Scheda breve
Materia: Scienze naturali — Scienze della Terra. Destinatari: scuola secondaria di secondo grado, secondo biennio; adattabile al quinto anno. Tempo proposto: 2 lezioni da 50 minuti, da verificare in classe. Prerequisiti: rapporti, proporzioni, potenze di dieci, volumi e conversioni delle unità. Materiali: questa scheda, calcolatrice, carta millimetrata o foglio di calcolo. Nessun esperimento con acque o sostanze.
Domanda guida: perché un materiale che contiene molti vuoti non lascia necessariamente passare molta acqua?
Alla fine del percorso saprai distinguere porosità e capacità di trasmettere acqua, ricavare il gradiente da livelli piezometrici riferiti allo stesso zero e calcolare portata, flusso specifico e velocità media in un modello semplice. Imparerai anche a riconoscere che un risultato di modello non è una misura sul territorio.
1. Un acquifero non è necessariamente un lago sotterraneo
In molti acquiferi l’acqua occupa gli spazi tra i granuli di un sedimento o le fratture di una roccia. Non occorre immaginare una grande cavità piena d’acqua: quel modello può valere in alcuni sistemi carsici, ma non descrive tutti gli acquiferi. Un acquifero è una formazione geologica capace di immagazzinare e trasmettere quantità utilizzabili di acqua nelle condizioni considerate. Qui studiamo soltanto un mezzo poroso saturo, cioè con i vuoti riempiti d’acqua, rappresentato come uniforme e attraversato da un flusso in una direzione.
La porosità totale indica quale frazione del volume complessivo è costituita da vuoti:
n = V_vuoti / V_totale
È un numero senza unità: n = 0,30 significa che i vuoti occupano il 30% del volume. Nel denominatore c’è tutto il campione, non soltanto il volume dei solidi. In un campione saturo da 1,0 litro con 0,30 litri di vuoti, il volume d’acqua contenuto nei vuoti è 0,30 litri.
La porosità efficace, indicata qui con n_e, considera la frazione del volume complessivo che partecipa al flusso nel modello. Vuoti isolati e porzioni scarsamente comunicanti non contribuiscono allo stesso modo al movimento. Per gli esercizi n_e è un dato già disponibile: non si ricava automaticamente dalla porosità totale e non va identificata con la resa specifica, cioè la frazione d’acqua che drena per gravità.
Un’argilla può avere porosità totale elevata ma conduttività idraulica molto bassa: i passaggi piccoli e la struttura dei pori ostacolano il movimento dell’acqua. Una sabbia può trasmettere più acqua pur avendo una porosità totale minore. Conoscere soltanto n, quindi, non permette di ordinare i materiali per capacità di trasmissione. Questi concetti sono descritti da Heath, sezioni «Porosity» e «Hydraulic Conductivity» [1], e da Woessner e Poeter, capitolo 3 [2].
2. Permeabilità e conduttività non sono lo stesso numero
Nel linguaggio comune si chiama permeabile un materiale che lascia attraversare l’acqua. Nelle equazioni conviene essere più precisi. La permeabilità intrinseca, k, dipende dalle caratteristiche del mezzo poroso ed è espressa in m². La conduttività idraulica, K, descrive il sistema mezzo–fluido: dipende anche dalle proprietà dell’acqua, in particolare dalla viscosità e dalla densità, e si esprime in m/s oppure m/giorno.
Nella legge usata qui entra K, non k. Non bisogna sostituire un numero in m² a un numero in m/giorno. Non calcoleremo k: terremo costanti fluido e condizioni, confrontando soltanto valori di K forniti. Dire che un campione ha più vuoti non equivale a dire che ha K maggiore.
3. Che cosa mette in movimento l’acqua?
Il flusso dipende da una differenza di carico idraulico, h. Per acqua di densità circa costante, trascurando il contributo cinetico, il carico combina la quota del punto e il contributo della pressione: h = z + p/(ρg). Non serve svolgere questa formula negli esercizi: serve capire perché la quota del terreno, da sola, non decide il verso del movimento.
Un piezometro è un tubo aperto all’atmosfera che comunica con l’acquifero in un tratto definito. Il livello a cui sale l’acqua permette di leggere il carico in quel tratto. Per confrontare due letture occorre esprimerne le quote rispetto allo stesso riferimento altimetrico, non confrontare semplicemente le profondità sotto due terreni di quota diversa. Inoltre i punti devono rappresentare lo stesso sistema di flusso: due pozzi aperti a profondità o acquiferi differenti non sono automaticamente confrontabili.
Se nel nostro modello il punto A ha h_A = 106 m e il punto B ha h_B = 102 m, il flusso va da A verso B, dal carico maggiore al minore. Se la distanza lungo il flusso è L = 200 m, definiamo il gradiente positivo nella direzione A→B:
i = (h_A − h_B)/L = 4/200 = 0,020
Il gradiente non ha unità: metri divisi per metri. Non è necessariamente la pendenza del terreno. La definizione di carico e l’uso dei piezometri sono approfonditi nel §4.2 di [2].
4. La legge di Darcy: dal gradiente alla portata
Per il modello monodimensionale omogeneo e saturo usiamo:
Q = K × A × i
Q è la portata, cioè il volume d’acqua che attraversa una sezione nell’unità di tempo. A è l’area dell’intera sezione del mezzo, perpendicolare al flusso: comprende solidi e vuoti. K è la conduttività idraulica; i è il gradiente positivo definito sopra. Con K in m/giorno e A in m², Q risulta in m³/giorno.
La formula dà qui il valore positivo della portata da monte idraulico a valle idraulica. Se invece si sceglie un asse x e si scrive il gradiente come variazione di h lungo quell’asse, compare il segno meno: Q = −K A Δh/Δx. Non sono due leggi diverse: il segno indica che l’acqua va verso carichi decrescenti [2, §4.1, equazione 15].
Riprendiamo i = 0,020 e assegniamo K = 12 m/giorno, A = 15 m². Otteniamo Q = 12 × 15 × 0,020 = 3,6 m³/giorno. A parità delle altre grandezze, raddoppiare K, A oppure i raddoppia Q. Raddoppiare L mantenendo fissa la differenza di carico dimezza i e quindi Q. Non è lecito far cambiare una grandezza senza dichiarare quali restano costanti.
Portata, flusso specifico e velocità media
Il flusso specifico è q = Q/A = K i. Nell’esempio q = 0,24 m/giorno. Anche se le unità sono quelle di una velocità, q non rappresenta la velocità media dell’acqua nei pori: è il volume per tempo diviso per l’intera area del mezzo.
Per stimare la velocità lineare media usiamo v = q/n_e. Con n_e = 0,30, v = 0,24/0,30 = 0,80 m/giorno. Poiché l’acqua passa attraverso una parte della sezione complessiva, questa velocità è maggiore di q. È una media macroscopica, non la velocità in ogni singolo poro [2, §4.1, equazioni 17–18].
Dove fermare il modello
Qui assumiamo mezzo saturo, omogeneo e isotropo, acqua con proprietà costanti, flusso laminare, stazionario e monodimensionale, con K e sezione costanti. Non stiamo descrivendo una galleria carsica con moto turbolento, un terreno non saturo o tutti i dettagli di un acquifero reale. La legge di Darcy ha estensioni più generali, ma la formula semplice non va trasferita senza controllo a qualsiasi situazione.
Una stima t = L/v rappresenta soltanto un tempo medio di trasporto per advezione in questo modello. Non indica l’arrivo della prima traccia di una sostanza né un tempo di sicurezza: eterogeneità, dispersione e interazioni chimiche possono cambiare il trasporto. Non usare questi esercizi per valutare potabilità, contaminazioni, pozzi o interventi reali.
Laboratorio di dati: acqua tra i granuli
Tutti i numeri sono dati simulati per uso didattico, non misure di un acquifero o parametri di progetto. Lavoriamo esclusivamente su carta o su un foglio di calcolo. Non servono campioni d’acqua, colture o contaminanti.
Attività guidata — Che cosa fa cambiare la portata?
Tempo orientativo: 25 minuti. In coppia, una persona calcola e una controlla unità e ipotesi; scambiate i ruoli dopo due righe. Il mezzo è saturo, uniforme e isotropo; il flusso è laminare, stazionario e monodimensionale. A e B comunicano con lo stesso tratto di acquifero. Tutti i carichi sono quote in metri rispetto allo stesso zero.
| Scenario | h_A (m) | h_B (m) | L (m) | K (m/giorno) | A (m²) | n_e |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Base | 106 | 102 | 200 | 12 | 15 | 0,30 |
| Doppio K | 106 | 102 | 200 | 24 | 15 | 0,30 |
| Doppia distanza | 106 | 102 | 400 | 12 | 15 | 0,30 |
| Minore porosità efficace | 106 | 102 | 200 | 12 | 15 | 0,15 |
- Prima dei calcoli, prevedete quali righe avranno Q maggiore o minore del caso base. Motivate senza usare «più acqua» come spiegazione generica.
- Per ogni riga calcolate i = (h_A − h_B)/L, Q = KAi, q = Q/A e v = q/n_e. Riportate sempre le unità e il verso del flusso.
- Disegnate un grafico a barre di Q per i quattro scenari. Tenete separato il grafico di v: le grandezze hanno significati e unità differenti.
- Discutete: perché l’ultima riga ha la stessa Q del caso base ma una velocità media differente? Che cosa stiamo mantenendo costante per ipotesi?
- Consegnate una conclusione di tre frasi: una relazione osservata, una condizione mantenuta fissa, un limite che impedisce di trasferire i risultati direttamente a un sito reale.
Controllo prima di consegnare: il gradiente è adimensionale? La portata è in m³/giorno? Avete diviso per 0,30, non per 30? Avete tenuto distinta la sezione totale dalla porosità efficace?
Sei esercizi individuali
1. Contare i vuoti non basta
Un campione simulato ha volume totale di 2 500 cm³ e volume dei solidi di 1 900 cm³. Una determinazione indipendente fornisce n_e = 0,18. Calcola volume dei vuoti, porosità totale e volume efficace nel modello. Puoi ricavare K da questi soli dati? Perché?
2. Quote o profondità?
Due piezometri sono aperti nello stesso tratto di un acquifero del nostro modello. Il riferimento di misura di A è a quota 150 m; l’acqua si trova 6 m sotto quel riferimento. Il riferimento di B è a quota 146 m; l’acqua si trova 3 m sotto. Le quote sono riferite allo stesso zero e le misure sono contemporanee.
Calcola h_A e h_B, indica il verso del flusso e trova i per L = 100 m lungo la direzione di flusso. Spiega l’errore di chi sceglie il verso confrontando soltanto 6 m e 3 m.
3. Portata con potenze di dieci
Due letture piezometriche, già espresse come quote rispetto allo stesso riferimento, sono h_1 = 134,8 m e h_2 = 132,4 m. L = 40 m, K = 2,5 × 10⁻⁴ m/s, A = 0,015 m². Il flusso rispetta le ipotesi della lezione. Calcola i e Q e dichiara il verso.
4. Il flusso specifico non è la velocità nei pori
Q = 9,0 × 10⁻⁷ m³/s attraversa una sezione totale A = 0,006 m²; n_e = 0,18. Calcola q e v. Perché v è maggiore di q pur non essendo aumentata Q?
5. Ricavare K e controllarne le unità
Un apparato soltanto simulato ha Q = 1,2 × 10⁻⁶ m³/s, A = 0,008 m² e i = 0,030. Stima K. Un compagno scrive il risultato in m²: quale grandezza ha confuso con K?
6. Un tempo medio, non una garanzia
Per un tratto ideale lungo L = 120 m, Q = 6,0 × 10⁻⁷ m³/s, A = 0,004 m² e n_e = 0,20 sono uniformi e costanti. Calcola v e t = L/v, prima in secondi e poi in giorni. Valuta questa frase: «Prima di t nessuna traccia di una sostanza trasportata può arrivare a valle». Indica almeno due ragioni per non accettarla.
Soluzioni commentate
Attività guidata
| Scenario | i | Q (m³/giorno) | q (m/giorno) | v (m/giorno) |
|---|---|---|---|---|
| Base | 0,020 | 3,6 | 0,24 | 0,80 |
| Doppio K | 0,020 | 7,2 | 0,48 | 1,60 |
| Doppia distanza | 0,010 | 1,8 | 0,12 | 0,40 |
| Minore porosità efficace | 0,020 | 3,6 | 0,24 | 1,60 |
In tutte le righe il flusso va da A verso B perché h_A > h_B. Nel caso base, i = 4/200 = 0,020; Q = 12 × 15 × 0,020 = 3,6 m³/giorno; q = 3,6/15 = 0,24 m/giorno; v = 0,24/0,30 = 0,80 m/giorno.
Raddoppiare K raddoppia Q se A e i restano fissi. Raddoppiare L con la stessa differenza di carico dimezza il gradiente. Nell’ultima riga abbiamo assegnato K identica e dimezzato n_e: Q e q non cambiano, mentre v raddoppia. Non stiamo dicendo che in natura sia sempre possibile cambiare n_e senza cambiare K: il confronto serve a isolare il significato delle variabili.
Una possibile conclusione è: «Nel modello Q cresce in proporzione a K. Il confronto mantiene uguali area, distanza e differenza di carico. Un acquifero reale può avere K variabile nello spazio e nel tempo, quindi i quattro casi simulati non bastano per prevederne la portata».
1. Volume e porosità
V_vuoti = 2 500 − 1 900 = 600 cm³. n = 600/2 500 = 0,24 = 24%. Il volume efficace assegnato dal modello è n_e × V_totale = 0,18 × 2 500 = 450 cm³. Restano 150 cm³ di vuoti che non contribuiscono al flusso secondo la definizione adottata. Le due porosità non sono sinonimi. Non possiamo ricavare K: mancano informazioni sulla trasmissione, come dimensione e connessione dei passaggi, o una misura indipendente del comportamento idraulico.
2. Confrontare carichi con lo stesso zero
h_A = 150 − 6 = 144 m; h_B = 146 − 3 = 143 m. Il flusso va da A verso B e i = (144 − 143)/100 = 0,010. Il livello in A è più profondo rispetto al proprio riferimento locale, ma ha quota maggiore rispetto allo zero comune. Confrontare soltanto le profondità confonde due riferimenti diversi e può invertire la conclusione. L’esercizio non permette di inferire un flusso tridimensionale reale: la direzione lungo A–B è assegnata dal modello.
3. Gradiente e portata
La differenza di carico è 134,8 − 132,4 = 2,4 m. i = 2,4/40 = 0,060. Q = (2,5 × 10⁻⁴) × 0,015 × 0,060 = 2,25 × 10⁻⁷ m³/s, dal punto 1 al punto 2. Il prodotto delle unità è (m/s) × m² × 1 = m³/s. Non va moltiplicato ancora per la porosità: A nella legge di Darcy è già l’intera sezione del mezzo.
4. Due denominatori diversi
q = Q/A = (9,0 × 10⁻⁷)/0,006 = 1,5 × 10⁻⁴ m/s. v = q/n_e = (1,5 × 10⁻⁴)/0,18 ≈ 8,33 × 10⁻⁴ m/s. Q è la stessa: q la rapporta alla sezione totale, mentre v tiene conto della frazione efficace. Il risultato è una velocità lineare media del modello, non la velocità istantanea in un singolo poro.
5. Invertire la relazione
K = Q/(Ai) = (1,2 × 10⁻⁶)/(0,008 × 0,030) = 5,0 × 10⁻³ m/s. Le unità sono (m³/s)/m² = m/s. I m² sono invece l’unità della permeabilità intrinseca k. Il dato ricavato non è soltanto una proprietà della geometria del mezzo: K dipende anche dalle proprietà del fluido nelle condizioni considerate.
6. Che cosa non dice t
q = (6,0 × 10⁻⁷)/0,004 = 1,5 × 10⁻⁴ m/s. v = q/0,20 = 7,5 × 10⁻⁴ m/s. t = 120/(7,5 × 10⁻⁴) = 160 000 s, cioè 160 000/86 400 ≈ 1,85 giorni.
La frase è non giustificata. t è una stima media di advezione in un sistema uniforme, non il tempo di prima comparsa di una sostanza. La dispersione produce una distribuzione di tempi; percorsi preferenziali o eterogeneità possono anticipare una parte del trasporto. Inoltre reazioni e interazioni con il mezzo possono modificarlo. Il calcolo non certifica la sicurezza di acqua, pozzi o persone.
Autovalutazione finale
Scrivi in non più di quattro righe perché «molti vuoti» non significa necessariamente «grande portata». Una risposta completa distingue n da K, cita almeno un’altra variabile della legge di Darcy e precisa che il confronto vale a condizioni dichiarate.
Fonti scientifiche e localizzatori
[1] Ralph C. Heath, Basic Ground-Water Hydrology, U.S. Geological Survey, Water-Supply Paper 2220, 1983. PDF originale USGS. Localizzatori: «Porosity», p. 7; «Hydraulic Conductivity», p. 12; «Ground-Water Velocity», p. 25 (numerazione stampata). Fonte per porosità, trasmissione dell’acqua e limiti della velocità media. Il PDF dell’ente è una fonte: il PDF didattico allegato a questo percorso è un’elaborazione originale distinta.
[2] William W. Woessner ed Eileen P. Poeter, Hydrogeologic Properties of Earth Materials and Principles of Groundwater Flow, The Groundwater Project, 2020. Volume. Localizzatori: §§3.1–3.2, porosità totale ed efficace; §4.1 «Darcy’s Law», equazioni 15, 17 e 18; §4.2 «Hydraulic Head», equazioni 19–20; §4.4, conduttività e permeabilità intrinseca; §4.5, applicabilità. Testi, esempi e dati della scheda sono originali: non sono riprodotte le figure dei manuali.
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