In breve
Materia e livello: Matematica, scuola secondaria di secondo grado; biennio, dopo prodotti e sottrazioni tra polinomi.
Domanda guida: come troviamo quoziente e resto se il divisore è, per esempio, x²+x+1?
Idea chiave: eliminiamo un termine di grado massimo alla volta. La divisione è conclusa quando il resto è zero oppure ha grado minore di quello del divisore. Con un divisore di grado 2 il resto può essere di primo grado, non soltanto un numero.
Prerequisiti: grado di un polinomio, prodotti di monomi e polinomi, sottrazione con parentesi, ordinamento per potenze decrescenti.
Obiettivi: eseguire la divisione con divisore quadratico, gestire termini mancanti e segni, verificare il risultato con P(x)=D(x)·Q(x)+R(x).
Il resto non è sempre un numero
Nelle prime divisioni tra polinomi capita spesso di ottenere come resto un numero. Non è però una regola generale: dipende dal grado del divisore.
In questa lezione lavoriamo con polinomi a coefficienti reali e divisori di grado 2. Cerchiamo due polinomi, il quoziente Q(x) e il resto R(x), che permettano di scrivere:
P(x)=D(x)·Q(x)+R(x).
La lettera P indica il dividendo, D il divisore, che deve essere non nullo. C’è una condizione decisiva: R deve essere zero oppure avere grado strettamente minore di D. Se D ha grado 2, il resto può avere forma ax+b, con a e b reali, oppure essere zero.
Per esempio, x−2 è un resto ammesso; 3 è un resto ammesso; x²−1 non è un resto finale ammesso, perché ha ancora grado 2. Non attribuiamo un grado al polinomio nullo: lo indichiamo semplicemente come resto zero.
L’esistenza e l’unicità di quoziente e resto sono formulate nel riquadro «The Division Algorithm» di OpenStax, College Algebra 2e, §5.4. Qui impariamo a costruirli, concentrandoci su un divisore quadratico. Non useremo ricerca degli zeri, teorema del resto o fattorizzazione lineare.
La strategia: cancellare il termine più alto
Per iniziare, ordina dividendo e divisore per potenze decrescenti. Se manca una potenza nel dividendo, scrivi il suo coefficiente zero: non cambia il polinomio, ma aiuta a tenere allineati i termini simili.
Poi ripeti tre operazioni:
- Dividi il termine di grado massimo del polinomio rimasto per il termine di grado massimo del divisore: ottieni il prossimo termine del quoziente.
- Moltiplica tutto il divisore per quel termine.
- Sottrai tutto il prodotto, usando una parentesi per non perdere i segni.
Il termine di grado massimo si cancella. Continua finché ciò che rimane è zero o ha grado minore di 2. Non devi arrivare necessariamente a un numero.
Questa procedura è descritta anche nella risorsa indipendente mathcentre, Polynomial division, §3, pp. 3–5. Le pp. 4–5 mostrano in particolare un divisore quadratico; gli esempi che seguono sono originali.
Esempio 1: un termine mancante e un resto lineare
Dividiamo P(x)=2x⁴−x³−x−1 per D(x)=x²+x+1.
Scriviamo il dividendo come 2x⁴−x³+0x²−x−1: manca il termine di secondo grado.
Primo passaggio
Il rapporto fra i termini di grado massimo è 2x⁴:x²=2x². Il quoziente comincia con 2x². Moltiplichiamo il divisore:
2x²·(x²+x+1)=2x⁴+2x³+2x².
Sottraiamo il prodotto al dividendo:
(2x⁴ − x³ + 0x² − x − 1) − (2x⁴ + 2x³ + 2x²) = − 3x³ − 2x² − x − 1.
Secondo passaggio
Ora −3x³:x²=−3x. Aggiungiamo −3x al quoziente e calcoliamo:
−3x·(x²+x+1)=−3x³−3x²−3x.
Sottraiamo con attenzione:
(−3x³−2x²−x−1)−(−3x³−3x²−3x)=x²+2x−1.
Il grado è ancora 2: non possiamo fermarci.
Terzo passaggio
Il rapporto x²:x² è 1. Aggiungiamo 1 al quoziente:
(x²+2x−1)−(x²+x+1)=x−2.
Adesso il grado è 1, minore di 2. Abbiamo finito:
Q(x)=2x²−3x+1; R(x)=x−2.
| Passaggio | Termine aggiunto a Q | Polinomio rimasto dopo la sottrazione |
|---|---|---|
| 1 | 2x² | −3x³−2x²−x−1 |
| 2 | −3x | x²+2x−1 |
| 3 | 1 | x−2 |
La verifica completa
Non basta che il resto abbia il grado giusto: dobbiamo ricostruire il dividendo.
(x²+x+1)(2x²−3x+1)=2x⁴−x³−2x+1.
Aggiungendo x−2 otteniamo 2x⁴−x³−x−1, proprio P(x). Il prodotto controlla i calcoli; il grado del resto controlla che la divisione sia davvero terminata.
Esempio 2: il divisore comincia con 2x²
Dividiamo P(x)=6x³+4x²+x−5 per D(x)=2x²−1.
Il primo rapporto è 6x³:2x²=3x. Moltiplichiamo il divisore per 3x e sottraiamo:
(6x³+4x²+x−5)−(6x³−3x)=4x²+4x−5.
Ora 4x²:2x²=2. Sottraiamo 2·(2x²−1)=4x²−2:
(4x²+4x−5)−(4x²−2)=4x−3.
Il risultato è Q(x)=3x+2; R(x)=4x−3. Verifica:
(2x²−1)(3x+2)+(4x−3)=6x³+4x²+x−5.
Non bisogna dividere nuovamente il resto per 2: il coefficiente del termine di grado massimo del divisore è già entrato nei rapporti iniziali.
Esempio 3: una divisione esatta
Per P(x)=x⁴−2x³+3x²−2x+2 e D(x)=x²−2x+2, il primo termine del quoziente è x². Sottraendo x²D(x) rimane x²−2x+2, cioè D(x). Il termine successivo del quoziente è 1 e la nuova sottrazione dà zero.
Dunque Q(x)=x²+1; R(x)=0. La divisione è esatta:
P(x)=(x²−2x+2)(x²+1).
Un resto zero è sempre ammesso. Non occorre cercare altri passaggi.
Due controlli diversi, entrambi necessari
Un risultato corretto deve superare due prove: l’identità P=DQ+R e la condizione sul grado di R. Una sola delle due non basta.
Consideriamo P(x)=x³+x+1 e D(x)=x²+1. La scrittura
P(x)=D(x)·(x−1)+(x²+2)
è un’identità vera. Ma x²+2 ha lo stesso grado del divisore: non è il resto finale. Possiamo ancora sottrarre una volta D(x) da x²+2. Il quoziente diventa x e il resto diventa 1:
P(x)=(x²+1)·x+1.
Il segnale che ci dice di fermarci è il grado, non il fatto di aver ottenuto un’uguaglianza vera.
Errori da riconoscere
- Termini mancanti: x⁴−x² non contiene x³, ma questo posto non va fatto sparire da uno schema in colonna.
- Parentesi nella sottrazione: sottrarre −3x³−3x²−3x significa aggiungere 3x³+3x²+3x.
- Arresto troppo presto: un resto di grado 2 non è finale con un divisore di grado 2.
- Arresto troppo tardi: un resto come 4x−3 è già finale; non devi trasformarlo in un numero.
Laboratorio a coppie: costruisci una divisione
Scegliete D(x)=x²+2, Q(x)=x²−3 e R(x)=x+1. Una persona costruisce il dividendo con il prodotto DQ+R, l’altra lo divide per D senza vedere Q e R.
Soluzione commentata. Il prodotto è (x²+2)(x²−3)=x⁴−x²−6. Aggiungendo R si trova P(x)=x⁴−x²+x−5. Dividendo, i termini del quoziente sono prima x² e poi −3; rimane x+1. Il resto ha grado 1, quindi la divisione è conclusa. Questo controllo usa l’identità fra polinomi, non soltanto qualche sostituzione numerica.
Esercizi
Per ogni divisione indica Q e R e verifica P=DQ+R. Nei quesiti di ragionamento spiega anche la condizione sul grado.
- Dividi x³+2x²+4x+1 per x²+1.
- Dividi 2x³−3x²+x+3 per x²−x+1.
- Dividi 2x³−3x²−3x+7 per 2x²+x−1.
- Dividi x⁴−x²+x−5 per x²+2, scrivendo il termine mancante prima di cominciare.
- Un compagno scrive x³+x+1=(x²+1)(x−1)+(x²+2) e conclude che il resto è x²+2. L’identità è vera? La divisione è finita? Correggi il risultato.
- Senza eseguire l’algoritmo, trova quoziente e resto quando P(x)=3x+4 e D(x)=x²−2. Spiega perché non occorrono passaggi.
- Costruisci il dividendo che, diviso per D(x)=x²−x+2, abbia Q(x)=2x+1 e R(x)=−x+3. Il resto scelto è ammesso?
- Dividendo P(x)=x³+ax+b per D(x)=x²+1, quali valori reali di a e b rendono la divisione esatta? Non cercare gli zeri dei polinomi: usa il prodotto e il resto.
Soluzioni commentate
1. Resto di primo grado
Il primo termine del quoziente è x. Sottraendo x(x²+1) rimane 2x²+3x+1. Sottraendo 2(x²+1) rimane 3x−1. Quindi Q=x+2, R=3x−1.
Verifica: (x²+1)(x+2)+(3x−1)=x³+2x²+4x+1. Il grado del resto è 1, inferiore a 2.
2. Una sottrazione con segni
Il primo termine del quoziente è 2x. Sottraendo 2x(x²−x+1) rimane −x²−x+3. Il termine successivo è −1: sottraiamo −x²+x−1, ottenendo −2x+4. Dunque Q=2x−1, R=−2x+4.
Verifica: (x²−x+1)(2x−1)+(−2x+4)=2x³−3x²+x+3. Il resto può avere coefficienti negativi.
3. Il coefficiente 2 nel divisore
Il rapporto iniziale è 2x³:2x²=x. La prima sottrazione lascia −4x²−2x+7. Il termine successivo del quoziente è −2; sottraendo −4x²−2x+2 rimane 5. Quindi Q=x−2, R=5.
Verifica: (2x²+x−1)(x−2)+5=2x³−3x²−3x+7. In questa divisione il resto è unicamente 5. In altre divisioni con divisore quadratico si possono ottenere anche resti lineari.
4. Il coefficiente zero
Si parte da x⁴+0x³−x²+x−5. Il termine x² del quoziente permette di sottrarre x⁴+2x²: rimane −3x²+x−5. Aggiungendo −3 al quoziente e sottraendo −3x²−6 rimane x+1.
Q=x²−3, R=x+1. Verifica: (x²+2)(x²−3)+(x+1)=x⁴−x²+x−5.
5. Identità vera, resto non finale
L’identità è vera, ma il resto proposto ha grado 2 e non soddisfa il vincolo. Scriviamo x²+2=(x²+1)+1: una copia del divisore passa nel prodotto. Otteniamo Q=x, R=1 e x³+x+1=(x²+1)x+1. Il quoziente proposto andava aumentato di 1.
6. Il dividendo è già di grado minore
Q=0, R=3x+4. Infatti 3x+4=(x²−2)·0+(3x+4). Il resto ha grado 1, quindi non si può iniziare un nuovo passaggio dell’algoritmo: non ci sono termini di grado almeno 2 da eliminare.
7. Ricostruire il dividendo
Calcoliamo (x²−x+2)(2x+1)=2x³−x²+3x+2. Aggiungendo −x+3 troviamo P=2x³−x²+2x+5. Il resto −x+3 ha grado 1 ed è ammesso. L’identità usata per costruire P è anche la verifica del risultato.
8. Parametri dal resto
Il primo e unico termine del quoziente è x. Il prodotto x(x²+1)=x³+x lascia R=(a−1)x+b. Questo ha già grado minore di 2, oppure è zero. Per avere una divisione esatta entrambi i suoi coefficienti devono annullarsi: a=1 e b=0. Verifica: in quel caso P=x³+x=x(x²+1).
Prima di chiudere
Ricorda le tre mosse: dividi i termini di grado massimo, moltiplica tutto il divisore, sottrai con le parentesi. Alla fine controlla sia il grado del resto sia l’identità P=DQ+R. Con un divisore quadratico il resto può essere lineare: non è un errore, è la forma prevista dall’algoritmo.
Fonti per approfondire
- OpenStax, Rice University, College Algebra 2e, §5.4, «Dividing Polynomials». Localizzatori: «Using Long Division to Divide Polynomials», riquadro «The Division Algorithm» e «How To». Riferimento per l’identità di divisione, l’unicità e la condizione sul grado del resto. Leggi il capitolo.
- mathcentre, Polynomial division, codice mc-TY-polydiv-2009-1, 2009, §3, pp. 3–5; esercizi p. 6. Localizzatore particolarmente pertinente: esempio con dividendo x⁴+x³+7x²−6x+8 e divisore x²+2x+8, pp. 4–5. Le due pagine mostrano l’algoritmo con divisore quadratico; p. 5 discute anche i termini mancanti e un resto non nullo. Apri il PDF della fonte.
OpenStax/Rice e mathcentre sono risorse di enti indipendenti. Esempi, laboratorio ed esercizi della lezione sono originali; le fonti non attestano una revisione di questo materiale.
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