Sulla circonferenza unitaria, il punto associato all'angolo θ ha coordinate (cos θ, sin θ).
Sulla circonferenza unitaria, il punto associato all'angolo θ ha coordinate (cos θ, sin θ). Il coseno è quindi la coordinata orizzontale e il seno quella verticale. Per un triangolo rettangolo, con angolo acuto, tali valori coincidono rispettivamente con cateto adiacente/ipotenusa e cateto opposto/ipotenusa. La definizione sulla circonferenza estende le funzioni oltre gli angoli acuti.
Per θ=30°, seno è 1/2 e coseno è √3/2. Il controllo dell'identità fondamentale dà (1/2)²+(√3/2)²=1/4+3/4=1, come deve accadere per un punto della circonferenza unitaria. Il seno è positivo nel primo quadrante e il coseno pure; cambiando quadrante, i segni dipendono dalle coordinate, non dalla lunghezza dei segmenti di riferimento.
Per ogni angolo reale vale sin²θ+cos²θ=1. Ne segue che ciascun valore è compreso tra −1 e 1. Seno e coseno sono periodici di 360° (o 2π radianti), quindi angoli che differiscono di un giro completo hanno le stesse coordinate. Quando si risolve un'equazione, bisogna interpretare il periodo e l'intervallo richiesto: un valore trigonometrico può corrispondere a più angoli.
Gli angoli devono essere misurati con un'unità coerente con i calcoli: gradi o radianti. Nei problemi applicati si chiarisce inoltre quale angolo è misurato e quale orientamento degli assi si usa. Questa introduzione non comprende tutte le identità o le equazioni goniometriche; fornisce il significato geometrico che rende interpretabili i segni e i valori delle funzioni. Il riferimento alla circonferenza chiarisce perché i valori possono essere negativi senza rappresentare lunghezze negative.
- Sulla circonferenza unitaria, il punto all’angolo θ è (cos θ, sin θ).
- Coseno = coordinata x; seno = coordinata y.
- Vale sin²θ+cos²θ=1 per ogni angolo θ.
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sin 30°?
- √3/2
- 1
- 1/2
- −1/2
Soluzione e spiegazione
1/2. sin 30°=1/2.
Fonti
- 7.3 Unit Circle – Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax
- The Cosine and Sine Functions — Mathematics LibreTexts
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria