Bayes aggiorna la probabilità di un’ipotesi alla luce di un’evidenza, combinando prior e verosimiglianza.
Siano A un’ipotesi e B un’evidenza osservata, con P(B)>0. Il teorema di Bayes afferma P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B). P(A) è la probabilità iniziale o prior, P(B|A) è la verosimiglianza dell’evidenza se l’ipotesi è vera, e P(A|B) è la probabilità aggiornata o posteriore. Il denominatore P(B) normalizza la probabilità tenendo conto di tutti i modi in cui l’evidenza può presentarsi. Se A e non-A sono le sole possibilità, P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|non-A)P(non-A). In un insieme di ipotesi alternative si sommano analogamente i contributi delle ipotesi che formano una partizione.
Esempio didattico: si supponga una popolazione di 10.000 persone, prevalenza di una malattia 1%, sensibilità del test 90% e tasso di falsi positivi 5%. Sono malate 100 persone: 90 risultano positive e 10 negative. Le restanti 9.900 non sono malate; il 5% di queste, cioè 495, risulta comunque positivo. In totale si osservano 90+495=585 risultati positivi. Tra questi, i malati sono 90, perciò la probabilità di malattia dato un positivo è 90/585=6/39≈0,1538, circa 15,4%. Gli input sono ipotesi illustrative, non stime cliniche per un test reale. Il calcolo esplicita il ruolo di prevalenza e falsi positivi nel valore predittivo positivo.
Non si deve confondere P(test positivo|malattia)=90%, la sensibilità, con P(malattia|test positivo)≈15,4%, la probabilità post-test richiesta. Invertire un condizionamento non conserva in generale il valore: il denominatore post-test include sia i veri positivi sia i falsi positivi. In generale il risultato dipende dalla prevalenza iniziale e dalle probabilità dell’evidenza sia sotto l’ipotesi sia sotto la sua negazione. Un modo affidabile di risolvere è definire eventi e dati, calcolare P(B) mediante casi alternativi, applicare Bayes e controllare che la posteriore sia compresa tra 0 e 1. Nei contesti sanitari, probabilità e parametri devono provenire da dati pertinenti e validati; questo esempio numerico serve a spiegare il ragionamento, non a fornire indicazioni diagnostiche individuali.
- P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B), con P(B)>0.
- P(B) include i modi in cui l’evidenza avviene con A e senza A.
- La probabilità post-test non coincide con la sensibilità: dipende anche dalla prevalenza e dai falsi positivi.
Metti alla prova quello che hai letto
Per aggiornare P(A) dopo aver osservato B, Bayes combina…
- La varianza soltanto
- Solo la media
- Prior, verosimiglianza ed evidenza tramite P(B)
- Solo P(A)
Soluzione e spiegazione
Prior, verosimiglianza ed evidenza tramite P(B). La probabilità posteriore è P(B|A)P(A)/P(B): prior, verosimiglianza e probabilità dell’evidenza. Le altre opzioni non bastano a calcolare il posterior.
Fonti
- Bayes’ Theorem, Lesson 6 — Penn State Department of Statistics
- 3.3 Two Basic Rules of Probability — OpenStax
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria