precisione.

7. Errori che cambiano davvero la risposta

«Uso sempre il volume totale.» Solo se il corpo è completamente immerso. Un corpo che galleggia può spostare molto meno liquido del suo volume totale.

«Se affonda, la spinta è zero.» No: può ricevere una spinta importante, ma inferiore al peso.

«Più scende, più cresce la spinta.» Non per un corpo rigido già del tutto immerso nello stesso liquido a densità uniforme: aumenta la pressione sia sopra sia sotto, ma la differenza che produce la spinta rimane la stessa.

«Se galleggia, la spinta vince.» Durante una risalita può superare il peso; nel galleggiamento fermo e libero lo uguaglia.

«Una lettura di 3,92 N è una massa.» No: è una forza. I chilogrammi misurano la massa; i newton misurano le forze.

8. Esercizi

In tutti gli esercizi numerici usa g = 9,8 m/s². L’acqua ha densità assegnata 1000 kg/m³. Valgono le ipotesi della lezione.

1 · Le unità prima delle formule. Converti in m³: a) 75 cm³; b) 0,80 L. Qual è il volume da usare per un corpo di 0,80 L immerso per metà del proprio volume?

2 · La spinta non dice tutto. Un oggetto di volume 150 cm³ è completamente immerso in acqua. Calcola la spinta. Puoi stabilire se, lasciato libero da fermo, sale o scende conoscendo soltanto questo volume? Spiega.

3 · Il dinamometro. Un corpo di massa 0,40 kg e volume 100 cm³ è fermo, completamente immerso in acqua, sostenuto da un filo dall’alto. Calcola peso, spinta e tensione del filo.

4 · La parte emersa. Un blocco omogeneo di volume 750 cm³ e densità 800 kg/m³ galleggia in acqua, libero e fermo. Trova frazione immersa, volume immerso e volume emerso.

5 · Cambia il liquido. Un corpo rigido di volume 250 cm³ è completamente immerso prima in acqua e poi in un liquido di densità assegnata 800 kg/m³. È mantenuto fermo senza contatti con le pareti. Calcola le due spinte. Quale cambia, il peso del corpo o la spinta?

6 · Risolvi un dato sbagliato. Un compagno dice: «Questo corpo galleggia liberamente in acqua con il 70% del volume immerso e ha densità media 1400 kg/m³». Le due informazioni possono essere vere insieme nel nostro modello? Quale densità corrisponde al 70%?

7 · Il carico in più. Un galleggiante rigido chiuso ha ancora 400 cm³ del proprio volume emerso prima di essere completamente sommerso. Quale massa aggiunta consumerebbe, nel modello ideale, tutto quel volume disponibile? Il carico resta fuori dall’acqua. Perché non è una portata sicura da usare nella pratica?

8 · Scendere di quota. Un corpo rigido di 100 cm³ è completamente immerso in acqua, prima con il centro a 20 cm sotto la superficie, poi a 50 cm. Non tocca fondo o pareti. Cambiano la pressione alla quota del centro e la spinta? Calcola la spinta nelle due posizioni e motiva la risposta.

9. Soluzioni ragionate

Soluzione dell’attività

Sul corpo immerso agiscono peso verso il basso, tensione del filo e spinta verso l’alto. In aria, trascurando la spinta dell’aria, la lettura è mg.

La spinta è la differenza: S = 2,45 − 1,47 = 0,98 N. Quindi V = S/(ρₗg) = 0,98/(1000 × 9,8) = 0,000100 m³ = 100 cm³. La massa è m = 2,45/9,8 = 0,250 kg. Il corpo ha densità media 0,250/0,000100 = 2500 kg/m³, coerente con un corpo che tende ad affondare.

Più in basso la lettura ideale resta 1,47 N: densità del liquido, g e volume immerso non cambiano. In laboratorio piccole differenze richiedono un confronto con risoluzione e condizioni della prova.

Soluzioni degli esercizi

1. a) 75 cm³ = 0,000075 m³; b) 0,80 L = 0,00080 m³. Se il corpo è immerso per metà del volume, Vᵢ = 0,00040 m³, non 0,00080 m³.

2. S = 1000 × 9,8 × 0,000150 = 1,47 N. Il solo volume non basta: manca il peso, o in modo equivalente la massa. A parità di volume, corpi con masse diverse possono avere comportamenti diversi.

3. Peso = 0,40 × 9,8 = 3,92 N; spinta = 1000 × 9,8 × 0,000100 = 0,98 N; tensione = 3,92 − 0,98 = 2,94 N. La tensione positiva è coerente con il filo teso dall’alto.

4. Vᵢ/V = 800/1000 = 0,80 = 80%. Vᵢ = 0,80 × 750 = 600 cm³; volume emerso = 750 − 600 = 150 cm³. Come controllo, la massa è 0,600 kg e sia il peso sia la spinta valgono 5,88 N.

5. In acqua: S = 1000 × 9,8 × 0,000250 = 2,45 N. Nell’altro liquido: S = 800 × 9,8 × 0,000250 = 1,96 N. Cambia la spinta; massa e peso del corpo restano invariati. Per mantenere il corpo fermo può essere necessaria una diversa forza esterna, che il testo non chiede di calcolare.

6. No. Se il corpo galleggia libero con il 70% immerso, ρ_c = 0,70 × 1000 = 700 kg/m³. Con densità media 1400 kg/m³ servirebbe Vᵢ/V = 1,40, cioè il 140% del volume: impossibile per quel corpo. Non basta dire che «l’acqua lo sostiene» per renderlo in equilibrio.

7. Δm = ρₗΔVᵢ = 1000 × 0,000400 = 0,40 kg. È il limite geometrico ideale, non una portata sicura: non lascia volume emerso di riserva e non considera stabilità, onde, infiltrazioni o distribuzione reale del carico. Non usare questo esercizio per dimensionare oggetti destinati a sostenere persone.

8. La pressione alla quota del centro aumenta scendendo. La spinta resta invece 0,98 N in entrambe le posizioni: S = 1000 × 9,8 × 0,000100. Essendo il corpo rigido e già completamente immerso, il volume spostato resta uguale. Non confondere il valore della pressione in un punto con la risultante delle forze di pressione sull’intero corpo.

I passaggi numerici sono mostrati con le cifre utili a riconoscere le operazioni. In una misura reale il risultato finale va arrotondato in base all’incertezza dei dati, non al numero di decimali della calcolatrice.

10. Fonti per approfondire

La spiegazione e gli esercizi sono originali. Per controllare i principi fisici sono stati confrontati due materiali di provenienza editoriale distinta:

• OpenStax, Samuel J. Ling, Jeff Sanny e William Moebs, University Physics, Volume 1 (2016), §14.4, “Archimedes’ Principle and Buoyancy”: riquadro “Archimedes’ Principle”; paragrafi “Density and Archimedes’ Principle” e “Measuring Density”. Leggi il capitolo.
• Oregon State University, progetto BoxSand, diretto da KC Walsh, Buoyancy: Fundamentals e Buoyancy: Tips & Tricks, materiale didattico PH202 senza data di edizione indicata: “Introduction”, formulazione della spinta e condizioni di galleggiamento; “Algorithm”, punti 3–6; “Misconceptions & Mistakes”, punti 1–3. Fondamenti · Errori e metodo.

Nota editoriale: doppio riscontro delle fonti e controllo dei calcoli non sostituiscono la revisione di un docente. Revisione docente e prova in classe restano aperte.