Matematica · seconda media · a.s. 2026/27 · DM 254/2012. Classe e sequenza sono scelte editoriali, non un programma annuale prescritto. Questa lezione sviluppa il residuo matematica-12: percentuali inverse e differenza tra punti percentuali e variazione relativa. Il raccordo è agli obiettivi di fine terza: vedi quadro curricolare. Non ripetiamo la lezione sulle percentuali dirette né gli aumenti/sconti in successione della candidata v14.
Prima di iniziare
Occorre saper leggere una percentuale come rapporto su cento e moltiplicare o dividere per un numero decimale. Negli esempi i dati sono inventati ed esatti nel modello: non sono prezzi osservati o risultati di un’indagine reale. Prima di ogni conto scrivi che cosa rappresenta il 100%: spesso l’errore non è nella divisione, ma nella scelta della base.
1. Dal prezzo scontato a quello iniziale
Esempio svolto A. Un oggetto costa 64 euro dopo un unico sconto del 20% sul prezzo iniziale. Qual era il prezzo iniziale?
Dopo lo sconto rimane il 100% − 20% = 80% dell’iniziale. Perciò 64 euro non rappresentano il 100% che cerchiamo: sono soltanto 80 parti delle 100 iniziali. Se chiamiamo I il prezzo iniziale, abbiamo 0,80 × I = 64. Quindi I = 64 ÷ 0,80 = 80 euro. Il controllo inverso ricostruisce il dato: 0,80 × 80 = 64 euro. Non bisogna aggiungere al finale il 20% del finale: il tasso dello sconto aveva come base il prezzo iniziale, non quello già ridotto. [P1, “Reverse percentages”; P2, “Translate and Solve Basic Percent Equations”]
Dopo un aumento singolo del t%, il finale è (100 + t)% dell’iniziale; dopo uno sconto del t%, è (100 − t)%. Per tornare all’iniziale dividi il finale per il fattore, rispettivamente (100 + t)/100 o (100 − t)/100. Per gli sconti qui supponiamo 0 ≤ t < 100 e prezzi iniziali positivi, così il fattore è positivo. Il caso 100% richiede un ragionamento diverso, non una divisione per zero. Queste formule riguardano una sola variazione, non una catena di variazioni.
2. Quando conosci una parte e il suo tasso
Esempio svolto B. Diciotto tessere rappresentano il 30% di una collezione. Quante tessere contiene l’intera collezione?
Il 100% è la collezione intera, che non conosciamo. Il tasso noto, 30%, equivale a 0,30. Se T è il totale, 0,30 × T = 18, dunque T = 18 ÷ 0,30 = 60 tessere. Controllo: 0,30 × 60 = 18. Qui non cerchiamo la percentuale di un totale noto: conosciamo parte e tasso e dobbiamo ricostruire il totale. La divisione per il fattore non è un trucco da memorizzare: annulla la moltiplicazione che collega totale e parte. [P1; P2, esempi 6.16–6.17]
In generale, totale = parte ÷ (tasso/100) quando il tasso è diverso da zero. Nel nostro modello parte e totale sono quantità non negative con la stessa unità. Con un tasso positivo minore del 100%, il totale deve essere maggiore della parte: 60 è maggiore di 18, quindi il risultato è plausibile. Una base non positiva o un dato impossibile rispetto al contesto richiedono di fermarsi e controllare il problema.
3. Da un tasso all’altro: due domande diverse
Esempio svolto C. In due rilevazioni inventate, la quota di risposte favorevoli passa dal 12% al 15%. Consideriamo soltanto i tassi, non il numero assoluto delle persone. Qual è il cambiamento?
La differenza aritmetica è 15 − 12 = 3 punti percentuali, abbreviati p.p. Il punto percentuale è l’unità con cui esprimiamo la distanza tra due percentuali: non vuol dire una crescita relativa del 3%. La variazione relativa chiede invece quanto pesa quella differenza rispetto al tasso iniziale: (15 − 12) ÷ 12 × 100 = 25%. La base del confronto relativo è quindi il 12% iniziale. Le stesse conclusioni si ottengono scrivendo i tassi in forma decimale: (0,15 − 0,12) ÷ 0,12 × 100 = 25%. Non si mescolano 15 e 0,12 nella stessa formula. [P3, §3; P4, consigli 1–2]
| Che cosa vuoi comunicare? | Calcolo, con i tassi espressi su cento | Risultato | Base o riferimento |
|---|---|---|---|
| Distanza tra i tassi | 15 − 12 | +3 p.p. | Scala percentuale comune |
| Cambiamento relativo del tasso | (15 − 12) ÷ 12 × 100 | +25% | Tasso iniziale del 12% |
Lettura verbale completa: il tasso passa da dodici a quindici per cento; la distanza è tre punti percentuali; rispetto al dodici per cento iniziale, il tasso cresce di un quarto, cioè del venticinque per cento. Il 100% della rilevazione è il totale delle persone di ciascuna rilevazione, a cui si riferisce la rispettiva quota; il riferimento della variazione relativa del tasso è invece il tasso iniziale. Se i gruppi hanno dimensioni diverse, i soli tassi non permettono di ricostruire il cambiamento nel numero di persone favorevoli.
4. Due casi in cui non puoi dividere
Se una quantità passa da zero a 24, l’aumento assoluto è 24 unità. La variazione percentuale rispetto all’iniziale, però, richiederebbe (24 − 0) ÷ 0 × 100: non è definita, perché non si divide per zero. Non rispondere “24%” o “infinito per cento”.
Se lo sconto è del 100%, il finale è zero qualunque fosse il prezzo iniziale. Anche conoscendo il tasso, non puoi ricostruire un unico iniziale da quel finale: tanto 40 quanto 80 euro darebbero zero. Questi casi sono deduzioni dal modello, verificate nei test; resta APERTO il doppio riscontro esterno specifico per i casi limite. Non significa che sia lecito dividere per zero.
Esercizi
E01. Un oggetto costa 72 euro dopo un unico sconto del 10% sul prezzo iniziale. Trova l’iniziale e controlla ricostruendo il finale.
E02. Dopo un aumento singolo del 25% rispetto all’iniziale, un importo è 100 euro. Trova l’importo iniziale.
E03. Ventuno tessere sono il 35% di una collezione. Quante tessere comprende l’intera collezione? Dichiara il 100%.
E04. Un indicatore passa dal 12% al 15%. Una compagna scrive «è aumentato del 3%». Correggi distinguendo le due misure e indicando la base relativa.
E05. Un prezzo subisce uno sconto del 100% e il finale è zero. Puoi ricostruire un unico iniziale? Mostra due iniziali possibili.
E06. Una quantità passa da zero a 24. Qual è la variazione percentuale rispetto all’iniziale? Che cosa puoi comunicare senza usare un tasso non definito?
E07. In due rilevazioni inventate una quota passa dal 40% al 30%. Esprimi la variazione in punti percentuali e quella relativa al tasso iniziale. Puoi concludere che le persone della categoria siano diminuite di un numero preciso senza sapere le dimensioni dei gruppi?
Soluzioni motivate
E01. Resta il 90% dell’iniziale: 72 ÷ 0,90 = 80 euro. Il 100% è il prezzo prima dello sconto. Controllo: 0,90 × 80 = 72 euro. Dividere per 0,10 ricostruirebbe una situazione diversa, in cui 72 fosse lo sconto e non il prezzo rimasto.
E02. Il finale è il 125% dell’iniziale, cioè 1,25 volte l’iniziale. 100 ÷ 1,25 = 80 euro. Controllo: 1,25 × 80 = 100 euro. Non si sottrae il 25% di 100: la base dell’aumento era l’iniziale cercato.
E03. Il 100% è l’intera collezione. Da 0,35 × T = 21 ricaviamo T = 21 ÷ 0,35 = 60 tessere. Controllo: 0,35 × 60 = 21 tessere. Il totale è maggiore della parte perché il tasso è positivo e inferiore al 100%.
E04. La differenza è +3 p.p.; il cambiamento relativo è +25%, perché 3 ÷ 12 × 100 = 25. La base relativa è il tasso iniziale del 12%. Dire solo «+3%» non esprime correttamente nessuna delle due risposte nel contesto.
E05. No: 40 euro e 80 euro sono due iniziali possibili. Entrambi moltiplicati per il fattore residuo zero danno zero. La divisione 0 ÷ 0 non seleziona un iniziale unico.
E06. Il tasso relativo non è definito, perché la base è zero. Puoi dire «aumento assoluto di 24 unità» e dichiarare il passaggio da zero a 24. Non attribuire una percentuale ordinaria a quel rapporto.
E07. 30 − 40 = −10 p.p.. Rispetto al tasso iniziale del 40%, (30 − 40) ÷ 40 × 100 = −25%: il tasso diminuisce di un quarto del proprio valore iniziale. Senza le dimensioni dei due gruppi non si ricavano i conteggi assoluti, né la loro differenza: il dato percentuale non contiene quei denominatori.
Fonti, verifiche e limiti
- P1: BBC Bitesize, Percentage change, “Reverse percentages” e “Calculating the percentage change”: l’originale è il 100%, il finale è una percentuale dell’originale.
- P2: OpenStax, Prealgebra 2e, §6.2, “Translate and Solve Basic Percent Equations”, esempi 6.16–6.17; “Find Percent Increase and Percent Decrease”. Opera indipendente dalla BBC.
- P3: The Open University, OpenLearn, §3 Percentage points: differenza tra punti percentuali e aumento percentuale.
- P4: The Journalist’s Resource, Harvard Kennedy School, Percent change and percentage-point change, consigli 1–2: misura della differenza e base della variazione relativa. Opera distinta da OpenLearn, non un mirror.
Le evidenze e il registro delle claim separano fonti lette, riscontri parziali e aspetti APERTI. I test controllano ogni risultato numerico con aritmetica esatta e ricostruzione inversa. Non attestano efficacia delle attività, sperimentazione in classe o comprensione degli studenti; queste rimangono APERTE. Non si trattano interessi finanziari, catene di variazioni o inferenze statistiche dai due tassi.