Massimo e minimo di una quadratica: il vertice deve essere ammissibile

Un vertice corretto può dare una risposta sbagliata al problema: succede quando cade fuori dal dominio consentito. Impariamo a trasformare una quadratica in un quadrato più una costante e a cercare l’ottimo solo fra i valori ammessi. Non servono derivate.

Prerequisiti: prodotti notevoli, sostituzioni in un polinomio, intervalli e unità di misura. Questa lezione non prescrive una classe o un anno di corso.

1. Rendere visibile il quadrato

Per coefficienti reali e $a\ne0$, partiamo da $f(x)=ax^2+bx+c$. Raccogliamo $a$ dai termini di secondo e primo grado e aggiungiamo e sottraiamo lo stesso numero:

$$f(x)=a\left[x^2+\frac ba x+\left(\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c =a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

Quindi

$$f(x)=a(x-h)^2+k,\qquad h=-\frac b{2a},\qquad k=f(h)=c-\frac{b^2}{4a}.$$

Il punto $(h,k)$ è il vertice. Sviluppare di nuovo il quadrato è il controllo più immediato: il coefficiente di $x$ deve tornare $b$, non $-b$. Il completamento del quadrato e la relazione fra le due forme sono documentati da OpenStax, §5.1, “Understanding How the Graphs…” e da Paul Dawkins, Lamar University, §4.2, parte finale “As a final topic…”. Sono due opere autonome, non due ripubblicazioni dello stesso testo.

2. Perché il segno di a decide

Per ogni $x$ reale, $(x-h)^2\ge0$. Dunque, su tutto $\mathbb R$:

• se $a>0$, $f(x)\ge k$: il minimo è $k$ e si raggiunge in $x=h$; non c’è massimo;
• se $a<0$, $f(x)\le k$: il massimo è $k$ e si raggiunge in $x=h$; non c’è minimo.

Il punto di ottimo $h$ e il valore ottimo $k$ non sono la stessa cosa. Le regole geometriche su vertice e verso di apertura sono corroborate dalle due fonti sopra, rispettivamente §§ “Recognizing Characteristics…” e “Determining the Maximum and Minimum…” di OpenStax e apertura/esempi della sezione Dawkins. L’assenza dell’estremo opposto su $\mathbb R$ segue localmente dalla crescita senza limite del quadrato.

3. Il dominio viene prima della risposta

Un polinomio è definito per tutti i reali, ma un modello può richiedere lunghezze positive, tempi in un intervallo oppure quantità intere. Non si modifica la formula: si restringono i valori sui quali la si valuta. OpenStax, § “Finding the Domain and Range…”, distingue esplicitamente dominio reale e restrizioni contestuali.

Su un intervallo chiuso $[L,U]$, con $L<U$, basta confrontare $f(L)$, $f(U)$ e, soltanto se $h\in[L,U]$, $f(h)$. Il più piccolo è il minimo, il più grande è il massimo. Se $h$ coincide con un estremo, non serve contarlo due volte.

Per capire la regola senza derivate, guarda la distanza $|x-h|$: il suo quadrato è minimo nel punto ammesso più vicino a $h$ e massimo all’estremo più lontano. Se $h$ è interno, la distanza minima è zero; se è esterno, è minima a un estremo. Il segno di $a$ conserva o inverte l’ordine dei valori. Questa è una dimostrazione locale; la doppia corroborazione documentale della regola per intervalli vincolati resta APERTO nel registro delle fonti.

Un estremo escluso non si può usare come risposta. Su un dominio intero finito, si possono confrontare tutti i valori; per cercare il massimo di una parabola rivolta verso il basso bastano gli interi ammessi più vicini a $h$, se esistono. Anche questa estensione è dimostrata localmente tramite la distanza e rimane documentariamente APERTO.

Unità e validità del modello

Se $x$ si misura in un’unità $U$ e $f(x)$ in $V$, i coefficienti devono avere unità $[a]=V/U^2$, $[b]=V/U$, $[c]=V$. Allora $h$ ha unità $U$ e $k$ ha unità $V$. Nei calcoli seguenti i simboli sono i valori numerici nelle unità dichiarate. I dati applicativi sono ipotesi inventate per esercitarsi: non descrivono prezzi, costi o prestazioni reali. La correttezza dimensionale è verificata localmente; non si dichiara doppia fonte per questa estensione.

4. Sei esercizi risolti

E1 — Un minimo su tutti i reali

Problema. Trova il minimo di $f(x)=2x^2-12x+23$, per $x\in\mathbb R$. Tutte le grandezze sono adimensionali.

Soluzione. Raccogliamo 2 dai primi due termini:

$$f(x)=2(x^2-6x+9)-18+23=2(x-3)^2+5.$$

Il quadrato è non negativo e $a=2>0$: il minimo è 5, raggiunto in $x=3$. Il massimo non esiste su $\mathbb R$. Controllo diretto: $f(3)=18-36+23=5$; inoltre $f(2)=f(4)=7$, coerente con la simmetria. Non bisogna cercare le radici: qui chiediamo un valore minimo, non dove la funzione si annulla.

E2 — Il vertice è fuori dall’intervallo

Problema. Trova minimo e massimo di $g(x)=-x^2+10x+1$ per $x\in[0,3]$, senza unità.

