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Matematica · Scuola secondaria di primo grado · Classe seconda o terza
In breve
In un gioco alcune cose cambiano a ogni mossa, mentre altre restano uguali. Se giriamo esattamente due gettoni per volta, il numero di teste può aumentare di 2, diminuire di 2 oppure restare uguale: non cambia mai la sua parità. Questa proprietà, detta invariante, permette di dimostrare che certi obiettivi sono impossibili senza provare tutte le sequenze. Per gli obiettivi possibili, invece, cercheremo una costruzione: sapere che qualcosa non è vietato non equivale ancora a mostrare come ottenerlo.
La sfida: serve davvero continuare a provare?
Metti sul tavolo cinque gettoni: due mostrano una testa, tre una croce. Puoi scegliere due gettoni e girarli entrambi. Vorresti ottenere cinque teste. Dopo qualche tentativo non ci sei riuscito. Hai soltanto scelto male le mosse, oppure l’obiettivo è impossibile?
Questa lezione insegna a rispondere con un ragionamento che vale per tutte le mosse possibili, non soltanto per quelle già tentate. Il gioco non è una gara di fortuna: sei tu a scegliere i gettoni, che non vengono lanciati.
Materiali: da quattro a otto gettoni bifacciali, oppure dischetti di carta segnati con T su una faccia e C sull’altra; carta e penna. La disposizione scritta rende l’attività utilizzabile anche senza gettoni reali.
Prerequisiti: riconoscere numeri pari e dispari; sommare e sottrarre numeri interi per l’ultima applicazione. Non servono probabilità, grafi o formule avanzate.
Al termine saprai: riconoscere una proprietà conservata dalle mosse; usarla per dimostrare un’impossibilità; descrivere una sequenza che raggiunge un bersaglio consentito.
Un richiamo essenziale: che cosa significa parità?
La parità indica se un numero intero è pari o dispari. Sono pari 0, 2, 4, 6; sono dispari 1, 3, 5, 7. Anche gli interi negativi hanno una parità: −4 è pari, −3 è dispari.
Aggiungere o togliere 2 non cambia la parità. Per esempio, 3 diventa 5 oppure 1, sempre dispari; 4 diventa 6 oppure 2, sempre pari. Anche lasciare un numero invariato ne conserva naturalmente la parità. Attenzione: stessa parità non significa stesso numero.
1. Fissiamo le regole, poi cerchiamo ciò che non cambia
Numeriamo i gettoni da sinistra a destra. Scriviamo T per testa e C per croce. La scrittura T C T C C, per esempio, descrive cinque gettoni e contiene due teste.
Nel gioco principale valgono sempre queste regole:
- il numero e le posizioni dei gettoni non cambiano;
- una mossa consiste nel girare esattamente due gettoni distinti, una volta ciascuno;
- possiamo scegliere qualunque coppia, anche non adiacente;
- non ci sono altri divieti e possiamo fare tutte le mosse necessarie, anche nessuna se il bersaglio è già raggiunto.
Girare un gettone significa sostituire T con C oppure C con T. Non significa spostarlo. Girare due volte lo stesso gettone non è una mossa ammessa.
I soli tre casi possibili
Chiamiamo H il numero complessivo di teste. Per capire come cambia H basta osservare la coppia scelta: tutti gli altri gettoni rimangono uguali.
| Coppia prima della mossa | Coppia dopo | Variazione di H |
|---|---|---|
| T T | C C | −2 |
| C C | T T | +2 |
| T C oppure C T | C T oppure T C | 0 |
Nel caso misto una testa scompare, ma sull’altro gettone ne compare una: il totale non cambia. La tabella esaurisce tutte le possibilità, perché ogni gettone ha soltanto due facce.
La prova dell’invariante
In ogni mossa H cambia di −2, +2 oppure 0. Tutti e tre i cambiamenti conservano la parità. Quindi, se il numero di teste è pari prima di una mossa, lo sarà anche dopo; se è dispari, resterà dispari.
Lo stesso ragionamento vale per la mossa successiva, poi per quella ancora successiva, senza eccezioni. Perciò dopo qualsiasi numero di mosse il numero di teste ha la stessa parità iniziale. Una proprietà che si conserva dopo ogni mossa consentita si chiama invariante.
L’invariante trovato non è H: il numero di teste può cambiare. È la parità di H. Il numero totale di gettoni è un altro invariante, ma non ci aiuta a distinguere due disposizioni con lo stesso numero di gettoni.
2. Tre esempi svolti: escludere e costruire
Esempio 1 · Cinque teste che non arriveranno
Partenza: T C T C C. Bersaglio: T T T T T.
All’inizio ci sono 2 teste, un numero pari. Il bersaglio ne richiede 5, un numero dispari. L’invariante impedisce il passaggio da pari a dispari: il bersaglio è impossibile.
Non importa quante volte tentiamo o quali coppie scegliamo. Non abbiamo dimostrato che è difficile: abbiamo dimostrato che nessuna sequenza ammessa può riuscire.
Esempio 2 · Un obiettivo possibile, con le mosse scritte
Partenza: T C C T C C. Bersaglio: T T T T T T.
Ci sono 2 teste all’inizio e ne vogliamo 6: entrambe le quantità sono pari. Il controllo non esclude il bersaglio; per dimostrare che è possibile mostriamo le mosse.
| Passaggio | Coppia girata | Disposizione | Teste |
|---|---|---|---|
| Partenza | — | T C C T C C | 2 |
| Prima mossa | posizioni 2 e 3 | T T T T C C | 4 |
| Seconda mossa | posizioni 5 e 6 | T T T T T T | 6 |
Abbiamo raggiunto il bersaglio girando soltanto coppie di croci. Il numero di teste è cambiato, ma è rimasto sempre pari.
Esempio 3 · Stesso numero di teste, disposizione diversa
Partenza: T T C C. Bersaglio: T C C T.
Entrambe le disposizioni hanno 2 teste. La parità è compatibile. Confrontiamo però le singole posizioni: la prima e la terza sono già corrette; la seconda e la quarta devono cambiare.
Giriamo i gettoni 2 e 4: la seconda posizione passa da T a C e la quarta da C a T. Otteniamo subito T C C T.
Questa coppia non è adiacente, ma è permessa dalle nostre regole. Un bersaglio è una disposizione precisa: contare le teste è utile, ma non sostituisce il confronto fra le posizioni.
Due tipi di risposta, due giustificazioni
Per dire «impossibile», possiamo trovare un invariante incompatibile con il bersaglio. Per dire «possibile», basta esibire una sequenza valida e controllare che arrivi davvero al bersaglio. «Ho provato e non riesco» non dimostra impossibilità; «la parità coincide» richiede ancora una spiegazione della possibilità.
3. Perché il metodo funziona anche oltre gli esempi
Obiettivo tutte teste: una strategia generale
Se vogliamo ottenere tutte teste, guardiamo le croci rimaste. Se sono in numero pari, possiamo suddividerle in coppie e girare ogni coppia una sola volta. Ogni mossa elimina due croci senza modificare le teste già a posto. Alla fine non resta nessuna croce.
Se le croci sono in numero dispari, invece, non possiamo ottenere tutte teste. Infatti il numero totale dei gettoni è la somma di teste e croci: aggiungere un numero dispari di croci alle teste dà un totale di parità opposta. Il bersaglio «tutte teste» richiede quindi una parità diversa del numero di teste, vietata dall’invariante.
Conclusione: con le nostre regole, tutte teste si ottiene se e solo se il numero iniziale di croci è pari. Zero croci è un numero pari: in quel caso abbiamo già finito e non serve alcuna mossa.
Un bersaglio qualsiasi: controllare le posizioni da cambiare
Confrontiamo partenza e bersaglio, poi segniamo le posizioni in cui le facce sono diverse. Se le posizioni da cambiare sono in numero pari, accoppiamole liberamente e giriamo ogni coppia: ogni posizione sbagliata viene corretta una volta e quelle già corrette restano intatte.
Perché due disposizioni con la stessa parità delle teste hanno un numero pari di posizioni diverse? Alcuni cambiamenti devono trasformare T in C, altri C in T. La differenza fra questi due conteggi determina il cambiamento del numero di teste; la loro somma conta invece le posizioni diverse. Somma e differenza differiscono del doppio di un conteggio, quindi hanno la stessa parità. Se il cambiamento delle teste è pari, sono pari anche le posizioni diverse.
Dunque in questo gioco, con scelta libera delle coppie, la stessa parità delle teste è sia un requisito indispensabile sia una garanzia di raggiungibilità. La garanzia viene dalla costruzione appena descritta, non soltanto dall’osservazione dell’invariante.
Se le regole cambiano, va rifatto il ragionamento
Immagina ora una variante: con quattro gettoni si possono girare soltanto i gettoni 1 e 2. Da T T C C non puoi raggiungere T C C T, anche se entrambe le disposizioni hanno due teste. Il quarto gettone resta sempre C e non può diventare T.
La parità delle teste è ancora conservata, ma da sola non basta più: anche la faccia del quarto gettone è un invariante. Questa variante spiega perché bisogna leggere tutte le regole prima di applicare una conclusione.
4. La stessa idea sulla retta numerica
Facciamo un confronto breve. Una pedina parte da −3 e, a ogni mossa, può spostarsi di +2 oppure −2. Sono ammessi tutti gli interi, senza estremi, caselle vietate o altri vincoli.
A ogni mossa la posizione cambia di un numero pari: la sua parità resta invariata. Partendo da −3 possiamo quindi raggiungere soltanto interi dispari.
Possiamo arrivare a 5? Sì, e possiamo mostrarlo:
−3 → −1 → 1 → 3 → 5.
Sono quattro mosse da +2. Possiamo arrivare a 4? No, perché 4 è pari e la posizione rimane dispari dopo ogni mossa.
In realtà da −3 possiamo raggiungere ogni intero dispari: per un bersaglio maggiore facciamo passi da +2; per uno minore, passi da −2. La possibilità di muoversi nei due versi e l’assenza di ostacoli sono importanti. Non stiamo imponendo un numero esatto di mosse.
Il collegamento con i gettoni non è nell’aspetto degli oggetti, ma nel ragionamento: individua tutti i cambiamenti possibili, trova ciò che conservano e confronta partenza e arrivo.
5. Un’attività da fare in coppia
Usate sei gettoni numerati. Uno studente prepara una disposizione e propone un bersaglio; l’altro, prima di toccare i gettoni, controlla la parità delle teste.
Se le parità sono diverse, deve spiegare perché nessuna sequenza funzionerà. Se sono uguali, deve segnare le posizioni diverse, dividerle in coppie e scrivere le mosse. Poi eseguitele e controllate il risultato. Scambiate i ruoli e ripetete con un nuovo bersaglio.
Una registrazione utile contiene quattro dati: disposizione iniziale, bersaglio, posizioni diverse e coppie girate. La spiegazione conta più della velocità. Potete lavorare soltanto con le lettere T e C se preferite non usare materiali.
Errori da riconoscere
- «Il numero di teste non cambia». Può cambiare di 2: a conservarsi è la parità.
- «Dopo tante mosse tutto diventa possibile». Ripetere mosse che conservano una proprietà non permette di violarla.
- «La parità coincide, quindi non devo spiegare altro». Occorre una costruzione oppure un risultato già dimostrato per quelle precise regole.
- «Una coppia deve essere vicina». Non nel gioco principale; un vincolo diverso va dichiarato esplicitamente.
6. Esercizi
Regola comune agli esercizi 1–6 e 9: giri esattamente due gettoni distinti per mossa; puoi scegliere qualunque coppia. T significa testa, C croce. Puoi fare anche zero mosse. Le sole varianti sono indicate nel testo.
1 · Completa e spiega
Una coppia T T diventa C C; una coppia C C diventa T T; una coppia T C diventa C T. Per ogni caso scrivi di quanto cambia il numero totale di teste. Quale proprietà hanno in comune i tre cambiamenti?
2 · Un bersaglio da scartare
Cinque gettoni partono da C T C C C. Vuoi una disposizione con esattamente quattro teste. È possibile? Giustifica senza elencare tentativi.
3 · Dopo ventitré mosse
Tredici gettoni mostrano inizialmente sei teste e sette croci. Dopo 23 mosse, il numero di teste sarà pari o dispari? Puoi ricavare anche il numero esatto delle teste dai soli dati forniti? Motiva entrambe le risposte.
4 · Tutte teste, passo dopo passo
Parti da C T C T C T C T. Raggiungi tutte teste indicando le coppie di posizioni girate e la disposizione dopo ciascuna mossa. Puoi riuscirci in una sola mossa? Perché?
5 · Non basta contare
Trasforma T T C C T C in C T T C C T. Segna prima le posizioni diverse, poi proponi una sequenza valida. Controlla la disposizione dopo ogni mossa.
6 · Lo zero non è un’eccezione
Hai sei gettoni già tutti T. L’obiettivo è tutte teste. Quante mosse sono necessarie? Come si collega la risposta alla regola sul numero di croci?
7 · Una regola diversa
Nella variante con quattro gettoni puoi girare soltanto i gettoni 1 e 2. Parti da T T C C e vuoi arrivare a T C C T. Il controllo della parità delle teste vieta il bersaglio? Il bersaglio è davvero raggiungibile? Trova un’altra proprietà conservata che decida la risposta.
8 · Passi di due
Su tutti gli interi, senza ostacoli, parti da −5 e puoi muoverti di +2 oppure −2. Puoi raggiungere 9? E 8? Per il bersaglio possibile indica il numero di mosse e il loro verso; per l’altro spiega l’impossibilità.
9 · La regola generale
Nove gettoni hanno tre teste e sei croci. È possibile ottenere tutte teste? Descrivi una strategia che funzioni qualunque sia la posizione delle sei croci. Poi spiega che cosa cambierebbe se le croci iniziali fossero cinque.
7. Soluzioni commentate · Esercizi 1–5
1 · I tre cambiamenti
I cambiamenti sono −2, +2 e 0. Nel caso misto una testa diventa croce e una croce diventa testa: le due variazioni si compensano. Tutti e tre i cambiamenti sono pari e quindi conservano la parità del numero totale di teste. Attenzione a non confondere un cambiamento pari con un numero di teste necessariamente pari: anche un conteggio dispari rimane dispari.
2 · Impossibile, non soltanto difficile
All’inizio c’è 1 testa, quindi il conteggio è dispari. Il bersaglio richiede 4 teste, un conteggio pari. Ogni mossa conserva la parità delle teste: nessuna sequenza può raggiungere il bersaglio. Non occorre conoscere la posizione delle quattro teste finali, perché il loro numero è già incompatibile.
3 · La parità è nota, il conteggio no
Il numero di teste sarà pari, perché parte da 6 e la parità si conserva a ogni mossa, anche dopo 23 mosse. Il numero esatto non è determinato.
Per verificarlo concretamente, possiamo scegliere una coppia mista e girare sempre quella: dopo 23 mosse il totale delle teste è ancora 6. Oppure scegliamo inizialmente due croci e giriamo sempre quelle: dopo 23 mosse quei due gettoni sono diventati teste e il totale è 8. Girare due volte la stessa coppia la riporta allo stato di prima; con un numero dispari di ripetizioni resta l’effetto di una sola girata. Abbiamo così due esiti diversi, entrambi compatibili con i dati.
4 · Due mosse, non una
Le croci sono nelle posizioni 1, 3, 5 e 7. Una possibile sequenza è:
| Passaggio | Coppia girata | Disposizione |
|---|---|---|
| Partenza | — | C T C T C T C T |
| Prima mossa | 1 e 3 | T T T T C T C T |
| Seconda mossa | 5 e 7 | T T T T T T T T |
Una sola mossa gira soltanto due gettoni e non può correggere tutte e quattro le croci. Due mosse sono sufficienti e sono anche il minimo. Le coppie non adiacenti sono permesse.
5 · Quattro posizioni da correggere
Le posizioni diverse sono 1, 3, 5 e 6. Possiamo girare prima 1 e 3, poi 5 e 6:
T T C C T C → C T T C T C → C T T C C T.
Il bersaglio è esatto. In ogni disposizione ci sono 3 teste: entrambe le mosse usano una coppia mista. Non era necessario mantenere lo stesso conteggio a ogni passaggio, ma questa sequenza lo fa. La prova di possibilità è la sequenza, non il solo confronto fra i conteggi.
8. Soluzioni commentate · Esercizi 6–9
6 · Il bersaglio è già raggiunto
Sono necessarie zero mosse. Le croci sono 0, che è pari: la strategia di accoppiarle termina subito, perché non c’è nulla da correggere. Fare mosse non è obbligatorio.
7 · Una proprietà più forte nella variante
Entrambe le disposizioni hanno 2 teste: la parità non vieta il bersaglio. Tuttavia il gettone 4 non può mai essere girato, quindi la sua faccia resta C; il bersaglio la richiede T. Il bersaglio è impossibile.
Anche la faccia del gettone 3 resta invariata, ma è il quarto a fornire qui la contraddizione. La dimostrazione di raggiungibilità del gioco principale non si applica: in questa variante non possiamo scegliere liberamente le coppie.
8 · Un bersaglio possibile e uno impossibile
9 è raggiungibile: la differenza fra 9 e −5 è 14; servono 7 mosse da +2.
−5 → −3 → −1 → 1 → 3 → 5 → 7 → 9.
8 non è raggiungibile: −5 è dispari e ogni mossa conserva la parità della posizione, mentre 8 è pari. Muoversi prima avanti e poi indietro non cambia questa conclusione.
9 · Accoppiare le croci
Con 6 croci si può riuscire: numeriamo le loro posizioni, suddividiamole in tre coppie e giriamo ogni coppia una volta. Dopo 3 mosse tutte le sei croci sono diventate teste e le tre teste iniziali non sono state toccate. Il ragionamento vale qualunque sia la disposizione iniziale delle croci.
Se invece, sempre su nove gettoni, le croci fossero 5, avremmo 4 teste iniziali. Passare da 4 a 9 teste cambierebbe la parità da pari a dispari: sarebbe impossibile. Non è soltanto un problema dell’ultima croce rimasta senza compagna: l’invariante esclude qualunque strategia alternativa.
Da ricordare
Prima leggi le regole. Poi cerca ciò che ogni mossa conserva. Se partenza e bersaglio sono incompatibili con l’invariante, il passaggio è impossibile. Se sono compatibili, mostra una costruzione o usa una strategia già dimostrata per quelle regole.
Fonti per approfondire
- University of Wisconsin–Madison, CS/Math 240 — Reading 6: Invariants, § 6.1–6.1.1: definizione di invariante e prova della conservazione della parità in un sistema a mosse, con un robot su una griglia.
- University of Washington, UW Math Circle: Invariants, 21 aprile 2016, problema 7, p. 2: propone un gioco nel quale si girano due monete adiacenti. Qui le coppie sono invece scelte liberamente: regole e dimostrazioni di raggiungibilità sono esplicitate nella lezione.
La spiegazione, gli esempi e gli esercizi sono rielaborati per questo percorso. Le fonti sostengono il metodo matematico; non vengono presentate come se contenessero le stesse attività o la prova della nostra specifica variante.
Revisione docente: APERTA. Prova in classe: APERTA.