Probabilità condizionata

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) se P(B)>0: il riferimento diventa l’evento B.

La probabilità condizionata di A dato B è la probabilità che A si verifichi sapendo che B si è verificato. Se P(B)>0 si definisce P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Il denominatore è la probabilità del gruppo di riferimento B; l’intersezione al numeratore conta i casi che appartengono sia ad A sia a B. In un modello equiprobabile finito, questa formula corrisponde a restringere l’insieme dei casi possibili a B e poi calcolare quale frazione di B è anche in A. Se P(B)=0, la formula non è definita e non si può usare questa definizione elementare per condizionare su B.

Esempio: su 100 studenti, 50 praticano sport, 30 musica e 20 entrambe le attività. Indicando con B lo sport e con A la musica, P(A|B)=20/50=0,4: tra chi pratica sport, il 40% fa musica. Invertendo il condizionamento si ottiene P(B|A)=20/30=2/3≈0,67, non 0,4. Cambia il gruppo di riferimento: nel primo caso si guarda ai 50 sportivi, nel secondo ai 30 che fanno musica. La probabilità congiunta è P(A∩B)=20/100=0,2 e la relazione P(A∩B)=P(A|B)P(B) dà 0,4·0,5=0,2, un controllo coerente dei dati.

Due eventi A e B sono indipendenti se sapere che B è accaduto non cambia la probabilità di A, cioè P(A|B)=P(A), quando P(B)>0. In modo equivalente P(A∩B)=P(A)P(B). Nell’esempio, P(A)=0,3, mentre P(A|B)=0,4, quindi gli eventi non sono indipendenti. In una tabella a doppia entrata la probabilità condizionata si calcola usando il totale della riga o colonna corrispondente all’evento condizionante come denominatore, non il totale complessivo. Nei problemi senza reinserimento il gruppo di riferimento si aggiorna dopo ogni informazione: se si estrae da un’urna con 3 rosse e 2 blu e si sa che la prima pallina estratta è rossa, restano 4 palline, di cui 2 blu. La probabilità che la seconda sia blu dato che la prima è rossa è quindi 2/4=1/2. La condizione modifica lo spazio dei casi rilevanti, non il numero di palline blu rimaste.

• P(A|B)=P(A∩B)/P(B), definita qui quando P(B)>0.
• Il denominatore conta il gruppo individuato dall’evento condizionante; P(A|B) e P(B|A) generalmente differiscono.
• Indipendenza equivale a P(A∩B)=P(A)P(B), oppure P(A|B)=P(A) se P(B)>0.

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Se P(A∩B)=0,2 e P(B)=0,5, quanto vale P(A|B)?

1. 2,5
2. 0,1
3. 0,7
4. 0,4

Soluzione e spiegazione

0,4. Si divide l’intersezione per la probabilità dell’evento condizionante: 0,2/0,5=0,4. Solo l’ultima opzione coincide.

Fonti

1. 3.3 Two Basic Rules of Probability — OpenStax
2. 6 Bayes’ Theorem — Penn State Department of Statistics

Nota editoriale

Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria