Scarica il PDF completo: spiegazione, attività, esercizi e soluzioni
Scheda in breve
Materia: Matematica · Scuola: secondaria di primo grado · Classe proposta: seconda, con ripresa in terza. Tempo orientativo: due incontri da 50 minuti, da adattare alla classe.
Domanda guida: dove puoi mettere un punto perché sia alla stessa distanza da due lati di un angolo?
Idea centrale: la bisettrice non divide soltanto un angolo in due parti uguali. I suoi punti sono equidistanti dai lati, se la distanza si misura lungo le perpendicolari. E, viceversa, un punto interno equidistante dai lati sta sulla bisettrice.
Prerequisiti: angoli, perpendicolarità, triangoli rettangoli; per la giustificazione, criteri di congruenza dei triangoli rettangoli, richiamati nel testo. Obiettivi: scegliere le distanze corrette, riconoscere un luogo geometrico, costruire una bisettrice e distinguere un controllo sul disegno da una spiegazione generale.
Confini: lavoriamo con angoli acuti e retti, cioè maggiori di 0° e non maggiori di 90°. Non studiamo qui incentro, bisettrici esterne o rapporti fra segmenti nel triangolo. Le misure dei problemi sono esatte nel modello; quelle del laboratorio sono approssimate.
1. Un punto fra due pareti
Immagina la pianta di una stanza: due pareti rettilinee si incontrano formando un angolo retto. Vuoi segnare un punto sul pavimento che sia alla stessa distanza dalle due pareti. Puoi scegliere un solo punto? No: ne trovi molti, alcuni vicini all’angolo, altri più lontani.
La parola importante è distanza. Da un punto a una retta, la distanza è la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta, non quella di un segmento obliquo scelto a piacere. Nel modello trascuriamo spessore e irregolarità delle pareti.
Chiamiamo O il vertice, r e s i lati dell’angolo. Scelto un punto interno P, tracciamo le perpendicolari ai lati: i punti d’incontro sono H su r e K su s. Le distanze da confrontare sono PH e PK. Non sono OP, OH o OK.
Negli angoli acuti e retti qui considerati, i piedi H e K di un punto interno cadono sulle semirette che formano i lati: non serve prolungarle oltre O. Questa scelta ci permette di ragionare sui lati senza ambiguità.
Figura originale: l’angolo è retto e P è il punto di coordinate (3; 3), in unità convenzionali. Le distanze dai lati sono entrambe 3; OP non è una delle due distanze da confrontare.
2. Due modi per riconoscere la bisettrice
La bisettrice è la semiretta che parte dal vertice e divide l’angolo in due angoli di uguale ampiezza. In un angolo di 70° forma due angoli di 35°; in uno retto ne forma due di 45°. [1, “Definizione”]
Possiamo descriverla anche con una condizione sulle distanze:
Fra i punti interni dell’angolo, quelli che hanno uguale distanza dai due lati sono esattamente i punti della bisettrice, escluso il vertice. [2, “Locus Theorem 5”]
“Esattamente” significa che valgono due versi: se P sta sulla bisettrice, allora PH = PK; se P è interno e PH = PK, allora P sta sulla bisettrice. Il vertice O non è interno: appartiene comunque alla semiretta bisettrice e ha distanza zero da entrambi i lati.
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti che rispettano una condizione. Qui la condizione è l’uguaglianza delle due distanze perpendicolari. Non stiamo scegliendo una distanza fissa, per esempio 2 cm: passando da un punto all’altro della bisettrice, la distanza comune può cambiare. [1, primo “Teorema”; 2, richiamo iniziale e “Locus Theorem 5”]
3. Perché funziona: due triangoli da confrontare
Traccia PH e PK come sopra e osserva i triangoli rettangoli OPH e OPK. L’ipotenusa OP è la stessa in entrambi.
Primo verso: dalla bisettrice alle distanze. Se P sta sulla bisettrice, gli angoli HOP e POK sono uguali. I due triangoli rettangoli hanno la stessa ipotenusa e un angolo acuto uguale: sono congruenti. Perciò anche i cateti corrispondenti PH e PK sono uguali.
Secondo verso: dalle distanze alla bisettrice. Se PH = PK, i due triangoli rettangoli hanno la stessa ipotenusa OP e un cateto uguale. Sono congruenti per il criterio ipotenusa–cateto. Quindi gli angoli HOP e POK sono uguali: OP divide l’angolo in due parti uguali, dunque P sta sulla bisettrice.
Richiamo sui criteri: nei triangoli rettangoli bastano ipotenusa e un angolo acuto corrispondente, oppure ipotenusa e un cateto corrispondente, per stabilire la congruenza. Nel secondo caso, il teorema di Pitagora determina anche l’altro cateto: con ipotenusa c e cateto a, il suo quadrato è c² − a². Si riconduce così il confronto ai tre lati uguali. Se questi criteri non sono ancora stati affrontati, la sezione va letta con l’insegnante, senza presentare il laboratorio come una dimostrazione sostitutiva.
La giustificazione qui esposta sviluppa il teorema enunciato nelle fonti [1–2]; i nomi dei punti e i passaggi sono organizzati per questa lezione.
4. Costruirla con riga e compasso
Disegna un angolo acuto o retto con vertice O. Usa il compasso soltanto sulla carta, con l’attenzione richiesta agli strumenti appuntiti.
- Con centro O, traccia un arco che incontri i due lati in A e B. Così OA = OB.
- Mantieni l’apertura del primo arco, uguale a OA e OB. Con questa stessa apertura, traccia due archi con centri A e B.
- Le due circonferenze passano per O e hanno un secondo punto d’intersezione, interno all’angolo. Chiama C questo secondo punto, non O, e traccia la semiretta OC.
- Nei triangoli OAC e OBC, OA = OB, AC = BC e OC è comune. Sono congruenti per il criterio dei tre lati; quindi AOC e COB hanno la stessa ampiezza. OC è la bisettrice.
Non basta che gli archi “sembrino simmetrici”: devono avere la stessa apertura. Se sul foglio non vedi C, prolunga gli archi mantenendo l’apertura: non cambiarne uno solo. In questa costruzione OA = OB = AC = BC; per un angolo acuto o retto il secondo punto C è sempre interno. [3, paragrafi “The construction presented by the applet…” e “Consider two triangles…”]
5. Laboratorio: scegli, misura, spiega
Materiali: foglio, matita, riga, squadra, compasso; goniometro facoltativo. Lavorate in coppia. Tempi proposti, non sperimentati: circa 15 minuti per costruire e 10 per discutere.
Disegnate un angolo di circa 60° e costruite la bisettrice. Segnate su di essa tre punti interni, P, Q e R, a distanze diverse da O. Per ciascuno, usate la squadra per tracciare le perpendicolari ai due lati. Misurate i due segmenti e registrate i risultati in millimetri.
| Punto | Distanza da r | Distanza da s | Differenza fra le letture |
|---|---|---|---|
| P | … mm | … mm | … mm |
| Q | … mm | … mm | … mm |
| R | … mm | … mm | … mm |
Segnate poi un punto T interno ma chiaramente fuori dalla bisettrice. Ripetete la misura e confrontate il risultato. Infine scrivete due frasi: che cosa suggerisce il disegno? Che cosa garantisce la spiegazione con i triangoli?
Esito atteso, non dati raccolti: per P, Q e R le due letture dovrebbero risultare uguali o vicine, nei limiti del disegno e degli strumenti; il valore comune non è necessariamente lo stesso nei tre casi. Per T ci aspettiamo distanze diverse. Piccole differenze o uguaglianze delle letture non provano, da sole, che un punto stia o non stia esattamente sulla bisettrice. Il risultato generale viene dal ragionamento della sezione 3.
6. Due esempi svolti
Esempio A — La misura che manca
Un angolo misura 84°. P è un punto interno sulla bisettrice. La distanza di P dal primo lato è 2,8 cm. Quanto dista dal secondo lato? Quali angoli forma OP con i lati?
Soluzione. La distanza dal secondo lato è 2,8 cm, perché P è sulla bisettrice. Gli angoli misurano 42° e 42°, perché 84° : 2 = 42°. Sono due proprietà collegate ma diverse: una riguarda lunghezze, l’altra ampiezze. Non possiamo concludere che OP misuri 2,8 cm.
Esempio B — Leggere le distanze su una griglia
I lati di un angolo retto coincidono con il semiasse orizzontale positivo e il semiasse verticale positivo. Il punto U ha coordinate (5; 2), in centimetri. È sulla bisettrice?
Soluzione. U dista 2 cm dal lato orizzontale e 5 cm da quello verticale. Le distanze sono diverse, quindi U non è sulla bisettrice. Un punto interno V = (4; 4), invece, dista 4 cm da entrambi: V sta sulla bisettrice. Nel primo quadrante la condizione si scrive x = y, con x e y positivi. È una traduzione in coordinate del criterio, non un nuovo criterio valido in qualsiasi sistema di riferimento.
7. Esercizi
1 — Metà dell’angolo. Un angolo misura 76°. La semiretta OP lo divide in 38° e 38°. P è interno; la sua distanza da un lato è 1,7 cm. Quanto dista dall’altro? Spiega il legame fra le due informazioni.
2 — Informazioni insufficienti. P è interno a un angolo retto e OP = 5 cm. Un compagno conclude: «Allora P è sulla bisettrice». Ha ragione? Costruisci un controesempio con coordinate positive.
3 — Scegli i punti. Nel sistema di riferimento dell’esempio B, considera A = (2; 2), B = (2; 5), C = (4; 4), D = (6; 3), in centimetri. Per ogni punto scrivi prima la distanza dal lato orizzontale, poi quella dal verticale. Quali punti stanno sulla bisettrice?
4 — Il verso inverso. P è interno a un angolo di 68°. Le sue distanze perpendicolari dai lati sono entrambe 3,2 cm. Quale conclusione puoi trarre sulla semiretta OP? Quanto misurano i due angoli?
5 — Il segmento sbagliato. In un angolo retto, un punto P è collegato a due punti A e B scelti sui lati. Si sa soltanto che PA = PB = 5 cm; non sono segnati angoli retti in A o B. Basta per concludere che P è sulla bisettrice? Spiega che cosa va controllato prima di chiamare PA e PB “distanze dai lati”.
6 — Cerca l’errore nella costruzione. Marta traccia il primo arco con centro O, poi due archi con centri A e B: il primo ha raggio 3 cm, il secondo 4 cm. Collega O a una loro intersezione C interna all’angolo. Ha seguito una costruzione che garantisce la bisettrice? Quale uguaglianza manca?
7 — Una distanza comune fissata. Nel sistema dell’esempio B cerca tutti i punti interni che distano esattamente 2 cm da entrambi i lati. Quanti sono? Come cambia la risposta se chiediamo soltanto che le due distanze siano uguali, senza fissarne il valore?
8 — Prova e osservazione. In un disegno le due distanze misurate di un punto T sono 30 mm e 31 mm. Puoi affermare con certezza che il punto geometrico che volevi costruire non è sulla bisettrice? Distingui il modello esatto dal controllo con gli strumenti.
9 — Completa la giustificazione. P è interno e PH = PK, con PH e PK perpendicolari ai lati. I triangoli OPH e OPK sono rettangoli. Qual è l’ipotenusa comune? Quale criterio li rende congruenti? Quali angoli risultano uguali?