Soluzione. $g(x)=-(x-5)^2+26$. Il vertice ha ascissa 5, ma 5 non è ammesso. Per $x$ da 0 a 3 la distanza da 5 diminuisce, quindi il quadrato diminuisce e il suo opposto aumenta. Confrontiamo gli estremi: $g(0)=1$ e $g(3)=-9+30+1=22$. Minimo 1 in $x=0$; massimo 22 in $x=3$. Il valore 26 è il massimo su tutti i reali, non su questo dominio.

E3 — Rettangolo con perimetro assegnato

Problema. Un rettangolo ha perimetro 36 m. Quali lati danno l’area massima? Esiste un’area minima se entrambi i lati devono essere positivi?

Soluzione. Sia $x$ il valore di un lato in metri e $y$ quello dell’altro. Da $2x+2y=36$ ricaviamo $y=18-x$. Poiché i lati sono positivi, $x\in(0,18)$. Il valore dell’area in m² è

$$A(x)=x(18-x)=-x^2+18x=81-(x-9)^2.$$

Il vertice è ammesso: $x=9$, quindi anche $y=9$. L’area massima è 81 m², con lati 9 m e 9 m. Controlli: perimetro $2\cdot9+2\cdot9=36$ m; area $9\cdot9=81$ m². Non c’è area minima: l’area è sempre positiva, ma si avvicina a zero quando un lato si avvicina a zero. Il valore 0 è l’estremo inferiore, non un minimo raggiunto. Il rettangolo degenere non appartiene al dominio.

E4 — Minimo di costo e confronto degli estremi

Problema. Nel solo modello didattico, il costo in euro dipende da una quantità continua $q$ misurata in kg: $C(q)=\tfrac12q^2-7q+40$, valida per $q\in[2,10]$. Trova costo minimo e massimo nell’intervallo.

Soluzione.

$$C(q)=\tfrac12(q-7)^2+\tfrac{31}{2}.$$

Il vertice $q=7$ kg è ammesso e $a>0$: il costo minimo è 15,50 € quando $q=7$ kg. Per il massimo servono gli estremi: $C(2)=2-14+40=28$ € e $C(10)=50-70+40=20$ €. Il massimo è 28 € quando $q=2$ kg. Le unità dei coefficienti sono rispettivamente €/kg², €/kg ed €. Questa funzione non è una previsione economica: non va estesa fuori dall’intervallo di validità dichiarato.

E5 — Non si possono produrre sette pezzi e mezzo

Problema. Un modello ipotetico dà il profitto in euro $P(n)=-2n^2+30n-40$, dove $n$ è il numero intero di pezzi prodotti e venduti, $n\in\{0,1,\ldots,12\}$. Trova il massimo profitto.

Soluzione.

$$P(n)=-2\left(n-\tfrac{15}{2}\right)^2+\tfrac{145}{2}.$$

Il vertice continuo è $n=7,5$, con valore 72,50 €, ma non è una scelta ammessa. Gli interi più vicini sono 7 e 8, entrambi a distanza $0,5$. Valutiamo il polinomio originale: $P(7)=-98+210-40=72$ € e $P(8)=-128+240-40=72$ €. Ogni altro intero ammesso è più lontano dal vertice e dà un profitto minore. Massimo 72 €, raggiunto sia con 7 sia con 8 pezzi. Arrotondare automaticamente a un solo intero perderebbe una soluzione. Per il conteggio dei pezzi $n$ è un numero adimensionale; i coefficienti restituiscono euro.

E6 — Un limite non è un minimo

Problema. Per $r(x)=(x-2)^2+1$, con $x\in(2,5]$ e grandezze adimensionali, trova gli estremi eventualmente raggiunti.

Soluzione. Il vertice sarebbe $x=2$, ma è escluso. Per ogni valore ammesso $x-2>0$, dunque $r(x)>1$. Valori con $x$ sempre più vicino a 2 da destra danno risultati sempre più vicini a 1, senza raggiungerlo. Non c’è minimo; l’estremo inferiore è 1. La distanza da 2 è massima in $x=5$, incluso: il massimo è $r(5)=10$. Come verifica della mancata minimalità, dato qualsiasi $x\in(2,5]$, il punto $z=(x+2)/2$ è ancora ammesso e $r(z)-1=(r(x)-1)/4<r(x)-1$.

5. Checklist per non sbagliare

Scrivi che cosa misura la variabile e quali valori ammette. Completa il quadrato senza cambiare il polinomio. Distingui il punto di ottimo dal valore ottimo. Su un intervallo chiuso controlla gli estremi e il vertice, se ammesso. Su domini aperti o interi non usare automaticamente la risposta del problema continuo. Infine verifica nel polinomio originale e restituisci le unità.

Stato della lezione

Testo originale non pubblicato, da sottoporre a revisione docente. Le due fonti indipendenti corroborano il nucleo algebrico e geometrico; non tutte le estensioni applicative hanno doppia fonte. Le parti documentariamente APERTO sono indicate nel registro delle fonti, pur essendo accompagnate da dimostrazioni locali e test. Questa lezione aggiunge il confronto dei valori ammissibili alla scheda esistente sul vertice: non dichiara completa la copertura della parabola o dell’ottimizzazione.