Disequazioni fratte: il segno si studia prima di moltiplicare

Matematica · Scuola superiore · Secondo anno del biennio, collocazione proposta

Ti servono le operazioni con i numeri relativi, le equazioni e le disequazioni lineari, le frazioni algebriche. Qui lavoriamo nei numeri reali, con numeratore e denominatore di primo grado o costanti. Non servono equazioni di secondo grado.

Scheda in breve

Una disequazione fratta contiene una frazione algebrica con l’incognita al denominatore. Risolverla significa trovare i valori che rendono vera la disuguaglianza, senza mai dividere per zero.

• Prima il dominio: escludi i valori che annullano i denominatori dell’espressione iniziale.
• Poi porta tutto a sinistra: raccogli in una sola frazione, con zero a destra.
• Studia i segni: trova gli zeri di numeratore e denominatore della frazione ottenuta e ordina questi punti sulla retta. Se semplifichi, conserva le esclusioni del dominio iniziale.
• Leggi il quoziente: segni uguali danno un risultato positivo; segni diversi un risultato negativo.
• Decidi gli estremi: uno zero del numeratore ammesso dal dominio entra nelle soluzioni solo con ≤ o ≥. Uno zero del denominatore non entra mai.

Non moltiplicare i due membri per un denominatore di segno sconosciuto lasciando il verso invariato. È proprio lì che si rischia di perdere metà delle soluzioni.

1. La scorciatoia che non funziona

Prendi (x − 4)/(x + 2) > 0. Verrebbe voglia di moltiplicare per x + 2 e scrivere soltanto x − 4 > 0, quindi x > 4. Ma x + 2 non è sempre positivo: per x < −2 è negativo e la moltiplicazione richiederebbe di invertire il verso.

Basta provare x = −3 per vedere il problema: (−3 − 4)/(−3 + 2) = (−7)/(−1) = 7, che è maggiore di zero. Anche −3 è una soluzione, eppure la scorciatoia lo ha scartato.

Puoi risolvere distinguendo i casi del denominatore positivo e negativo. La tabella dei segni organizza lo stesso ragionamento in modo più leggibile. Il motivo per cui il verso conta è spiegato anche da Paul Dawkins, Rational Inequalities, esempio 1. [F2]

2. Prima di fare i conti, guarda dove la frazione esiste

Nell’espressione appena vista il denominatore è x + 2. Perciò x ≠ −2. Questo vincolo si scrive subito e resta valido fino alla risposta finale.

Il valore x = 4, invece, annulla il numeratore: la frazione vale zero ed esiste. Sono due situazioni diverse. Uno zero può soddisfare una richiesta come «maggiore o uguale a zero»; una divisione per zero non può soddisfare nessuna richiesta.

La regola vale anche dopo una semplificazione. Per esempio (x − 6)/(x − 6) = 1 soltanto per x ≠ 6: cancellare il fattore non rende lecita la sostituzione x = 6. Il dominio riguarda l’espressione da cui sei partito.

3. Esempio A — Una frazione strettamente positiva

Risolviamo (x − 4)/(x + 2) > 0.

Dominio: x ≠ −2. Il numeratore si annulla in 4; il denominatore in −2. Ordiniamo i due punti: −2 viene prima di 4. Otteniamo tre intervalli.

Per esempio, se x < −2 sia x − 4 sia x + 2 sono negativi: il loro quoziente è positivo. Tra −2 e 4 il numeratore è negativo e il denominatore positivo: il quoziente è negativo. Non stiamo chiedendo che i due pezzi siano entrambi positivi; chiediamo che la frazione sia positiva.

Scegliamo il primo e il terzo intervallo. Il punto −2 è escluso dal dominio; il punto 4 dà zero e non va bene con il segno >.

Soluzione: x < −2 oppure x > 4. In intervalli: (−∞, −2) ∪ (4, +∞).

Controlli: con x = −3 otteniamo 7; con x = 0 otteniamo −2; con x = 5 otteniamo 1/7. I segni corrispondono alle tre colonne.

La procedura — frazione confrontata con zero, punti che annullano numeratore e denominatore, intervalli e controllo degli estremi — coincide con il riquadro «How To: Solve a rational inequality» di OpenStax. [F1]

4. Esempio B — Quando lo zero è compreso

Risolviamo (3x + 6)/(x − 5) ≤ 0.

Dominio: x ≠ 5. Il numeratore si annulla in −2. Gli intervalli sono x < −2, −2 < x < 5 e x > 5.

Serve un risultato negativo oppure zero. Prendiamo l’intervallo centrale e aggiungiamo −2, perché lì il numeratore è zero e il denominatore vale −7. Non aggiungiamo 5.

Soluzione: −2 ≤ x < 5, cioè [−2, 5).

Controlli: x = −2 dà 0; x = 0 dà −6/5; x = 6 dà 24. Il primo e il secondo valore soddisfano la richiesta, il terzo no. La distinzione tra i due tipi di estremo è trattata in F1, esempio 7.54, e F2, esempio 1.

5. Esempio C — A destra non c’è zero

Risolviamo (4x − 3)/(x + 1) ≥ 2.

Dominio: x ≠ −1. Non confrontiamo separatamente numeratore e denominatore con 2. Sottraiamo 2 a entrambi i membri e scriviamo una sola frazione:

(4x − 3)/(x + 1) − 2 ≥ 0

[4x − 3 − 2(x + 1)]/(x + 1) ≥ 0

(2x − 5)/(x + 1) ≥ 0.

Le parentesi servono: sottraiamo tutto 2(x + 1), non soltanto 2x. Il numeratore è zero in 5/2; il denominatore è zero in −1.

Prendiamo gli intervalli esterni. Includiamo 5/2, escludiamo −1.

Soluzione: x < −1 oppure x ≥ 5/2, cioè (−∞, −1) ∪ [5/2, +∞).

Controlliamo nella disequazione iniziale: con x = −2 il primo membro vale 11, quindi è ≥ 2; con x = 0 vale −3, quindi non va bene; con x = 5/2 vale esattamente 2. Il passaggio al confronto con zero è illustrato anche in F1, esempio 7.55, e F2, esempio 4.

6. Esempio D — Il numeratore diminuisce

Risolviamo (7 − x)/(2x + 4) < 0.

Dominio: x ≠ −2. I punti da segnare sono −2 e 7. Attenzione: 7 − x è positivo a sinistra di 7 e negativo a destra, non il contrario.

Soluzione: x < −2 oppure x > 7, cioè (−∞, −2) ∪ (7, +∞).

Con x = −3 otteniamo −5; con x = 0 otteniamo 7/4; con x = 8 otteniamo −1/20. In x = 7 la frazione vale zero: non soddisfa una disuguaglianza stretta. In x = −2 non esiste.

7. Come leggere la risposta e controllarla

Nella scrittura [−2, 5), la parentesi quadra include −2; quella tonda esclude 5. Il simbolo ∪ significa «unione»: vanno bene i valori del primo intervallo oppure del secondo. Con −∞ e +∞ si usano sempre parentesi tonde: non sono numeri da includere.

Per controllare il lavoro, scegli un valore interno a ogni intervallo e sostituiscilo nella relazione iniziale. Poi controlla separatamente gli estremi. Una prova numerica non dimostra da sola l’intera soluzione: è lo studio del segno a giustificare tutti i valori degli intervalli. Nei casi affrontati qui, un fattore lineare non può cambiare segno dentro un intervallo che non contiene il suo zero.

Tre errori da riconoscere:

• «Moltiplico per il denominatore e lascio il verso». Puoi farlo soltanto dopo averne stabilito il segno; se è negativo il verso si inverte.
• «Con ≤ metto dentro tutti gli estremi». No: gli zeri dei denominatori restano esclusi.
• «La frazione è positiva solo se lo sono entrambi i pezzi». Anche negativo diviso negativo è positivo.

8. Prova tu

Per ogni disequazione scrivi il dominio, i punti che separano gli intervalli, i segni e la soluzione. Fai almeno una sostituzione di controllo nella relazione iniziale. Tutti i dati sono costruiti per questa lezione.

E1. (x − 3)/(x + 4) > 0.

E2. (2x + 8)/(x − 1) ≤ 0.

E3. (5 − x)/(x + 3) ≥ 0.

E4. (3x + 2)/(x − 2) < 3.

E5. 6/(x − 4) ≥ 0. Il numeratore può annullarsi?

E6. (x − 6)/(x − 6) ≤ 1. La semplificazione permette di accettare x = 6?

E7. (2 − x)/(3x − 6) ≥ 0. Prima scrivi il dominio, poi raccogli i fattori comuni.

E8. Giulia risolve (x + 5)/(x − 2) > 0 scrivendo «x + 5 > 0, quindi x > −5». Trova un numero che lei accetta per errore, spiega il passaggio scorretto e scrivi la soluzione corretta.

9. Soluzioni ragionate

E1. Dominio: x ≠ −4. I punti sono −4 e 3; il quoziente ha segni +, −, + nei tre intervalli ordinati. Serve > 0: (−∞, −4) ∪ (3, +∞). Entrambi i punti restano esclusi. Con x = −5 si ottiene 8, quindi il ramo a sinistra non va perso.

E2. Dominio: x ≠ 1. Il numeratore si annulla in −4; i segni sono +, −, +. Serve ≤ 0: [−4, 1). In −4 la frazione vale zero; in 1 non esiste. Con x = 0 si ottiene −8, che va bene.

E3. Dominio: x ≠ −3. Il numeratore si annulla in 5. Nei tre intervalli i segni della frazione sono −, +, −. Serve ≥ 0: (−3, 5]. Con x = 0 si ottiene 5/3; con x = 5 si ottiene zero. Entrambi soddisfano la richiesta.

E4. Dominio: x ≠ 2. Sottrai 3 e riduci a una frazione: [3x + 2 − 3(x − 2)]/(x − 2) < 0, quindi 8/(x − 2) < 0. Il numeratore è sempre positivo; serve x − 2 < 0. Soluzione: (−∞, 2). Con x = 0 il primo membro iniziale vale −1, che è minore di 3.

E5. Dominio: x ≠ 4. Il numeratore 6 è sempre positivo e non si annulla. La frazione non può quindi valere zero: per soddisfare ≥ 0 deve essere positiva. Soluzione: (4, +∞). Con x = 5 si ottiene 6; il punto 4 resta escluso.

E6. Dominio: x ≠ 6. Nel dominio il quoziente vale 1, quindi la richiesta 1 ≤ 1 è sempre vera. Soluzione: ℝ ∖ {6}, ossia (−∞, 6) ∪ (6, +∞). Il numero 6 non rientra dopo la semplificazione. Con x = 0 il quoziente è (−6)/(−6) = 1.

E7. Dominio: x ≠ 2. Poiché 2 − x = −(x − 2) e 3x − 6 = 3(x − 2), il quoziente vale −1/3 in tutto il dominio. Non è mai ≥ 0: la soluzione è ∅, l’insieme vuoto. Per esempio con x = 0 si ottiene 2/(−6) = −1/3. Il punto 2 non è una soluzione: lì la frazione non esiste.

E8. Giulia accetta, per esempio, x = 0, ma nella frazione iniziale otteniamo 5/(−2) = −5/2, che non è > 0. Ha moltiplicato per x − 2 senza distinguerne il segno. Il dominio esclude 2; il numeratore si annulla in −5. I segni del quoziente sono +, −, +, quindi la soluzione corretta è (−∞, −5) ∪ (2, +∞). In −5 il valore è zero, non positivo.

Fonti per il metodo

F1. OpenStax, Intermediate Algebra 2e, §7.6, «Solve Rational Inequalities». Riquadro «How To: Solve a rational inequality», passi 1–5; esempio 7.54, scelta degli estremi; esempio 7.55, riduzione al confronto con zero. Leggi la sezione.

F2. Paul Dawkins, Lamar University, Algebra, §2.13, «Rational Inequalities». Esempio 1, perché non eliminare un denominatore senza conoscerne il segno e perché escluderne gli zeri; esempio 4, sottrazione del secondo membro e frazione unica. Leggi la sezione.

Le due fonti sono indipendenti tra loro. Spiegazioni, numeri, esempi ed esercizi di questa lezione sono originali; le fonti sono usate per controllare il metodo, non come origine dei risultati numerici.

Materiale non ancora approvato da un docente: revisione docente e prova in classe restano aperte. La collocazione nel secondo anno, i tempi e gli adattamenti vanno confermati con il docente. Il PDF conserva la dicitura «Bozza per revisione docente».