Il polinomio di Taylor approssima localmente usando valore e derivate della funzione.
Il polinomio di Taylor di grado n centrato in a usa il valore della funzione e le derivate fino all’ordine n nel punto a: Tₙ(x)=Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!. Quando f è sufficientemente regolare, fornisce un’approssimazione locale; il resto di Taylor quantifica la differenza e richiede ipotesi sulla funzione nell’intervallo considerato.
Per sin x centrata in zero, le derivate cicliche producono T₃(x)=x−x³/6. L’angolo si misura in radianti: a x=0,1, sin(0,1)≈0,0998334166 e T₃(0,1)=0,0998333333. Il teorema del resto di Lagrange dà |R₃(x)|≤M|x|⁴/4!, con M limite di |f⁽⁴⁾| sul segmento tra 0 e x. Per sin, |f⁽⁴⁾(t)|=|sin t|≤|t|≤|x|, quindi |R₃(x)|≤|x|⁵/120; a 0,1 il limite è circa 8,34·10⁻⁸, maggiore ma coerente con lo scarto effettivo circa 8,33·10⁻⁸.
Conviene evitare di trattare il polinomio come identico alla funzione su ogni x. Per sin x, x−x³/6 è una buona approssimazione vicino a zero, non una formula esatta globale; l’affermazione sull’errore va accompagnata dal resto e dalle ipotesi, non dedotta dal solo grado del polinomio.
- Il polinomio di Taylor approssima localmente usando valore e derivate della funzione.
- Grado n: somma f^(k)(a)(x−a)^k/k!. Il resto quantifica errore sotto ipotesi appropriate.
- Per sin x vicino a zero, sin x≈x−x³/6; lontano dal centro l’approssimazione può peggiorare.
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Taylor di primo ordine attorno ad a?
- f(a)(x−a)
- f′(a)+f(a)(x−a)²
- f(a)+f′(a)(x−a)
- f′′(a)(x−a)
Soluzione e spiegazione
f(a)+f′(a)(x−a). f(a)+f′(a)(x−a). Grado n: somma f^(k)(a)(x−a)^k/k!. Il resto quantifica errore sotto ipotesi appropriate.
Fonti
- 6.3 Taylor and Maclaurin Series — OpenStax
- The Remainder in Taylor Series — University of Connecticut, Keith Conrad
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria