Con funzione continua e segni opposti agli estremi, bisezione conserva una metà con cambio di segno.
Il metodo di bisezione cerca uno zero di una funzione continua f su [a,b] quando f(a) e f(b) hanno segno opposto. Il teorema degli zeri garantisce almeno una radice nell’intervallo; calcolando il punto medio e scegliendo la metà che mantiene il cambio di segno, si restringe progressivamente l’intervallo che la contiene.
Per f(x)=x²−2 su [1,2], f(1)=−1 e f(2)=2. Il primo punto medio 1,5 dà f(1,5)=0,25, quindi la radice resta in [1,1,5]. Dopo n dimezzamenti l’ampiezza è (b−a)/2ⁿ; il punto medio dell’intervallo residuo dista al più metà dell’ampiezza corrente da qualsiasi radice contenuta. Dunque, partendo da ampiezza 1, dopo quattro passi l’intervallo misura 1/16 e il suo punto medio ha errore al più 1/32.
Non bisogna scegliere sempre la metà sinistra senza controllare i segni agli estremi. La procedura conserva la radice solo nella metà in cui i valori terminali hanno segno opposto; inoltre la continuità è essenziale per la garanzia di esistenza, non basta che la funzione sia definita ai due estremi.
- Con funzione continua e segni opposti agli estremi, bisezione conserva una metà con cambio di segno.
- Dopo n dimezzamenti: ampiezza (b−a)/2ⁿ; errore del punto medio ≤ metà di tale ampiezza.
- Su [1,2] per x²−2 il metodo localizza √2 senza usare derivate.
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Dopo 4 passi da ampiezza 1, ampiezza è…
- 1/4
- 1/16
- 1/8
- 1/32
Soluzione e spiegazione
1/16. L’ampiezza è 1/2⁴=1/16. Il punto medio dell’intervallo finale ha errore massimo 1/32, non 1/16.
Fonti
- Solutions of Equations in One Variable: The Bisection Method — Dublin City University, John Carroll
- Root Finding by Interval Halving (Bisection) — University of Charleston, Bruce LeMesurier
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria