Per y=f(g(x)), la derivata è f′(g(x))g′(x).
Se y=f(g(x)), con g derivabile in x e f derivabile nel punto g(x), allora y′=f′(g(x))·g′(x). La derivata esterna si valuta sull’intera funzione interna; il fattore g′ misura quanto rapidamente cambia l’argomento. La regola si applica a composizioni, non al semplice prodotto di due funzioni.
Per y=(3x+1)^4, la funzione esterna u⁴ ha derivata 4u³ e l’interno 3x+1 ha derivata 3. Sostituendo u=3x+1 si ottiene y′=12(3x+1)³. Il fattore 3 non è facoltativo: deriva dalla variazione dell’argomento, che cresce tre volte più rapidamente di x.
Non bisogna derivare la potenza esterna e dimenticare la derivata interna. Scrivere 4(3x+1)³ perde il fattore 3 ed è sbagliato. Un controllo immediato è osservare che, per x=0, il risultato corretto vale 12; la derivata omessa darebbe 4. In pratica, conviene mettere in evidenza i passaggi: individua prima l’espressione interna, calcolane la derivata e solo alla fine sostituisci l’espressione nella derivata esterna. Per esempio, se l’interno fosse 3x+1, il suo tasso di variazione resta 3 qualunque sia la potenza applicata. Questa separazione aiuta a non confondere la regola della catena con la regola del prodotto.
- Per y=f(g(x)), la derivata è f′(g(x))g′(x).
- Si deriva prima la funzione esterna lasciando intatta quella interna, poi si moltiplica per la derivata dell’argomento.
- Per (3x+1)^4 la derivata è 12(3x+1)^3: il fattore 3 proviene dall’argomento.
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Derivata di (2x−5)^3?
- 3(2x−5)^2
- 6(2x−5)^2
- 6(2x−5)^3
- (2x−5)^2
Soluzione e spiegazione
6(2x−5)^2. 6(2x−5)^2. Si deriva prima la funzione esterna lasciando intatta quella interna, poi si moltiplica per la derivata dell’argomento.
Fonti
- 3.6 The Chain Rule — OpenStax
- Section 3.9: Chain Rule — Paul’s Online Math Notes, Lamar University
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria
Non rassegna tutte le regole di derivazione incluse nel titolo. Proposta editoriale, non prescrizione del syllabus.