8. Soluzioni commentate
1. La semiretta OP è la bisettrice perché divide 76° in due angoli uguali di 38°. P dista quindi 1,7 cm anche dall’altro lato. Il valore non si ottiene dividendo 76: l’uguaglianza delle lunghezze segue dalla proprietà della bisettrice.
2. Non basta conoscere OP. Un controesempio è P = (3; 4): per Pitagora OP = 5 cm, ma le distanze dai lati sono 4 e 3 cm, diverse. La distanza dal vertice non determina da sola la posizione sulla bisettrice.
3. A: 2 e 2 cm; B: 5 e 2 cm; C: 4 e 4 cm; D: 3 e 6 cm. Sulla bisettrice stanno A e C. A e C non devono avere la stessa distanza da O: conta che, per ciascun punto, le due distanze dai lati coincidano.
4. Per il verso inverso del teorema, OP è la bisettrice. I due angoli misurano 34° e 34°. L’essere interno all’angolo è una delle ipotesi: non va omessa.
5. Non basta. PA e PB sono distanze dai lati soltanto se sono perpendicolari ai rispettivi lati. Due segmenti obliqui uguali non soddisfano l’ipotesi del teorema. Per vedere che l’uguaglianza può ingannare, prendi P = (3; 4), A = (6; 0), B = (0; 8): per Pitagora PA e PB valgono entrambi 5, mentre le vere distanze dai lati sono 4 e 3. I segmenti scelti sono obliqui: il teorema non si può applicare a loro.
6. No: manca AC = BC, perché i due archi hanno raggi diversi. OA = OB e OC comune non bastano per il confronto dei tre lati. Occorre ripetere entrambi gli archi mantenendo l’apertura iniziale OA = OB, come nella costruzione della sezione 4.
7. C’è un solo punto: (2; 2). La distanza dal lato orizzontale impone y = 2 e quella dal verticale impone x = 2. Senza fissare la distanza comune, ci sono infiniti punti, tutti quelli (t; t) con t > 0: la parte interna della bisettrice.
8. No, non con certezza sul modello che si voleva realizzare. Una differenza di 1 mm può dipendere da tracciamento, posizionamento della squadra o lettura. Se invece 30 e 31 mm fossero distanze esatte date dal problema, allora T non sarebbe sulla bisettrice. Il laboratorio osserva un disegno, il teorema riguarda figure ideali.
9. L’ipotenusa comune è OP. Il criterio è ipotenusa–cateto, usando OP comune e PH = PK. Sono uguali gli angoli HOP e POK, perciò OP divide l’angolo in due parti uguali. Non si deve già supporre che OP sia la bisettrice: è proprio ciò che si sta dimostrando.
9. Da ricordare
Per riconoscere la bisettrice puoi confrontare due angoli oppure due distanze perpendicolari. Non confondere distanza dai lati e distanza dal vertice. Una misura sul foglio aiuta a esplorare, ma non sostituisce il ragionamento; un luogo geometrico raccoglie tutti e soli i punti che rispettano la condizione.
Fonti e passaggi verificabili
[1] Chiara Baldovino, “Bisettrice”, Polymath — DISMA, Politecnico di Torino. Edizione indicata nell’articolo: novembre 2006; versione web senza numero di revisione. URL: https:/
[2] MathBitsNotebook, “Locus: Equidistant from Sides of Angle”, Geometry → Constructions, Donna Roberts indicata come referente. Edizione web senza data e senza numero di revisione. URL: https:/
[3] Alexander Bogomolny, “Construction of the Angle Bisector”, Cut the Knot, Outline Mathematics → Geometry. Edizione web con data indicata 1 dicembre 2015, senza numero di revisione. URL: https:/
Le spiegazioni, i dati degli esercizi, il laboratorio e la figura sono elaborati originali. Le fonti [1] e [2] sono opere distinte di autori/editori diversi; non sono due copie della stessa pagina. Il perimetro ristretto ad angoli acuti e retti rende esplicita la posizione dei piedi delle perpendicolari sui lati.
Revisione docente e prova in classe: aperte