Il criterio lato-angolo-lato afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo compreso fra essi.
Il criterio lato-angolo-lato (LAL) permette di concludere che due triangoli sono congruenti quando i lati corrispondenti hanno le stesse lunghezze e anche l’angolo compreso tra quei due lati è uguale. «Compreso» non è una parola accessoria: l’angolo deve avere come lati proprio le due coppie di segmenti considerate. Due triangoli congruenti si sovrappongono esattamente con una trasformazione rigida, anche se uno è stato traslato, ruotato o riflesso; conservano quindi forma e dimensioni.
Consideriamo AB=DE=5 cm, AC=DF=7 cm e ∠BAC=∠EDF=40°. In entrambi i triangoli l’angolo di 40° è formato dai due lati di 5 e 7 cm. Per LAL i triangoli ABC e DEF sono congruenti, con corrispondenza A↔D, B↔E e C↔F. Ne segue che BC ed EF sono lati omologhi e dunque hanno la stessa lunghezza: non occorre conoscerla in anticipo per dimostrare l’uguaglianza.
La posizione dell’angolo fa la differenza. Se sono noti due lati e un angolo che non è compreso fra essi, si hanno dati del tipo lato-lato-angolo (LLA/SSA), che in generale possono descrivere configurazioni diverse; non si può applicare automaticamente LAL. Per questo una dimostrazione deve identificare con precisione i vertici corrispondenti e controllare quali elementi sono dati. Il disegno è un aiuto per orientarsi, ma non dimostra da solo la congruenza.
Dopo aver stabilito la congruenza, si possono trasferire le uguaglianze fra tutti gli elementi corrispondenti: lati, angoli e anche altezze omologhe. Il metodo è utile quando la misura richiesta non è immediata: prima si riconoscono i due triangoli e si giustifica il criterio, poi si deduce l’uguaglianza cercata. Si parla qui di triangoli euclidei non degeneri: i lati hanno lunghezza positiva e l’angolo interno compreso è maggiore di 0° e minore di 180°. La corrispondenza scritta in modo esplicito evita di scambiare lati non omologhi.
- LAL richiede due lati corrispondenti e l’angolo compreso fra essi uguali.
- La corrispondenza dei vertici identifica i lati e gli angoli omologhi.
- Due lati e un angolo non compreso non garantiscono in generale la congruenza.
Metti alla prova quello che hai letto
Quale insieme di dati consente di applicare il criterio LAL?
- Due lati e l’angolo compreso
- Tre angoli corrispondenti
- Due lati e un angolo non compreso
- Un solo lato corrispondente
Soluzione e spiegazione
Due lati e l’angolo compreso. L’angolo deve essere quello formato dai due lati di cui si conoscono le corrispondenze.
Fonti
- 10.3 Triangles — Contemporary Mathematics — OpenStax
- 4.14: SAS — LibreTexts, Geometry
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria