Un poligono convesso con n lati può essere diviso, tracciando diagonali da un vertice, in n−2 triangoli senza sovrapposizioni.
Per un poligono semplice convesso con n lati, le diagonali tracciate da un vertice lo suddividono in n−2 triangoli interni non sovrapposti. Poiché la somma degli angoli di ciascun triangolo è 180°, la somma degli angoli interni del poligono è (n−2)·180°. La formula della somma vale anche per poligoni semplici concavi, ma da un vertice alcune diagonali possono cadere all’esterno: qui ci limitiamo ai convessi. Non si applica direttamente a figure intrecciate o a poligoni non semplici.
In un pentagono, da un vertice partono due diagonali interne che formano tre triangoli. La somma degli angoli interni è quindi 3 × 180° = 540°. Se il pentagono è regolare, i cinque angoli sono congruenti e ciascuno misura 540° ÷ 5 = 108°. La divisione per il numero dei lati è lecita qui perché la regolarità garantisce angoli uguali; in un pentagono generico non si può attribuire 108° a ogni angolo.
La scomposizione spiega anche perché aggiungere un lato aumenta la somma di 180°: si aggiunge un triangolo alla partizione. Per trovare un angolo mancante si sottraggono dalla somma totale gli angoli già noti. Conviene controllare che il risultato sia compatibile con la figura e che le unità siano gradi, non radianti. Un angolo esterno non va inserito nella formula degli angoli interni.
Il metodo è più robusto della memorizzazione isolata: si può ricostruire il conteggio dei triangoli e individuare un errore di uno nel termine n−2. Non descrive perimetro o area, che richiedono informazioni sulle lunghezze. La lezione usa poligoni piani con lati rettilinei e vertici distinti; una figura intrecciata non è un poligono semplice e non rientra direttamente nell'argomento. La diagonale da un vertice rende visibile il conteggio n−2: è il modo più rapido per controllare la formula.
- La somma degli angoli interni di un n-agono è (n−2)·180°.
- La scomposizione da un vertice produce n−2 triangoli.
- Solo nel poligono regolare ogni angolo interno vale la somma divisa per n.
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Somma angoli interni esagono?
- 540°
- 720°
- 900°
- 1080°
Soluzione e spiegazione
720°. (6−2)×180°=720°.
Fonti
- 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference — OpenStax
- Interior Angles of Polygons — Math is Fun
Nota editoriale
Confronto assistito documentato; revisione docente necessaria