In breve
L’ellisse è il luogo dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. In questa lezione consideriamo soltanto l’ellisse canonica centrata nell’origine e con asse maggiore orizzontale. I suoi parametri soddisfano a > b > 0 e c = √(a² − b²); i fuochi sono F₁(−c, 0) e F₂(c, 0), mentre l’equazione è x²/a² + y²/b² = 1. I numeri a e b sono le lunghezze dei semiassi, non degli assi interi.
Prerequisiti
Per seguire la lezione è utile saper:
- individuare punti e coordinate nel piano cartesiano;
- calcolare la distanza tra due punti, applicando il teorema di Pitagora;
- operare con potenze, frazioni e radicali, e semplificare una radice quadrata quando possibile;
- risolvere semplici equazioni di secondo grado e trasformare un’equazione isolando una variabile;
- riconoscere che, se una quantità al quadrato è positiva, la quantità può essere una radice positiva o negativa.
1. Che cos’è un’ellisse
Fissiamo due punti distinti del piano, F₁ e F₂, e una costante maggiore della distanza tra loro. L’ellisse è l’insieme dei punti P per cui la somma delle distanze da questi due punti assume sempre quel valore:
d(P, F₁) + d(P, F₂) = costante.
I punti fissi F₁ e F₂ si chiamano fuochi. Nel caso studiato, il centro dell’ellisse coincide con l’origine O(0, 0), e i fuochi stanno sull’asse x. La figura è simmetrica rispetto all’asse x e all’asse y. Il suo asse maggiore è orizzontale.
La costante della somma delle distanze è 2a. Il parametro a è la distanza dal centro a ciascuno dei due estremi orizzontali; per questo è il semiasse maggiore. Il parametro b, più piccolo di a, è il semiasse minore. Le lunghezze degli assi interi sono quindi 2a (asse maggiore) e 2b (asse minore). Non bisogna confondere queste lunghezze con a e b. La condizione sulla costante esclude il caso degenere in cui il luogo si riduce al segmento tra i fuochi. [1]
La domanda guida: conoscendo l’equazione, possiamo ritrovare fuochi e dimensioni della figura? E, viceversa, bastano i fuochi e la lunghezza dell’asse maggiore per scriverla?
2. Parametri, fuochi ed equazione
Indichiamo con c la distanza di ciascun fuoco dal centro. Con la convenzione adottata, a > b > 0 e
c = √(a² − b²).
I fuochi hanno coordinate F₁(−c, 0) e F₂(c, 0). La relazione può anche essere scritta a² = b² + c². Il valore di c è positivo e minore di a: i fuochi si trovano sull’asse maggiore, all’interno dell’ellisse, non sulla curva.
L’equazione canonica è
x²/a² + y²/b² = 1.
I denominatori sono i quadrati dei semiassi: a² sotto x² e b² sotto y². Dato che a > b, il denominatore sotto x² è maggiore; ciò corrisponde all’estensione maggiore nella direzione orizzontale. Gli estremi sugli assi si leggono ponendo a zero l’altra coordinata: i vertici orizzontali sono (−a, 0) e (a, 0), quelli verticali (0, −b) e (0, b).
Questa lettura dell’equazione e dei quattro estremi è confermata nelle fonti [1] e [2]. Il nostro perimetro resta quello dichiarato: centro nell’origine e asse maggiore orizzontale.
Perché a² = b² + c²
Consideriamo il vertice superiore dell’asse minore, Q(0, b), e il fuoco F₂(c, 0). Per Pitagora, il segmento QF₂ ha lunghezza √(b² + c²). Anche la distanza tra Q e F₁(−c, 0) è √(b² + c²), per simmetria. Q appartiene all’ellisse, dunque la somma delle sue distanze dai fuochi è 2√(b² + c²). Per definizione, tale somma vale 2a. Ne segue √(b² + c²) = a e quindi a² = b² + c². Da questa relazione si ricava c = √(a² − b²).
Questa breve osservazione spiega la relazione tra i parametri; non è una dimostrazione completa dell’equivalenza tra la definizione a fuochi e l’equazione canonica.
3. Come interpretare e usare l’equazione
Un punto appartiene all’ellisse se, sostituendo le sue coordinate x e y nell’equazione, l’uguaglianza è vera. Se il primo membro è minore di 1, il punto è interno alla regione ovale e non appartiene alla curva; se è maggiore di 1, è esterno. In particolare, i fuochi non appartengono alla curva: per esempio, in F₂(c, 0) il primo membro è c²/a², che è minore di 1 perché 0 < c < a.
L’ellisse non è il grafico di una singola funzione y = f(x): per molti valori di x compresi tra −a e a, alla stessa ascissa corrispondono due ordinate, una positiva e una negativa. Isolando y si ottengono infatti due possibilità: y = ± b√(1 − x²/a²). Gli estremi verticali hanno invece ordinata rispettivamente b e −b.
4. Esempi svolti
Esempio 1 — Ricavare i fuochi e i vertici
Consideriamo x²/25 + y²/9 = 1. Confrontando con la forma canonica, a² = 25 e b² = 9, dunque a = 5 e b = 3. Poiché a > b > 0, l’asse maggiore è orizzontale. Calcoliamo c = √(25 − 9) = √16 = 4. I fuochi sono F₁(−4, 0) e F₂(4, 0). I vertici orizzontali sono (−5, 0) e (5, 0); quelli verticali (0, −3) e (0, 3). Le lunghezze degli assi sono 10 e 6. La somma delle distanze dai fuochi di ogni punto della curva è 2a = 10.
Esempio 2 — Ricavare l’equazione da asse maggiore e fuochi
L’asse maggiore misura 20, quindi 2a = 20 e a = 10. I fuochi sono (−6, 0) e (6, 0), perciò c = 6. Dalla relazione a² = b² + c² otteniamo b² = 100 − 36 = 64, quindi b = 8. L’equazione è x²/100 + y²/64 = 1. Il controllo a > b > 0 è soddisfatto: 10 > 8 > 0. L’asse minore misura 2b = 16.
Esempio 3 — Verificare l’appartenenza di punti
Sia x²/36 + y²/20 = 1. Qui a = 6, b = √20 = 2√5 e a > b > 0; inoltre c = √(36 − 20) = 4. Verifichiamo il punto P(4, 2√5):
4²/36 + (2√5)²/20 = 16/36 + 20/20 = 4/9 + 1 = 13/9.
Poiché 13/9 è maggiore di 1, P non appartiene all’ellisse ed è esterno. Verifichiamo invece Q(3, √15): 3²/36 + (√15)²/20 = 9/36 + 15/20 = 1/4 + 3/4 = 1. Q appartiene alla curva.
5. Esercizi
- Per x²/49 + y²/25 = 1, determina a, b, c, i fuochi e le lunghezze dei due assi.
- Un’ellisse canonica ha asse maggiore lungo 26 e fuochi (−5, 0) e (5, 0). Trova b e scrivi l’equazione.
- Scrivi l’equazione dell’ellisse canonica con a = 8 e b = 4. Determina i fuochi e i vertici sui due assi.
- Per x²/64 + y²/28 = 1, verifica se (4, 3√7) appartiene alla curva.
- Per x²/25 + y²/16 = 1, stabilisci se il punto (3, 2) è interno, sulla curva o esterno.
- Per x²/36 + y²/27 = 1, trova c e verifica se il fuoco F₂ appartiene all’ellisse. Per Q(0, 3√3), calcola poi le due distanze dai fuochi e controlla la loro somma.
6. Soluzioni commentate
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Si leggono a² = 49 e b² = 25: a = 7 e b = 5. Quindi c = √(49 − 25) = √24 = 2√6. I fuochi sono (−2√6, 0) e (2√6, 0). Gli assi misurano 2a = 14 e 2b = 10.
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Da 2a = 26 segue a = 13; dai fuochi si ricava c = 5. Allora b² = a² − c² = 169 − 25 = 144, quindi b = 12. L’equazione cercata è x²/169 + y²/144 = 1. Si verifica 13 > 12 > 0.
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Con a = 8 e b = 4 si ha a² = 64 e b² = 16. Pertanto c = √(64 − 16) = √48 = 4√3. L’equazione è x²/64 + y²/16 = 1. I fuochi sono (−4√3, 0) e (4√3, 0); i vertici sono (−8, 0), (8, 0), (0, −4) e (0, 4).
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Sostituiamo: 4²/64 + (3√7)²/28 = 16/64 + 63/28 = 1/4 + 9/4 = 10/4 = 5/2. Il risultato non è 1; è maggiore di 1, quindi il punto è esterno e non appartiene alla curva.
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Il primo membro vale 3²/25 + 2²/16 = 9/25 + 1/4 = 36/100 + 25/100 = 61/100. È minore di 1, dunque (3, 2) è interno alla regione e non appartiene all’ellisse.
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Qui a² = 36 e b² = 27, quindi c = √(36 − 27) = 3. Il fuoco F₂ è (3, 0). Sostituendo nell’equazione, il primo membro vale 9/36 = 1/4, non 1. Il fuoco è interno e non appartiene alla curva. Invece Q ha ascissa zero e ordinata b = √27 = 3√3: è l’estremo superiore. Ciascuna distanza dai fuochi vale √(3² + (3√3)²) = √36 = 6. La somma è 12, cioè 2a: equazione e proprietà focale concordano.
Riepilogo
Per l’ellisse canonica qui considerata, a > b > 0, c = √(a² − b²), i fuochi sono (−c, 0) e (c, 0) e l’equazione è x²/a² + y²/b² = 1. I semiassi misurano a e b; gli assi interi 2a e 2b. La somma delle distanze dai fuochi è 2a. Per verificare un punto basta sostituirne le coordinate: l’uguaglianza a 1 caratterizza i punti della curva.
Fonti per approfondire
[1] Jay Abramson, OpenStax (Rice University), Precalculus 2e, §10.1, “The Ellipse”. Testo della sezione. Locatori: “Writing Equations of Ellipses in Standard Form”, definizione iniziale; “Deriving the Equation of an Ellipse Centered at the Origin”, calcolo della somma 2a; “Writing Equations of Ellipses Centered at the Origin in Standard Form”, riquadro “Standard Forms of the Equation of an Ellipse with Center (0,0)”, caso con asse maggiore sull’asse x. Riscontro per definizione focale, relazione c² = a² − b², equazione, fuochi e lunghezze degli assi.
[2] Paul Dawkins, Lamar University, Algebra, §4.3, “Ellipses”. Testo della sezione. Locatori: paragrafi iniziali dopo “Section 4.3: Ellipses”, formula “standard form”, elenco dei quattro estremi “right most / left most / top most / bottom most point” e paragrafo successivo sulle radici quadrate dei denominatori. Riscontro per lettura dei semiassi ed estremi; specializziamo il centro (h, k) all’origine. La pagina non viene usata come fonte della proprietà focale.
Revisione docente: APERTA. Prova in classe: APERTA.