Nucleo: matematica-14. Proposta editoriale: seconda media, a.s. 2026/27, DM 254/2012, non prescrizione annuale. Gli obiettivi nazionali sono di fine terza. Prerequisiti proposti: lettura di tabelle, rapporti, significato di y = kx già affrontato, semplici equazioni. Stato: bozza locale da approvare, non pubblicata.
Prima scegli che cosa misuri
Dire «il costo cresce» non basta per scegliere un modello. Devi indicare quale costo, rispetto a quale variabile, con quali unità e in quale dominio. Riprendiamo il modello diretto già noto e confrontiamolo con due relazioni diverse. Tutti i prezzi, gli enti e i dati di questa lezione sono fittizi, costruiti per ragionare: non sono offerte commerciali o rilevazioni reali.
Un laboratorio immaginario offre lo stesso incontro con due alternative contrattuali inventate, senza altri costi:
- A, tariffa fissa di gruppo: 36 € complessivi, qualunque sia il numero ammesso di partecipanti.
- B, tariffa per partecipante: 3 € per partecipante, quindi il totale dipende dal loro numero.
Sia n il numero di partecipanti. Il contratto vale solo per interi da 1 a 12 inclusi: questo è il dominio comune. Nessun ingresso frazionario, nessun gruppo vuoto, nessun prezzo dichiarato oltre 12. Indichiamo con F(n) il totale A, D(n) il totale B e Q(n) la quota individuale ottenuta dividendo in parti uguali il totale A.
Le formule, in forma numerica con importi espressi in euro, sono F(n) = 36, D(n) = 3n, Q(n) = 36/n. Il coefficiente della diretta corrisponde a 3 € per partecipante. Per la quota, il prodotto «numero di partecipanti × euro per partecipante» restituisce 36 €.
Tabella ragionata
La tabella mostra alcuni valori del dominio, non tutti. Le quote sono qui esatte e non richiedono arrotondamenti.
| n, partecipanti | F(n), totale A in € | D(n), totale B in € | Q(n), quota A in € per partecipante |
|---|---|---|---|
| 1 | 36 | 3 | 36 |
| 2 | 36 | 6 | 18 |
| 3 | 36 | 9 | 12 |
| 4 | 36 | 12 | 9 |
| 6 | 36 | 18 | 6 |
| 9 | 36 | 27 | 4 |
| 12 | 36 | 36 | 3 |
Tariffa fissa: il totale F non cambia. Non è direttamente proporzionale a n con costante non nulla: per esempio F(2)/2 = 18 e F(4)/4 = 9, rapporti diversi.
Proporzionalità diretta: nel totale B il rapporto D(n)/n è sempre 3 € per partecipante. Raddoppiando da 3 a 6 partecipanti, il totale passa da 9 a 18 €.
Proporzionalità inversa: per la quota individuale A è il prodotto n·Q(n) a restare costante: 3·12 = 6·6 = 36. Raddoppiando n da 3 a 6, la quota si dimezza da 12 a 6 €. «Inversa» non significa «più lento»: qui non ci sono né tempi né velocità. Non basta neppure che una quantità diminuisca: serve il prodotto costante. Le definizioni sono riscontrate in due opere indipendenti: OpenStax, §8.9, “Direct Variation” e “Inverse Variation” e AMSI, Proportion, definizione iniziale e “Inverse proportion summary”.
Esempio svolto — quale contratto costa meno?
Con 6 partecipanti A costa 36 € complessivi e B costa 3·6 = 18 € complessivi: B costa meno. Se dividiamo entrambi i totali in parti uguali, le quote sono rispettivamente 36/6 = 6 € e 18/6 = 3 € a persona. Non confrontiamo 6 € individuali con 18 € complessivi: rispondono a domande diverse.
Per trovare il pareggio fra i totali risolviamo 36 = 3n: dividendo entrambi i membri per 3 otteniamo n = 12. È ammesso dal contratto e nella tabella entrambi i totali valgono 36 €. Per gli interi da 1 a 11 il totale B è inferiore a 36 €. A non è mai strettamente più economica nel dominio: l’idea «con molti partecipanti la tariffa fissa conviene» richiederebbe qui valori maggiori di 12, per i quali non conosciamo alcuna offerta.
La colonna Q non rappresenta una terza offerta alternativa: è un’altra lettura della tariffa A. Le tre relazioni confrontate sono una costante, una diretta e un’inversa, ma soltanto F e D sono totali del medesimo servizio confrontabili direttamente.
Dominio e limiti: la formula non è un’autorizzazione
Il dominio algebrico di 36/n esclude zero; quello del problema è ancora più ristretto, gli interi da 1 a 12. F(0) e D(0) avrebbero un valore algebrico, ma il contratto non assegna prezzi a un gruppo vuoto. Non calcoliamo prezzi per 15 partecipanti né per 2,5 partecipanti. Per n = 5, ammesso anche se non compare nella tabella, il modello contrattuale dà Q(5) = 36/5 = 7,20 € a persona. Questa conclusione deriva dalla regola dichiarata per tutto il dominio, non dalla sola osservazione di alcune righe.
Da pochi dati non si ricava invece una legge universale. Ecco altre rilevazioni simulate e fittizie, relative a un diverso servizio, senza contratto dichiarato: 2 partecipanti, totale 5,90 €; 4 partecipanti, totale 12,10 €; 6 partecipanti, totale 17,80 €. I rapporti esatti sono 59/20, 121/40 e 89/30 euro per partecipante: non coincidono. Un costo di circa 3 € per partecipante può essere un’ipotesi descrittiva, ma non una proporzionalità esatta provata. Non sappiamo se gli scarti dipendano da arrotondamenti, sconti, errori o altro: la causa resta APERTA. Per 8 partecipanti non abbiamo un prezzo autorizzato e non presentiamo 24 € come fatto.
Esercizi
- Per il contratto iniziale calcola con n = 4 i due totali e le due quote individuali. Quale alternativa costa meno?
- Per n = 9 controlla sia il rapporto costante del totale B sia il prodotto costante della quota A. Che cosa cambia passando da n = 3 a n = 9?
- Un compagno calcola
36/0e conclude che, essendo il gruppo vuoto, la quota è zero. Correggilo. Puoi usare la stessa offerta per n = 15? - In una seconda tabella inventata n assume i valori 2, 4, 6 e y vale rispettivamente 10, 8, 6 € per partecipante. È proporzionalità inversa? Motiva con i prodotti.
- Le rilevazioni simulate 5,90 €, 12,10 €, 17,80 € provano una diretta esatta? Quanto differiscono dai totali del modello ipotetico
3n? Possiamo attribuire sicuramente gli scarti ad arrotondamenti?
Soluzioni ragionate
- A: totale 36 €, quota
36/4 = 9 €a persona. B: totale3·4 = 12 €, quota12/4 = 3 €a persona. Costa meno B, sia confrontando totali sia confrontando quote omogenee. D(9) = 27 €, quindi27/9 = 3 €a persona;Q(9) = 4 €, quindi9·4 = 36 €. Da 3 a 9 il numero di partecipanti triplica: il totale B triplica da 9 a 27 €, mentre la quota A si riduce a un terzo, da 12 a 4 €. Il totale A rimane 36 €.- La divisione per zero non è definita e zero non appartiene al dominio del contratto. Anche 15 è fuori dominio: serve un’altra offerta, non un’estrapolazione di quella data.
- I prodotti sono
2·10 = 20,4·8 = 32,6·6 = 36, tutti espressi in euro. Non sono costanti: il calo di y non basta a provare un’inversa. - I rapporti non sono identici. Gli scarti «dato meno 3n» sono −0,10 €, +0,10 €, −0,20 € rispettivamente. Non provano la causa dello scostamento e non giustificano né un prezzo futuro certo né un’estensione oltre i dati. Anche una coincidenza su poche righe, senza regola dichiarata, non dimostrerebbe la validità fuori campione.
Per controllarti
Prima di fare confronti scrivi nome della quantità e unità; poi dominio, rapporto o prodotto da controllare e limite di validità. Il dossier delle fonti separa regole matematiche riscontrate, costruzioni editoriali e punti APERTI.