Seconda media, a.s. 2026/27 — DM 254/2012. Classe e sequenza sono proposte editoriali, non un programma annuale prescritto. Questa lezione sviluppa il residuo matematica-11, non dichiara esaurito il nucleo. Per il raccordo agli obiettivi di fine terza si veda il quadro curricolare.
Prima di iniziare
Servono divisione con resto, frazioni equivalenti, lettura dei decimali e quadrati di numeri positivi. Non ripetiamo le operazioni con frazioni o il MCD: qui chiediamo quali scritture rappresentano lo stesso numero e quanto possiamo dire con una scrittura approssimata. Tutti i numeri degli esempi sono dati matematici costruiti, non misure sperimentali.
1. Una frazione può avere un decimale finito o periodico
Un numero è razionale se si può scrivere come a/b, con a e b interi e b diverso da zero. Anche un intero è razionale: basta il denominatore 1. Per ottenere la scrittura decimale di una frazione dividiamo il numeratore per il denominatore. Un decimale finito è razionale perché si può scrivere con denominatore 10, 100, 1000 e così via. Un razionale può anche avere una scrittura infinita, purché da un certo punto si ripeta sempre lo stesso blocco di cifre: è un decimale periodico. [R1, “Rational Numbers”; R2, “RECURRING DECIMALS”]
Esempio svolto A. 7/16 = 0,4375: infatti 0,4375 = 4375/10000 = 7/16. Qui il segno = è esatto. Invece 5/12 = 0,41666…: dopo le cifre 4 e 1, il 6 si ripete per sempre. Scriveremo 0,41(6), dove le parentesi indicano il periodo, non una moltiplicazione. La scrittura completa descrive un numero esatto; 0,417 ne è soltanto un arrotondamento ai millesimi: 5/12 ≈ 0,417, non 5/12 = 0,417.
La divisione spiega il periodo: per 5/12 i resti successivi sono 2, 8, 8…; quando torna lo stesso resto, torna lo stesso seguito di cifre. In generale i resti possibili sono in numero finito: o si raggiunge zero, o un resto si ripete. Perciò una frazione di interi non può generare un decimale infinito senza un periodo. Il procedimento con i resti è illustrato indipendentemente da NRICH; OpenStax conferma la classificazione. [R1; R2]
Esempio svolto B. Il decimale 0,(36), cioè 0,363636… con 36 ripetuto per sempre, è razionale. Chiamiamolo x. Allora 100x = 36,363636…; sottraendo x resta 99x = 36. Quindi x = 36/99 = 4/11. Le code periodiche coincidono e si cancellano; non stiamo sottraendo due arrotondamenti finiti. Il collegamento generale fra decimali periodici e razionali è attestato in R1 e R2; questi numeri e il calcolo sono originali.
2. Le radici non sono tutte irrazionali
La radice quadrata di un numero non negativo è il numero non negativo che, moltiplicato per se stesso, dà quel numero. √49 = 7 perché 7² = 49. Il simbolo √49 indica 7, non −7, benché anche il quadrato di −7 valga 49. [R4, “Square Roots” e “Square Root Notation”]
Un numero irrazionale non è esprimibile come rapporto di due interi: il suo decimale non termina e non diventa periodico. Razionali e irrazionali formano insieme i numeri reali; nessun numero reale appartiene contemporaneamente alle due categorie. √3 è irrazionale, mentre √49 è razionale. Per gli interi non negativi, le radici degli interi che non sono quadrati perfetti sono irrazionali. Questo criterio riguarda gli interi: non va esteso senza condizioni a qualunque radicando. [R1, “Irrational Numbers” e “Classify Real Numbers”; R3, “Famous Irrational Numbers” per √3 e controesempi con radici razionali]
La calcolatrice mostra solo un numero finito di cifre: non può provare, da quelle sole cifre, che un periodo non comparirà mai. La classificazione di √3 viene dalla proprietà matematica, non dall’aspetto del display. NRICH sottolinea questa cautela nell’esempio di √2, sezione “THE SQUARE ROOT OF TWO”. [R2]
3. Avvicinare una radice senza cambiarla
Esempio svolto C. Dove si trova √3? Poiché 1² < 3 < 2², è tra 1 e 2. Con i decimi troviamo 1,7² = 2,89 < 3 < 3,24 = 1,8², dunque 1,7 < √3 < 1,8. Per numeri non negativi, il quadrato aumenta all’aumentare del numero: possiamo confrontare i quadrati per delimitare la radice. Questo confronto è il procedimento scelto qui; non è una misura fatta su un disegno.
Restringiamo l’intervallo: 1,732² = 2,999824 < 3 < 3,003289 = 1,733². Perciò 1,732 < √3 < 1,733. √3 è un punto preciso, non un segmento incerto: il segmento indica soltanto dove sappiamo collocarlo con questi calcoli. Per arrotondare ai centesimi, l’intervallo basta: √3 è maggiore di 1,725 e minore di 1,735, quindi √3 ≈ 1,73. Ai centesimi l’errore assoluto è minore di 0,005. Scrivere √3 = 1,73 sarebbe falso, perché 1,73² = 2,9929, non 3. La procedura di stima e arrotondamento delle radici è trattata in R4, “Estimate Square Roots” e “Approximate Square Roots with a Calculator”; la verifica qui usa quadrati razionali esatti.
Retta accessibile: un ordine da leggere anche senza disegno
La tabella è ordinata da sinistra verso destra sulla retta crescente. Non è un disegno in scala: la distanza tra le righe non rappresenta una distanza numerica. Il denominatore 10 indica decimi, 4 quarti, 5 quinti.
| Posizione nell’ordine | Numero esatto | Informazione per collocarlo |
|---|---|---|
| Primo | 17/10 = 1,7 | Tacca di sinistra dell’intervallo considerato |
| Secondo | √3 | Tra 1,732 e 1,733; non coincide con 1,73 |
| Terzo | 7/4 = 1,75 | A destra di √3, perché 1,75² = 3,0625 > 3 |
| Quarto | 9/5 = 1,8 | Tacca di destra dell’intervallo considerato |
Lettura lineare completa: 17/10 < √3 < 7/4 < 9/5. Per tracciare la retta sul foglio, segna tacche equidistanti da 1,70 a 1,80 con passo 0,01: 1,75 è la quinta tacca dopo 1,70. Il punto √3 va fra 1,73 e 1,74, più precisamente nel piccolo intervallo indicato sopra. La posizione tracciata a mano resta approssimata; l’ordine è esatto. Tabella, testo e disuguaglianze non dipendono dai colori.
Esercizi
E01. Trasforma 9/40 e 7/15 in decimali. Indica quale è finito e quale periodico; per il secondo dichiara il periodo.
E02. Scrivi 0,(27) come frazione usando lo spostamento del periodo e una sottrazione.
E03. Classifica −8, 0,125, √81 e √7 come razionali o irrazionali, motivando. Basta leggere le cifre della calcolatrice per dimostrare la classificazione di √7?
E04. Calcola i quadrati di 2,645 e 2,646 e delimita √7. Poi arrotonda √7 ai centesimi. Specifica dove serve ≈ e dove valgono disuguaglianze esatte.
E05. È più grande 19/11 oppure √3? Non usare soltanto i numeri arrotondati del display: confronta i quadrati di due numeri positivi.
E06. Una compagna scrive «5/12 = 0,42, perciò moltiplicando per 12 ottengo esattamente 5». Correggi entrambi i passaggi e trova lo scarto del prodotto ottenuto usando 0,42.
Soluzioni motivate
E01. 9/40 = 0,225, decimale finito: 0,225 = 225/1000 = 9/40. Per 7/15 la divisione produce 0,4(6): dopo il 4, il 6 si ripete. Dopo la prima cifra 4 il resto è 10; a ogni passo successivo 100 diviso 15 dà cifra 6 e ancora resto 10. Perciò il 6 si ripete. Entrambi sono razionali: infinito non significa necessariamente irrazionale.
E02. Se x = 0,(27), allora 100x = 27,(27). Sottraendo otteniamo 99x = 27, perciò x = 27/99 = 3/11. Il periodo è dichiarato infinito; non si sostituisce con 0,27.
E03. −8 è razionale perché −8 = −8/1. 0,125 è razionale perché 125/1000 = 1/8. √81 = 9 è razionale. √7 è irrazionale, perché 7 è un intero non quadrato perfetto. Un numero finito di cifre del display non esclude un futuro periodo: non costituisce la dimostrazione.
E04. 2,645² = 6,996025 e 2,646² = 7,001316. Quindi 2,645 < √7 < 2,646. La radice supera il punto di metà 2,645 tra 2,64 e 2,65, ma è minore di 2,655: ai centesimi √7 ≈ 2,65. I quadrati e le disuguaglianze sono esatti; l’ultima scrittura è un arrotondamento. Non si conclude √7 = 2,65.
E05. (19/11)² = 361/121, mentre 3 = 363/121. Poiché 361 < 363, il quadrato della frazione è minore di 3. Entrambi i numeri confrontati sono positivi, quindi 19/11 < √3. La differenza fra i quadrati è 2/121, non la differenza fra i numeri.
E06. Bisogna scrivere 5/12 ≈ 0,42 se si arrotonda ai centesimi. Il prodotto del valore arrotondato è 0,42 × 12 = 5,04, che supera 5 di 0,04. Invece (5/12) × 12 = 5 esattamente. Un’approssimazione inserita nel calcolo non diventa un’uguaglianza esatta.
Fonti e limiti
- R1: OpenStax, Prealgebra 2e, §7.1, “Rational Numbers”, “Irrational Numbers”, “Classify Real Numbers”.
- R2: NRICH, Università di Cambridge, An introduction to irrational numbers, “RECURRING DECIMALS” (resti e periodicità), “THE SQUARE ROOT OF TWO” (limite delle cifre osservate).
- R3: Math Is Fun, Irrational Numbers, “Rational Numbers”, “Famous Irrational Numbers” (√3; non tutte le radici sono irrazionali). Opera divulgativa indipendente da R1 e R2; non usata per racconti storici.
- R4: OpenStax, Prealgebra 2e, §5.7, “Square Roots” e “Square Root Notation”, “Estimate Square Roots”, “Approximate Square Roots with a Calculator”. È parte della stessa opera di R1, non una seconda fonte indipendente.
Il registro delle evidenze distingue riscontri esterni e verifiche originali. Restano APERTI il secondo riscontro esterno puntuale del procedimento di delimitazione/arrotondamento adottato e qualsiasi affermazione di efficacia didattica: la tabella e le attività sono proposte editoriali, non sperimentazioni in classe. Non si sviluppano dimostrazione generale dell’irrazionalità delle radici di interi non quadrati, radici negative nei complessi o algoritmo completo delle frazioni generatrici miste. I test riproducibili controllano i risultati numerici, non certificano l’apprendimento o l’accessibilità con tecnologie assistive.