Nucleo: matematica-13. Proposta editoriale: seconda media, a.s. 2026/27, DM 254/2012. Non è una prescrizione annuale: gli obiettivi nazionali sono riferiti alla fine della terza. Prerequisiti proposti: numeri razionali, distributiva, frazioni e significato di lettera. Stato: bozza locale da approvare, non pubblicata.
Una relazione non è sempre un’identità
Un’espressione come x + 4 non afferma un’uguaglianza. L’equazione x + 4 = 10 mette invece in relazione due espressioni e chiede per quali valori siano uguali. Cerchiamo qui nei numeri razionali: con x = 6 entrambi i membri valgono 10; con x = 2 valgono rispettivamente 6 e 10. Il segno uguale esprime una relazione, non significa «ora scrivi il risultato».
Un’identità, come 2(x + 3) = 2x + 6, è vera per ogni valore ammesso di x: lo sappiamo dalla distributiva, non perché abbiamo provato qualche numero. Il dominio, cioè l’insieme dei valori ammessi, va dichiarato. Le espressioni di questa lezione hanno soltanto denominatori numerici non nulli, perciò sono definite per ogni razionale. Nei problemi il contesto potrà restringere ulteriormente il dominio. Per questa distinzione si vedano OpenStax, §2.4, “Classify Equations” e AMSI, “Equations, expressions and identities”.
Cambiare scrittura senza cambiare soluzioni
Due equazioni sono equivalenti nello stesso dominio se hanno esattamente le stesse soluzioni. Possiamo aggiungere o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri, purché sia definita per tutti i valori del dominio. Possiamo moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero. I passaggi sono reversibili: sottrarre annulla un’addizione, dividere per un numero non nullo annulla la corrispondente moltiplicazione.
Moltiplicare per zero conserva una singola uguaglianza vera, ma non è un principio di equivalenza: da x = 2 si ottiene 0 = 0, vera anche per x = 3, che prima non era soluzione. Dividere per zero non è mai consentito. Non dividiamo per x senza discuterne il valore: nell’equazione x = 0 perderemmo proprio la soluzione. In questa lezione dividiamo soltanto per costanti note non nulle. «Passa dall’altra parte e cambia segno» è un’abbreviazione: la giustificazione è aggiungere o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri. Fonti indipendenti: OpenStax, §§2.1–2.2, proprietà di uguaglianza e AMSI, “One-step equations”.
Esempio svolto 1 — parentesi e incognita nei due membri
Risolviamo 4(x − 2) + 3 = 2x + 9 nei razionali.
- Distributiva e raccolta dei termini:
4x − 5 = 2x + 9. Non abbiamo cambiato il valore di alcun membro. - Sottraiamo 2x a entrambi:
2x − 5 = 9. - Aggiungiamo 5 a entrambi:
2x = 14. - Dividiamo entrambi per 2, che non è zero:
x = 7.
Verifica nell’equazione iniziale: sinistra 4(7 − 2) + 3 = 23; destra 2·7 + 9 = 23. I valori coincidono e 7 appartiene al dominio. L’insieme delle soluzioni è {7}. La verifica prova che 7 funziona; sono i passaggi equivalenti a garantire che non abbiamo perso altre soluzioni.
Esempio svolto 2 — denominatori numerici
Risolviamo (x + 1)/3 − 1/2 = (x − 2)/2. I denominatori 3 e 2 non sono mai nulli. Moltiplichiamo tutto ciascun membro per 6: 2(x + 1) − 3 = 3(x − 2). Sviluppando otteniamo 2x − 1 = 3x − 6; sottraiamo 2x e aggiungiamo 6 a entrambi: 5 = x.
Verifica: per x = 5 la sinistra è 6/3 − 1/2 = 3/2; la destra è 3/2. Quindi l’unica soluzione è 5. Non si può moltiplicare per 6 soltanto il primo addendo: l’operazione riguarda ciascun membro intero.
Esempio svolto 3 — dalla soluzione al problema
Dati interamente fittizi: un laboratorio prepara n scatole, ciascuna con 3 matite, e lascia 4 matite sul tavolo. In totale usa 25 matite. Qui n è un numero intero non negativo. La relazione è 3n + 4 = 25. Sottraendo 4 e dividendo per 3 otteniamo n = 7. Il controllo è 3·7 + 4 = 25: sette scatole sono ammesse dal contesto. Il numero non è una misura in centimetri o in euro: conta scatole.
Esercizi
- Risolvi
5x − 7 = 2x + 8nei razionali. Giustifica le operazioni e verifica nell’originale. - Risolvi
2(x + 3) = 3x + 1, distinguendo distributiva e trasformazione di entrambi i membri. - Risolvi
(2x − 1)/4 = 3/2, indicando perché puoi eliminare il denominatore. - Classifica
3(x − 2) = 3x − 6e3(x − 2) = 3x − 5: hanno una soluzione, tutte le soluzioni o nessuna? Basta provare due valori per concludere che la prima è un’identità? - Dati fittizi: n confezioni contengono ciascuna 4 gettoni; altri 3 gettoni sono sciolti e il totale dichiarato è 21. Il numero n deve essere intero non negativo. Risolvi
4n + 3 = 21e decidi se il racconto è possibile.
Soluzioni ragionate
- Sottraiamo 2x e aggiungiamo 7 a entrambi:
3x = 15; dividendo per 3 otteniamox = 5. Verifica:5·5 − 7 = 18e2·5 + 8 = 18. - La distributiva dà
2x + 6 = 3x + 1; sottraendo 2x e poi 1 a entrambi si ottiene5 = x. Verifica:2(5 + 3) = 16e3·5 + 1 = 16. - Moltiplichiamo entrambi i membri per 4, numero non nullo:
2x − 1 = 6; aggiungiamo 1 e dividiamo per 2:x = 7/2. Verifica:(2·(7/2) − 1)/4 = 6/4 = 3/2, uguale alla destra. - Nel primo caso la distributiva rende i due membri identici:
3x − 6 = 3x − 6, vera per ogni razionale. Provare due valori non prova una proprietà universale. Nel secondo, sottrarre 3x e aggiungere 6 porta a0 = 1, impossibile: nessuna soluzione. Non dividere per un coefficiente nullo per tentare di «trovare x». - Nei razionali si ottiene
4n = 18, quindin = 9/2. Verifica numerica:4·(9/2) + 3 = 21. Ma 9/2 non è intero: nel dominio del problema non ci sono soluzioni. La sostituzione è necessaria, non sostituisce il controllo del contesto.
Per controllarti
Per ogni risposta scrivi: dominio, trasformazioni motivate, sostituzione nell’originale e compatibilità con la domanda. Una verifica numerica non dimostra da sola l’unicità né un’identità. Il dossier delle fonti precisa i locator e ciò che resta APERTO.