Scheda in breve
Titolo: Angoli esterni dei poligoni: le svolte fanno un giro.
Livello: seconda–terza della scuola secondaria di primo grado. Prerequisiti: angolo piatto e giro, angoli supplementari, somma degli angoli di un triangolo. Tempo indicativo: 35–45 minuti con attività, da adattare alla classe.
Domanda guida: perché la somma delle svolte lungo un triangolo e lungo un ottagono è la stessa?
Un angolo esterno adiacente è l’angolo fra il prolungamento del lato in arrivo e il lato successivo. Con l’interno forma 180°. Nei poligoni convessi, seguendo il contorno sempre nello stesso verso e scegliendo un esterno per vertice, la somma degli esterni è 360°.
Le relazioni essenziali: esterno = 180° − interno; somma esterni = 360°; somma interni = (n − 2) × 180°. Per un poligono regolare, ogni esterno = 360° : n.
Un esempio: nell’ottagono regolare ogni esterno misura 45° e ogni interno 135°. Gli esterni sommano 360°; gli interni 1080°.
Attenzione: «gli esterni sommano 360°» non vuol dire che siano uguali. Anche avere tutti gli angoli uguali non garantisce lati uguali: un rettangolo non quadrato non è regolare.
Attività: seguire a matita un contorno convesso, segnare e misurare le svolte, confrontare misura e dimostrazione. Il pacchetto comprende tre esempi, otto esercizi e otto soluzioni commentate.
Un triangolo e un ottagono hanno numeri diversi di lati. Eppure, se segui il loro contorno e sommi tutte le svolte, ottieni lo stesso risultato: 360°. Non stiamo sommando gli angoli dentro la figura, ma i cambiamenti di direzione lungo il bordo.
Prima di partire: quale poligono?
In questa lezione consideriamo poligoni convessi, senza lati intrecciati e senza rientranze: ogni angolo interno è minore di 180°. Puoi riconoscerli anche perché il segmento che unisce due punti della figura rimane nella figura. Escludiamo vertici appiattiti, cioè tre vertici consecutivi allineati.
Servono tre idee già note: angolo piatto di 180°, angolo giro di 360° e somma degli angoli di un triangolo uguale a 180°. Righello e goniometro bastano per l’attività.
Che cosa significa «angolo esterno»?
Segui un lato fino a un vertice. Prima di girare, immagina di continuare diritto: prolunga il lato in arrivo oltre il vertice. L’angolo fra quel prolungamento e il lato su cui proseguirai è l’angolo esterno che useremo. È la svolta necessaria per cambiare direzione.
Questo esterno è adiacente all’angolo interno: i due condividono un lato e, insieme, formano un angolo piatto. Perciò:
interno + esterno = 180°
esterno = 180° − interno
Se l’interno misura 110°, l’esterno adiacente misura 70°. Non scegliere tutto l’angolo che rimane fuori dal poligono: quello maggiore di 180° è un angolo riflesso e non è la svolta qui considerata. Scegliamo un solo esterno per vertice, sempre prolungando il lato in arrivo rispetto al verso scelto.
Figura originale. In B l’interno di 60° e l’esterno di 120° formano insieme 180°. Le frecce indicano A → B → C → A.
Perché la somma vale 360°
Immagina una piccola freccia che avanza lungo i lati, sempre nello stesso verso. In un poligono convesso, a ogni vertice gira dallo stesso lato: se percorri il contorno in senso antiorario, svolta sempre a sinistra. Le svolte non devono essere uguali.
Compiuto un giro del contorno, la freccia torna alla direzione iniziale dopo una rotazione complessiva di un giro. La somma delle ampiezze delle svolte è quindi 360°. Il caso convesso è importante: con rientranze o percorsi intrecciati questa descrizione richiederebbe altre convenzioni, che qui non studiamo. Percorrendo la figura nel verso opposto si svolta dall’altro lato, ma la somma delle ampiezze resta 360°.
Una dimostrazione con gli angoli interni
Un poligono convesso con n lati si divide in n − 2 triangoli tracciando da un vertice le diagonali verso i vertici non adiacenti. La somma degli interni è dunque:
(n − 2) × 180°
A ogni vertice, interno ed esterno adiacente sommano 180°. Sommando tutte le n coppie otteniamo n × 180°. Sottraiamo la somma degli interni:
somma esterni = n × 180° − (n − 2) × 180° = 360°
Il percorso aiuta a capire il risultato; la dimostrazione spiega perché funziona anche se i lati e gli angoli non sono tutti uguali.
Tre esempi svolti
1. Un triangolo non regolare
Gli interni misurano 50°, 60° e 70°: la loro somma è 180°. Gli esterni adiacenti sono rispettivamente 130°, 120° e 110°, perché si sottrae ogni interno da 180°.
130° + 120° + 110° = 360°
Gli esterni sono diversi, ma la loro somma è un giro completo.
2. Un pentagono non regolare
Un pentagono convesso ha interni di 100°, 110°, 120°, 130° e 80°. La somma è 540°, proprio (5 − 2) × 180°.
Gli esterni adiacenti misurano 80°, 70°, 60°, 50° e 100°:
80° + 70° + 60° + 50° + 100° = 360°
Non dividiamo 360° per 5: il pentagono non ha tutti gli angoli uguali.
3. Un ottagono regolare
Un poligono regolare ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli interni uguali. Anche gli esterni adiacenti sono uguali, quindi ciascuno misura:
360° : 8 = 45°
Ogni interno misura 180° − 45° = 135°. Controllo: gli otto interni sommano 1080°, cioè (8 − 2) × 180°. Gli otto esterni sommano 360°.
Quando posso dividere 360° per il numero dei lati?
Nel poligono regolare puoi scrivere esterno = 360° : n, perché gli esterni sono uguali. La formula vale anche per un poligono equiangolo, cioè con tutti gli angoli interni uguali, pur senza presumere che i lati siano uguali. Non vale invece per il singolo esterno di un poligono qualsiasi.
Se conosci un esterno di un poligono regolare, puoi trovare il numero dei lati: n = 360° : esterno. Il risultato deve essere un intero almeno uguale a 3. Per esempio, un esterno di 40° dà 9 lati; un esterno di 50° non può appartenere a un poligono regolare, perché il quoziente non è intero.
Tre idee da non confondere
- Attorno a un punto: gli angoli che riempiono tutto lo spazio attorno a quel punto sommano 360°. È l’idea usata nelle tassellazioni.
- Dentro un poligono: gli interni sommano (n − 2) × 180°. Soltanto per un quadrilatero questa somma è 360°.
- Lungo il contorno di un poligono convesso: un esterno adiacente per vertice, scelto con la stessa convenzione, dà sempre 360°.
Il controllo che puoi fare da solo
Prima di calcolare chiediti: sto usando angoli interni o svolte esterne? Il poligono è convesso? Ho scelto un solo esterno per vertice? Posso davvero supporre che gli angoli siano uguali?
Se rispondi a queste domande, non devi imparare formule scollegate: puoi ricostruire il ragionamento dal giro completo e dall’angolo piatto.
Attività, esercizi e soluzioni
Attività: una freccia sul contorno
Materiali: foglio, matita, righello e goniometro. Durata indicativa: 10–15 minuti. Puoi lavorare in coppia, senza muoverti dal banco.
- Disegna un pentagono convesso, anche non regolare. Controlla che non abbia rientranze o lati che si incrociano. Nomina i vertici A, B, C, D, E in ordine lungo il contorno.
- Scegli un verso e segnalo con frecce, per esempio A → B → C → D → E → A. Con la punta della matita simula una freccia che avanza lungo ogni lato.
- A ogni vertice prolunga con un tratto leggero il lato in arrivo. Segna l’esterno adiacente fra il prolungamento e il lato successivo. Non prendere l’angolo riflesso.
- Misura i cinque esterni con il goniometro. Scrivi nel quaderno una tabella con le colonne «vertice», «esterno misurato», «interno previsto = 180° − esterno». Somma gli esterni.
- Confronta la somma con 360°. Se non coincide esattamente, controlla il posizionamento del goniometro e la lettura della scala. Le misure reali hanno piccole imprecisioni: non correggerle di nascosto per far tornare il risultato.
- Ridisegna un triangolo molto diverso e ripeti. Spiega al compagno perché cambia il numero delle svolte, ma non la loro somma.
Che cosa consegnare: due disegni con verso e prolungamenti, le misure originali, le somme e una frase conclusiva. La misura illustra la proprietà: non sostituisce la dimostrazione. Per chi fatica con il goniometro, il docente può predisporre un disegno grande e affidare a uno studente la lettura e all’altro il controllo.
Domanda finale: nelle tassellazioni gli angoli si incontrano nello stesso punto; in questa attività dove si trovano? Risposta attesa: nei diversi vertici del contorno; non stiamo sommando tutti gli angoli attorno a un solo punto.
Otto esercizi
Per «esterno» si intende sempre l’esterno adiacente, uno per vertice e scelto in modo coerente lungo il contorno. I poligoni sono convessi.
- Dall’interno all’esterno. Un quadrilatero ha interni di 90°, 85°, 105° e 80°. Trova i quattro esterni e controlla la somma.
- La svolta mancante. Cinque esterni di un esagono misurano 40°, 55°, 65°, 70° e 80°. Trova il sesto e il suo interno adiacente.
- Quanti lati? Un poligono regolare ha ogni esterno di 30°. Quanti lati ha? Quanto misura ogni interno?
- Un’informazione impossibile. «Ho disegnato un poligono regolare con ogni esterno di 50°». Può essere vero? Giustifica senza provare a disegnarlo.
- Due somme diverse. Marta dice: «In un esagono la somma degli interni è 720°, quindi anche quella degli esterni è 720°». Quale parte è corretta? Correggi la frase.
- Il quinto vertice. Quattro esterni di un pentagono misurano 60°, 75°, 80° e 65°. Trova il quinto e l’interno corrispondente. Il pentagono può essere regolare?
- Un ottagono regolare. Calcola ogni esterno, ogni interno e la somma degli interni. Scrivi un controllo che usi il numero dei lati.
- Uguali angoli, uguali lati? Luca sostiene: «Se gli esterni sono tutti uguali, il poligono è sicuramente regolare». Valuta la frase usando un rettangolo con lati di 3 cm e 5 cm. Spiega anche perché sapere soltanto che la somma degli esterni è 360° non basta per affermare che siano uguali.
Soluzioni commentate
1. Quattro sottrazioni, poi un controllo
Sottraggo ciascun interno da 180°: ottengo 90°, 95°, 75° e 100°. La somma è 360°. Il controllo degli interni dà 360°, come deve accadere in un quadrilatero; l’uguaglianza delle due somme è particolare del quadrilatero, non di ogni poligono.
2. Prima il totale noto
I cinque esterni noti sommano 310°. Il sesto misura 360° − 310° = 50°. L’interno adiacente è 180° − 50° = 130°. Non sottraggo i 310° da 720°: quest’ultimo è il totale degli interni dell’esagono.
3. Svolte uguali
Poiché il poligono è regolare, gli esterni sono uguali. Il numero dei lati è 360° : 30° = 12. Ogni interno misura 150°. Il controllo è 12 × 30° = 360°.
4. Il numero dei lati deve essere intero
Dovrebbe valere n × 50° = 360°, ma 360 : 50 = 7,2. Non si possono avere 7,2 lati: il poligono regolare descritto non esiste. Non arrotondiamo a 7 o a 8, perché cambierebbe la misura dell’angolo data.
5. Marta ha mescolato interni ed esterni
È corretta la somma degli interni: (6 − 2) × 180° = 720°. Gli esterni adiacenti sommano invece 360°. Una correzione possibile è: «In un esagono convesso gli interni sommano 720°, mentre gli esterni adiacenti, uno per vertice, sommano 360°».
6. Un esterno può ripetersi senza regolarità
La somma nota è 280°, quindi il quinto esterno misura 80°. L’interno adiacente misura 100°. Il pentagono non è regolare, perché gli esterni dati non sono tutti uguali; avere due esterni di 80° non basta.
7. Tre quantità da distinguere
Ogni esterno è 360° : 8 = 45°. Ogni interno è 180° − 45° = 135°. La somma degli interni è 8 × 135° = 1080°, uguale a (8 − 2) × 180°. Il controllo degli esterni è 8 × 45° = 360°.
8. Un controesempio semplice
Il rettangolo di 3 cm per 5 cm ha quattro interni retti e quindi quattro esterni di 90°, tutti uguali. Non è regolare: i lati non sono tutti uguali. Gli esterni uguali garantiscono interni uguali, non lati uguali. Inoltre la sola somma di 360° non impone che gli addendi siano uguali: nel quadrilatero dell’esercizio 1 gli esterni sono diversi e sommano ugualmente 360°.
Fonti e approfondimenti
La spiegazione, gli esempi, la figura e gli esercizi sono stati redatti per questa lezione. Le fonti seguenti sono state aperte e lette: non sono citate soltanto sulla base dei risultati di ricerca. Non si ridistribuiscono i loro testi o immagini.
1. NRICH — University of Cambridge
Titolo: Round a Hexagon. Ente: NRICH, Millennium Mathematics Project, University of Cambridge.
URL: https://nrich.math
Localizzatore: sezione «Problem», definizione di angolo esterno tramite prolungamento del lato e domanda sulla somma degli angoli esterni di un esagono.
Uso nella lezione: definizione operativa e interpretazione delle svolte lungo il contorno. La pagina propone il caso dell’esagono, non una formulazione completa di tutte le condizioni del teorema per qualsiasi figura. Qui si delimita esplicitamente il ragionamento ai poligoni convessi.
Riscontro dello stesso ente: Angles, Polygons and Geometrical Proof — Stage 3, Mixed Selection 2 — Solutions, soluzione «3. Integral polygons», che richiama la somma di 360° degli angoli esterni di un poligono.
URL PDF della fonte: https://nrich.math
Questo riscontro appartiene allo stesso ente: non viene contato come una terza fonte indipendente.
2. OpenStax — Rice University
Titolo: Contemporary Mathematics, § 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference. Ente: OpenStax, Rice University.
URL: https://openstax.o
Localizzatore: sottosezione «Sum of Interior and Exterior Angles», paragrafi sui poligoni regolari e sugli angoli esterni; Example 10.30 come riscontro applicativo.
Uso nella lezione: per i poligoni regolari, somma degli esterni pari a un giro completo e misura di ciascun esterno pari a 360° diviso il numero dei lati. Non si attribuisce a questo passaggio una formulazione esplicita del caso convesso irregolare.
Come sono collegate le idee
La relazione interno + esterno adiacente = 180° segue dalla definizione e dall’angolo piatto. Nel testo la somma di 360° per il caso convesso viene anche dimostrata sottraendo la somma degli interni da n × 180°, senza affidarsi soltanto alla figura o a una misura con il goniometro. Le fonti sono supporti disciplinari: non certificano una revisione docente della nuova lezione né una sua prova in classe.
Revisione docente e prova in classe: aperte