La circonferenza di centro C(h,k) e raggio r>0 è l’insieme dei punti del piano a distanza r da C.
Una circonferenza è l’insieme dei punti del piano che si trovano a una distanza fissa r da un punto dato, chiamato centro; tale distanza positiva è il raggio. Se il centro ha coordinate C(h,k) e un punto generico P ha coordinate (x,y), la distanza tra P e C si calcola con il teorema di Pitagora: √((x−h)²+(y−k)²). Imporre che questa distanza sia r e poi elevare al quadrato dà l’equazione standard (x−h)²+(y−k)²=r². La formula permette di leggere direttamente centro e raggio.
Per esempio, scegliendo centro (1,−2) e raggio 4 si ottiene (x−1)²+(y+2)²=16. Per verificare se un punto appartiene alla circonferenza si sostituiscono le sue coordinate: il punto (1,2) dà 0²+4²=16, quindi soddisfa l’equazione; il punto (1,1) dà 0²+3²=9, quindi non la soddisfa. Questa verifica riguarda l’uguaglianza alla distanza r: i punti a distanza minore appartengono al disco, non al bordo della circonferenza.
La stessa equazione si può sviluppare algebricamente: i termini quadratici diventano x² e y², mentre i termini lineari dipendono dalle coordinate del centro. Per ricavare centro e raggio da una forma sviluppata, si possono raccogliere i termini con x e quelli con y e completare i quadrati; il valore che resta a destra è r² e, per una circonferenza reale non degenere, deve essere positivo. È importante distinguere il raggio r dal suo quadrato r² nell’equazione.
La circonferenza è il bordo; il disco comprende invece i punti la cui distanza dal centro è minore o uguale al raggio. Se si pone r=0 nell’equazione, l’unica soluzione è il centro: il risultato è un punto, non una circonferenza di raggio positivo. Per un centro nell’origine la formula si riduce a x²+y²=r². Questi controlli, insieme alla sostituzione delle coordinate, consentono di interpretare e verificare l’equazione senza confondere centro, raggio e regione interna.
- Per centro (h,k) e raggio r>0: (x−h)²+(y−k)²=r².
- La forma standard si ricava imponendo che la distanza di (x,y) dal centro sia r.
- La circonferenza è il bordo; r=0 individua un solo punto, non una circonferenza non degenere.
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Qual è l’equazione della circonferenza con centro (0,0) e raggio 4?
- x²+y²=4
- x²+y²=16
- (x−4)²+y²=0
- x+y=16
Soluzione e spiegazione
x²+y²=16. La forma standard dà x²+y²=4²=16.
Fonti
- 11.1 Distance and Midpoint Formulas; Circles — OpenStax, Intermediate Algebra 2e
- Algebra, Section 3.3: Circles — Lamar University, Paul Dawkins
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria