La serie geometrica con primo termine 1 e rapporto r converge a 1/(1−r) se e solo se |r|<1.
Una serie geometrica con primo termine 1 è 1+r+r²+…; il rapporto costante tra termini successivi è r. La somma infinita è definita come limite delle somme parziali Sₙ=1+r+…+rⁿ, con n≥0, dunque con n+1 addendi. Per r≠1, la formula della somma finita è Sₙ=(1−rⁿ⁺¹)/(1−r). Se |r|<1, allora rⁿ⁺¹ tende a zero e le somme parziali hanno limite 1/(1−r). Pertanto la serie converge e la sua somma è 1/(1−r). La condizione sul valore assoluto comprende rapporti positivi e negativi, purché il modulo sia minore di uno.
Per r=1/2, Sₙ=[1−(1/2)ⁿ⁺¹]/(1−1/2)=2[1−(1/2)ⁿ⁺¹]=2−(1/2)ⁿ, che tende a 2. Per r=−1/2 i termini alternano segno, ma le somme parziali convergono a 1/(1+1/2)=2/3 perché il modulo del rapporto è minore di uno. È la struttura geometrica e il limite della formula delle somme parziali a giustificare la somma, non la sola osservazione che i termini diventano piccoli: per serie generali, termini tendenti a zero sono necessari ma non sufficienti alla convergenza.
I casi limite e quelli esterni vanno trattati con cautela. Se r=1, la somma parziale è n+1 e diverge; se r=−1, le somme parziali oscillano e non hanno limite. Se |r|>1, i termini rⁿ non tendono a zero, quindi la serie diverge. In tutti i casi con |r|≥1 la formula 1/(1−r) non dà la somma della serie infinita: anche quando la sua espressione algebrica ha un valore, manca il limite richiesto. Ad esempio, per r=2 le somme parziali crescono senza limite, e il valore −1 ottenuto sostituendo in 1/(1−r) non è la somma della serie. Quando si usa la formula, è utile indicare sia il rapporto r sia il numero di addendi: Sₙ con esponenti da 0 a n contiene n+1 termini. Separare la somma finita dal limite evita errori di indice e applicazioni della formula fuori dal dominio di convergenza.
- Sₙ=1+r+…+rⁿ=(1−rⁿ⁺¹)/(1−r) per r≠1; ci sono n+1 termini.
- La serie geometrica converge esattamente se |r|<1 e allora la somma è 1/(1−r).
- Per |r|≥1 i termini non tendono a zero, quindi la serie diverge; la formula della somma infinita non si applica.
Metti alla prova quello che hai letto
Qual è la somma di 1+1/2+1/4+…?
- 1
- 2
- 3
- La serie diverge
Soluzione e spiegazione
2. Il rapporto è r=1/2, quindi |r|<1 e la somma è 1/(1−1/2)=2.
Fonti
- 5.2 Infinite Series — OpenStax
- Section 10.5: Special Series — Paul’s Online Math Notes, Lamar University
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria