Per vettori u=(u₁,u₂,u₃) e v=(v₁,v₂,v₃), il prodotto scalare è u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃.
Per vettori u=(u₁,u₂,u₃) e v=(v₁,v₂,v₃), il prodotto scalare è u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃. Geometricamente equivale a |u||v|cos θ, dove θ è l'angolo fra vettori non nulli. Se il prodotto vale zero, i vettori non nulli sono perpendicolari. La formula per coordinate dipende da assi ortonormali, cioè perpendicolari e con unità coerenti.
Per u=(1,2,0) e v=(2,−1,3), il prodotto è 1×2+2×(−1)+0×3=0. Entrambi sono non nulli, quindi sono ortogonali. Il controllo evita di calcolare l'angolo esplicitamente. Se uno dei vettori fosse nullo, il prodotto sarebbe comunque zero ma l'angolo con il vettore nullo non è definito: la conclusione sull'angolo richiede dunque vettori non nulli.
Il prodotto scalare è un numero, non un vettore; cambia in modo prevedibile con la lunghezza dei vettori e può essere positivo, nullo o negativo secondo l'angolo. Un angolo acuto produce coseno positivo, un angolo retto zero, un angolo ottuso negativo. Per ricavare θ con l'arccoseno si deve dividere per il prodotto delle norme, che non è zero se i vettori sono non nulli.
In applicazioni geometriche il prodotto scalare individua componenti e proiezioni, ma una proiezione richiede di specificare il vettore e la direzione di riferimento. La lezione considera vettori liberi nello spazio euclideo tridimensionale. Non confondere perpendicolarità tra vettori con rette sghembe: per confrontare direzioni di rette nello spazio occorre anche considerare i loro vettori direttori. La definizione tramite componenti rende il calcolo ripetibile e riduce ambiguità geometriche.
- u·v=Σuᵢvᵢ; in 3D: u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃.
- u·v=|u||v|cos θ per vettori non nulli.
- Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se u·v=0.
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u·v=0 per vettori non nulli implica?
- Paralleli
- Perpendicolari
- Norme uguali
- Unitari
Soluzione e spiegazione
Perpendicolari. Prodotto scalare nullo significa angolo retto.
Fonti
- Dot Product and Orthogonality, Introduction to Linear Algebra — Georgia Institute of Technology
- Section 11.3: Dot Product — Paul’s Online Math Notes, Lamar University
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria
Prodotto scalare e ortogonalità sono specifici; il nucleo vettori e geometria analitica nello spazio è compatibile come famiglia ma non individua questa operazione. L’aggancio resta ambiguo, non viene forzato. Non è un giudizio di assenza del tema dal curricolo nazionale; soltanto sull’indice dato.